Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Dreieckförmige WDF: Unterschied zwischen den Versionen

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{Weiterhin sei $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $|x(t)|$ kleiner als $x_{\rm max}/2$?
 
{Weiterhin sei $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $|x(t)|$ kleiner als $x_{\rm max}/2$?
 
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${\rm Pr}(|x| < 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ =  \ $  { 0.75 3% }
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${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| < 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ =  \ $  { 0.75 3% }
  
  
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{Es sei weiterhin $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
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{Es sei weiterhin $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
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- $y$ ist eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
 
- $y$ ist eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
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'''(1)'''&nbsp; Die Fl&auml;che unter der WDF muss stets den Wert $1$ ergeben. Daraus folgt:
 
'''(1)'''&nbsp; Die Fl&auml;che unter der WDF muss stets den Wert $1$ ergeben. Daraus folgt:
$${A}/{ 2}\cdot {4\hspace{0.5cm}V}=1\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} A
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:$${A}/{ 2}\cdot {4\hspace{0.5cm}V}=1\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} A
 
\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$
 
\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$
  
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'''(2)'''&nbsp; Mit $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ergibt sich die WDF nach der linken Grafik. Die Schraffierung markiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit und man erhält durch einfache geometrische &Uuml;berlegungen:
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'''(2)'''&nbsp; Mit $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ergibt sich die WDF entsprechend der linken Grafik.  
$${\rm Pr}(|x|<\rm 1\hspace{0.05cm} V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.75}.$$
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*Die Schraffierung markiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
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* Man erhält durch einfache geometrische &Uuml;berlegungen:
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:$${\rm Pr}(|x|<\rm 1\hspace{0.05cm} V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.75}.$$
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'''(3)'''&nbsp; Mit $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$ erh&auml;lt man die rechts dargestellte WDF und den Maximalwert $A = 1/(3\hspace{0.05cm} {\rm V})$. Die schraffierte Fl&auml;che gibt wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit an, die man zum Beispiel &uuml;ber das fl&auml;chengleiche Rechteck bestimmen kann:  
 
'''(3)'''&nbsp; Mit $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$ erh&auml;lt man die rechts dargestellte WDF und den Maximalwert $A = 1/(3\hspace{0.05cm} {\rm V})$. Die schraffierte Fl&auml;che gibt wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit an, die man zum Beispiel &uuml;ber das fl&auml;chengleiche Rechteck bestimmen kann:  
$${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V}< x<3\hspace{0.05cm} {\rm V})=\rm \frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot 2\hspace{0.05cm} {\rm V}=\hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$
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:$${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V}< x<3\hspace{0.05cm} {\rm V})=\rm \frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot 2\hspace{0.05cm} {\rm V}=\hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$
  
'''(4)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit ist definitionsgem&auml;&szlig; gleich null ${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \;\underline {= 0}$, da $x$ eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e darstellt.
 
  
[[Datei:P_ID113__Sto_Z_3_1_f.png|right|Gemischt kontinuierlich/diskrete WDF]]
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'''(4)'''&nbsp; Da $x$ eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e darstellt, ist diese Wahrscheinlichkeit definitionsgem&auml;&szlig; gleich null &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \;\underline {= 0}$.
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'''(5)'''&nbsp; <u>Nur die letzte Aussage</u> der vorgegebenen Antworten ist zutreffend:
 
'''(5)'''&nbsp; <u>Nur die letzte Aussage</u> der vorgegebenen Antworten ist zutreffend:
  
Die WDF $f_y(y)$ beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil, aber auch eine Diracfunktion an der Stelle $y = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x >2\hspace{0.05cm} {\rm V})$ .
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*Die WDF $f_y(y)$ beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil (blau gezeichnet),  
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*aber auch die (rote) Diracfunktion bei $y = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x >2\hspace{0.05cm} {\rm V})$.
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'''(6)'''&nbsp; Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ dargestellt. Aus der oberen rechten Abbildung zur Teilaufgabe (3) erkennt man den Zusammenhang:
 
'''(6)'''&nbsp; Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ dargestellt. Aus der oberen rechten Abbildung zur Teilaufgabe (3) erkennt man den Zusammenhang:
$${\rm Pr}( y=2\hspace{0.05cm} {\rm V})) = {\rm Pr}( x> 2\hspace{0.05cm} {\rm V})) =  \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot2{\hspace{0.05cm} {\rm V}} = \hspace{-0.15cm}{1}/{6}\hspace{0.15cm}\underline{=0.167}.$$
+
:$${\rm Pr}( y=2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = {\rm Pr}( x> 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) =  \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot2{\hspace{0.05cm} {\rm V}} = {1}/{6}\hspace{0.15cm}\underline{=0.167}.$$
 
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Version vom 8. August 2018, 07:52 Uhr

Dreieck-WDF und Kennlinie $y(x)$

Wir betrachten eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ mit der oben skizzierten WDF. Der Minimalwert des Signals ist $x_{\rm min} = -2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Dagegen ist der maximale Wert $x_{\rm max}$ ein freier Parameter, der Werte zwischen $2\hspace{0.05cm}\rm V$ und $4\hspace{0.05cm} \rm V$ annehmen kann.

Die Zufallsgröße $x$ soll hier als der Momentanwert eines Zufallssignals aufgefasst werden. Gibt man dieses Signal $x(t)$ auf einen Amplitudenbegrenzer mit der Kennlinie (siehe untere Skizze) $$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) & {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\\end{array}\right.$$

so entsteht das Signal $y(t)$ bzw. die neue Zufallsgröße $y$, die in den beiden letzten Teilfragen (5) und (6) betrachtet wird.

  • Für die Teilaufgaben (1) und (2) gelte $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $.
  • Für alle weiteren Teilaufgaben ist $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} $ zu setzen.




Hinweise:


Fragebogen

1

Es sei $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Berechnen Sie den Parameter $A = f_x(0)$.

$A \ = \ $

$\ \rm 1/V$

2

Weiterhin sei $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $|x(t)|$ kleiner als $x_{\rm max}/2$?

${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| < 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $

3

Nun gelte $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ zwischen $1\hspace{0.05cm} {\rm V}$ und $3\hspace{0.05cm} {\rm V}$ liegt?

${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V} < x <3\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $

4

Es sei weiterhin $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ genau gleich $2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ist?

${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $

5

Es sei weiterhin $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

$y$ ist eine kontinuierliche Zufallsgröße.
$y$ ist eine diskrete Zufallsgröße.
$y$ ist eine gemischt kontinuierlich-diskrete Zufallsgröße.

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$, dass $y$ genau gleich $2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ist?

${\rm Pr}(y =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $


Musterlösung

Höhe und Fläche der Dreieck-WDF

(1)  Die Fläche unter der WDF muss stets den Wert $1$ ergeben. Daraus folgt:

$${A}/{ 2}\cdot {4\hspace{0.5cm}V}=1\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} A \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$


(2)  Mit $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ergibt sich die WDF entsprechend der linken Grafik.

  • Die Schraffierung markiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
  • Man erhält durch einfache geometrische Überlegungen:
$${\rm Pr}(|x|<\rm 1\hspace{0.05cm} V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.75}.$$


(3)  Mit $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$ erhält man die rechts dargestellte WDF und den Maximalwert $A = 1/(3\hspace{0.05cm} {\rm V})$. Die schraffierte Fläche gibt wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit an, die man zum Beispiel über das flächengleiche Rechteck bestimmen kann:

$${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V}< x<3\hspace{0.05cm} {\rm V})=\rm \frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot 2\hspace{0.05cm} {\rm V}=\hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$


(4)  Da $x$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt, ist diese Wahrscheinlichkeit definitionsgemäß gleich null   ⇒   ${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \;\underline {= 0}$.


Gemischt kontinuierlich/diskrete WDF

(5)  Nur die letzte Aussage der vorgegebenen Antworten ist zutreffend:

  • Die WDF $f_y(y)$ beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil (blau gezeichnet),
  • aber auch die (rote) Diracfunktion bei $y = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x >2\hspace{0.05cm} {\rm V})$.


(6)  Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgröße $y$ dargestellt. Aus der oberen rechten Abbildung zur Teilaufgabe (3) erkennt man den Zusammenhang:

$${\rm Pr}( y=2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = {\rm Pr}( x> 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot2{\hspace{0.05cm} {\rm V}} = {1}/{6}\hspace{0.15cm}\underline{=0.167}.$$