Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Error Performance: Unterschied zwischen den Versionen

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Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der CCITT-Empfehlung G.821 unter dem Namen <i>Error Performance</i> spezifiziert sind.
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Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der [https://de.wikipedia.org/wiki/G.821 CCITT-Empfehlung G.821] unter dem Namen <i>Error Performance</i> spezifiziert sind.
  
 
Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:  
 
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*Diese besagt unter Anderem, dass &ndash; &uuml;ber eine ausreichend lange Zeit gemittelt &ndash; mindestens 99.8% aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner $10^{-3}$ (ein Promille) aufweisen m&uuml;ssen.
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*Diese besagt unter Anderem, dass &ndash; &uuml;ber eine ausreichend lange Zeit gemittelt &ndash; mindestens $99.8\%$ aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner $10^{-3}$ (ein Promille) aufweisen m&uuml;ssen.
*Bei einer Bitrate von 64 kbit/s entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde (und somit bei $N = 64\hspace{0.05cm}000$ &uuml;bertragenen Symbolen) nicht mehr als 64 Bitfehler auftreten dürfen:
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*Bei einer Bitrate von $\text{64 kbit/s}$ entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde (und somit bei $N = 64\hspace{0.05cm}000$ &uuml;bertragenen Symbolen) nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten dürfen:
 
:$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$
 
:$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgröße]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
 
   
 
   
 
*Gehen Sie f&uuml;r die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus. In der gesamten Aufgabe gelte zudem  $N = 64\hspace{0.05cm}000$.
 
*Gehen Sie f&uuml;r die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus. In der gesamten Aufgabe gelte zudem  $N = 64\hspace{0.05cm}000$.
*In der [[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)|Aufgabe 3.7]] wurde darauf hingewiesen, dass unter gewissen Bedingungen &ndash; die hier alle erf&uuml;llt sind &ndash; die Binomialverteilung durch eine Gau&szlig;verteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann. Verwenden Sie diese N&auml;herung bei der Teilaufgabe (4).
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*In der [[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)|Aufgabe 3.7]] wurde darauf hingewiesen, dass unter gewissen Bedingungen &ndash; die hier alle erf&uuml;llt sind &ndash; die Binomialverteilung durch eine Gau&szlig;verteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann.  
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{Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$ zu?
 
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+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$ ist binomialverteilt.
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+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$&nbsp; ist binomialverteilt.
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+ $f$&nbsp; kann durch eine Poissonverteilung angen&auml;hert werden.
  
  
 
{Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r den Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$?
 
{Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r den Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$?
 
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$m_f \ = \ $ { 64 3% }
  
  
 
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{Wie groß ist die Streuung? Verwenden Sie geeignete N&auml;herungen.
 
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{Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten. Verwenden Sie hierzu die Gau&szlig;n&auml;herung.
 
{Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten. Verwenden Sie hierzu die Gau&szlig;n&auml;herung.
 
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${\rm Pr}(f ≤ 64) \ = $ { 50 3% } $ \ \rm \%$
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{Wie gro&szlig; darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, max}$ höchstens sein, damit die Bedingung &bdquo;Nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle 64 (oder mehr) Bitfehler&rdquo; eingehalten werden kann? Es gilt ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.
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{Wie gro&szlig; darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, max}$ höchstens sein, damit die Bedingung &bdquo;64 (oder mehr) Bitfehler nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle &rdquo; eingehalten werden kann? Es gilt ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.
 
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$p_\text{B, max}\ = \ $ { 0.069 3% } $ \ \rm \%$
  
  

Version vom 10. August 2018, 10:24 Uhr

frame<Auszug aus der CCITT-Empfehlung G.821: Error Performance

Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der CCITT-Empfehlung G.821 unter dem Namen Error Performance spezifiziert sind.

Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:

  • Diese besagt unter Anderem, dass – über eine ausreichend lange Zeit gemittelt – mindestens $99.8\%$ aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner $10^{-3}$ (ein Promille) aufweisen müssen.
  • Bei einer Bitrate von $\text{64 kbit/s}$ entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde (und somit bei $N = 64\hspace{0.05cm}000$ übertragenen Symbolen) nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten dürfen:
$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$



Hinweise:

  • Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus. In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.05cm}000$.
  • In der Aufgabe 3.7 wurde darauf hingewiesen, dass unter gewissen Bedingungen – die hier alle erfüllt sind – die Binomialverteilung durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann.
  • Verwenden Sie diese Näherung bei der Teilaufgabe (4).



Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgröße $f$ zu?

Die Zufallsgröße $f$  ist binomialverteilt.
$f$  kann durch eine Poissonverteilung angenähert werden.

2

Welcher Wert ergibt sich für den Mittelwert der Zufallsgröße $f$?

$m_f \ = \ $

3

Wie groß ist die Streuung? Verwenden Sie geeignete Näherungen.

$\sigma_f \ = \ $

4

Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten. Verwenden Sie hierzu die Gaußnäherung.

${\rm Pr}(f ≤ 64) \ = \ $

$ \ \rm \%$

5

Wie groß darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, max}$ höchstens sein, damit die Bedingung „64 (oder mehr) Bitfehler nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle ” eingehalten werden kann? Es gilt ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.

$p_\text{B, max}\ = \ $

$ \ \rm \%$


Musterlösung

(1)  Beide Aussagen sind richtig:

  • Bei der hier definierten Zufallsgröße $f$ handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgröße, nämlich der Summe über $N$ Binärwerte ($0$ oder $1$).
  • Da das Produkt $N \cdot p = 64$ und dadurch sehr viel größer als $1$ ist, kann die Binomialverteilung mit guter Näherung durch eine Poissonverteilung mit der Rate ${\it \lambda} = 64$ angenähert werden.


(2)  Der Mittelwert ergibt sich zu $m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$ unabhängig davon, ob man von der Binomial- oder der Poissonverteilung ausgeht.


(3)  Für die Streuung erhält man   $\it \sigma_f=\rm\sqrt{\rm 64000\cdot 10^{-3}\cdot 0.999}\hspace{0.15cm}\underline{\approx\sqrt{64}=8}.$ Der Fehler durch Anwendung der Poissonlverteilung anstelle der Binomialverteilung ist hier kleiner als $0.0005$.


(4)  Bei einer Gaußschen Zufallsgröße $f$ mit Mittelwert $m_f {= 64}$ ist die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(f \le 64) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 50\%}$. Anmerkung: Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße wäre die Wahrscheinlichkeit exakt $0.5$. Da $f$ nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringfügig größer.


(5)  Mit $\lambda = N \cdot p$ lautet die entsprechende Bedingung: $$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm 0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$

Der Maximalwert von $\lambda$ kann nach folgender Gleichung ermittelt werden: $$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung lautet: $$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \lambda = 44.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} p_\text{B, max}= \frac{44.6}{64000} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.069\%}.$$

Die zweite Lösung obiger Gleichung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.