Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Dreieckförmige WDF: Unterschied zwischen den Versionen
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{Weiterhin sei $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $|x(t)|$ kleiner als $x_{\rm max}/2$? | {Weiterhin sei $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $|x(t)|$ kleiner als $x_{\rm max}/2$? | ||
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− | ${\rm Pr}(|x| < 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $ { 0.75 3% } | + | ${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| < 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $ { 0.75 3% } |
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− | {Es sei weiterhin $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Welche der | + | {Es sei weiterhin $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? |
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- $y$ ist eine kontinuierliche Zufallsgröße. | - $y$ ist eine kontinuierliche Zufallsgröße. | ||
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+ | [[Datei:StS_Z_3_1_bc_version2.png|right|frame|Höhe und Fläche der Dreieck-WDF]] | ||
'''(1)''' Die Fläche unter der WDF muss stets den Wert $1$ ergeben. Daraus folgt: | '''(1)''' Die Fläche unter der WDF muss stets den Wert $1$ ergeben. Daraus folgt: | ||
− | $${A}/{ 2}\cdot {4\hspace{0.5cm}V}=1\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} A | + | :$${A}/{ 2}\cdot {4\hspace{0.5cm}V}=1\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} A |
\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$ | \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$ | ||
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− | '''(2)''' Mit $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ergibt sich die WDF | + | '''(2)''' Mit $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ergibt sich die WDF entsprechend der linken Grafik. |
− | $${\rm Pr}(|x|<\rm 1\hspace{0.05cm} V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.75}.$$ | + | *Die Schraffierung markiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit. |
+ | * Man erhält durch einfache geometrische Überlegungen: | ||
+ | :$${\rm Pr}(|x|<\rm 1\hspace{0.05cm} V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.75}.$$ | ||
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'''(3)''' Mit $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$ erhält man die rechts dargestellte WDF und den Maximalwert $A = 1/(3\hspace{0.05cm} {\rm V})$. Die schraffierte Fläche gibt wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit an, die man zum Beispiel über das flächengleiche Rechteck bestimmen kann: | '''(3)''' Mit $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$ erhält man die rechts dargestellte WDF und den Maximalwert $A = 1/(3\hspace{0.05cm} {\rm V})$. Die schraffierte Fläche gibt wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit an, die man zum Beispiel über das flächengleiche Rechteck bestimmen kann: | ||
− | $${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V}< x<3\hspace{0.05cm} {\rm V})=\rm \frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot 2\hspace{0.05cm} {\rm V}=\hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$ | + | :$${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V}< x<3\hspace{0.05cm} {\rm V})=\rm \frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot 2\hspace{0.05cm} {\rm V}=\hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$ |
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− | [[Datei:P_ID113__Sto_Z_3_1_f.png|right|Gemischt kontinuierlich/diskrete WDF]] | + | '''(4)''' Da $x$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt, ist diese Wahrscheinlichkeit definitionsgemäß gleich null ⇒ ${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \;\underline {= 0}$. |
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+ | [[Datei:P_ID113__Sto_Z_3_1_f.png|right|frame|Gemischt kontinuierlich/diskrete WDF]] | ||
'''(5)''' <u>Nur die letzte Aussage</u> der vorgegebenen Antworten ist zutreffend: | '''(5)''' <u>Nur die letzte Aussage</u> der vorgegebenen Antworten ist zutreffend: | ||
− | Die WDF $f_y(y)$ beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil, aber auch | + | *Die WDF $f_y(y)$ beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil (blau gezeichnet), |
+ | *aber auch die (rote) Diracfunktion bei $y = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x >2\hspace{0.05cm} {\rm V})$. | ||
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'''(6)''' Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgröße $y$ dargestellt. Aus der oberen rechten Abbildung zur Teilaufgabe (3) erkennt man den Zusammenhang: | '''(6)''' Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgröße $y$ dargestellt. Aus der oberen rechten Abbildung zur Teilaufgabe (3) erkennt man den Zusammenhang: | ||
− | $${\rm Pr}( y=2\hspace{0.05cm} {\rm V} | + | :$${\rm Pr}( y=2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = {\rm Pr}( x> 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot2{\hspace{0.05cm} {\rm V}} = {1}/{6}\hspace{0.15cm}\underline{=0.167}.$$ |
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Version vom 8. August 2018, 07:52 Uhr
Wir betrachten eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ mit der oben skizzierten WDF. Der Minimalwert des Signals ist $x_{\rm min} = -2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Dagegen ist der maximale Wert $x_{\rm max}$ ein freier Parameter, der Werte zwischen $2\hspace{0.05cm}\rm V$ und $4\hspace{0.05cm} \rm V$ annehmen kann.
Die Zufallsgröße $x$ soll hier als der Momentanwert eines Zufallssignals aufgefasst werden. Gibt man dieses Signal $x(t)$ auf einen Amplitudenbegrenzer mit der Kennlinie (siehe untere Skizze) $$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) & {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\\end{array}\right.$$
so entsteht das Signal $y(t)$ bzw. die neue Zufallsgröße $y$, die in den beiden letzten Teilfragen (5) und (6) betrachtet wird.
- Für die Teilaufgaben (1) und (2) gelte $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $.
- Für alle weiteren Teilaufgaben ist $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} $ zu setzen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
- Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das Lernvideo Wahrscheinlichkeit und WDF.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Fläche unter der WDF muss stets den Wert $1$ ergeben. Daraus folgt:
- $${A}/{ 2}\cdot {4\hspace{0.5cm}V}=1\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} A \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$
(2) Mit $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ergibt sich die WDF entsprechend der linken Grafik.
- Die Schraffierung markiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
- Man erhält durch einfache geometrische Überlegungen:
- $${\rm Pr}(|x|<\rm 1\hspace{0.05cm} V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.75}.$$
(3) Mit $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$ erhält man die rechts dargestellte WDF und den Maximalwert $A = 1/(3\hspace{0.05cm} {\rm V})$. Die schraffierte Fläche gibt wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit an, die man zum Beispiel über das flächengleiche Rechteck bestimmen kann:
- $${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V}< x<3\hspace{0.05cm} {\rm V})=\rm \frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot 2\hspace{0.05cm} {\rm V}=\hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$
(4) Da $x$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt, ist diese Wahrscheinlichkeit definitionsgemäß gleich null ⇒ ${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \;\underline {= 0}$.
(5) Nur die letzte Aussage der vorgegebenen Antworten ist zutreffend:
- Die WDF $f_y(y)$ beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil (blau gezeichnet),
- aber auch die (rote) Diracfunktion bei $y = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x >2\hspace{0.05cm} {\rm V})$.
(6) Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgröße $y$ dargestellt. Aus der oberen rechten Abbildung zur Teilaufgabe (3) erkennt man den Zusammenhang:
- $${\rm Pr}( y=2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = {\rm Pr}( x> 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot2{\hspace{0.05cm} {\rm V}} = {1}/{6}\hspace{0.15cm}\underline{=0.167}.$$