Aufgaben:Aufgabe 3.6Z: Komplexe Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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In Zusammenhang mit den [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Bandpass-Systemen]] wird oft mit einseitigen Spektren gearbeitet. In der Abbildung sehen Sie eine solche einseitige Spektralfunktion $\text{X(f)}$, die ein komplexes Zeitsignal $\text{x(t)}$ zur Folge hat.
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In Zusammenhang mit den [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Bandpass-Systemen]] wird oft mit einseitigen Spektren gearbeitet. In der Abbildung sehen Sie eine solche einseitige Spektralfunktion ${X(f)}$, die ein komplexes Zeitsignal ${x(t)}$ zur Folge hat.
  
 
In der unteren Skizze ist ${X(f)}$ in einen – bezüglich der Frequenz – geraden Anteil ${G(f)}$ sowie einen ungeraden Anteil ${U(f)}$ aufgespaltet.
 
In der unteren Skizze ist ${X(f)}$ in einen – bezüglich der Frequenz – geraden Anteil ${G(f)}$ sowie einen ungeraden Anteil ${U(f)}$ aufgespaltet.
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
*Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (Dauer Teil 1: 5:57 – Teil 2: 5:55)]] an Beispielen verdeutlicht.
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*Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] an Beispielen verdeutlicht.
 
*Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatzes]] und des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]].
 
*Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatzes]] und des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]].
 
*Verwenden Sie für die beiden ersten Teilaufgaben die Signalparameter $A = 1\, \text{V}$ und $f_0 = 125 \,\text{kHz}.$
 
*Verwenden Sie für die beiden ersten Teilaufgaben die Signalparameter $A = 1\, \text{V}$ und $f_0 = 125 \,\text{kHz}.$

Version vom 17. Januar 2018, 16:36 Uhr

Komplexe Exponentialfunktion

In Zusammenhang mit den Bandpass-Systemen wird oft mit einseitigen Spektren gearbeitet. In der Abbildung sehen Sie eine solche einseitige Spektralfunktion ${X(f)}$, die ein komplexes Zeitsignal ${x(t)}$ zur Folge hat.

In der unteren Skizze ist ${X(f)}$ in einen – bezüglich der Frequenz – geraden Anteil ${G(f)}$ sowie einen ungeraden Anteil ${U(f)}$ aufgespaltet.



Hinweise:


Fragebogen

1

Wie lautet die zu $G(f)$ passende Zeitfunktion $g(t)$? Wie groß ist $g(t = 1 \, \mu \text {s})$?

$\text{Re}[g(t = 1 \, \mu \text {s})]$  =

 $\text{V}$
$\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})]$  =

 $\text{V}$

2

Wie lautet die zu $U(f)$ passende Zeitfunktion $u(t)$? Wie groß ist $u(t = 1 \, \mu \text {s})$?

$\text{Re}[u(t = 1 \, \mu \text {s})]$  =

 $\text{V}$
$\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})]$  =

 $\text{V}$

3

Welche der Aussagen sind bezüglich des Signals $x(t)$ zutreffend?

Das Signal lautet $x(t) = A \cdot {\rm e}^{{\rm j}2\pi f_0 t}$.
In der komplexen Ebene dreht $x(t)$ im Uhrzeigersinn.
In der komplexen Ebene dreht $x(t)$ entgegen dem Uhrzeigersinn.
Für eine Umdrehung wird eine Mikrosekunde benötigt.


Musterlösung

1. $G(f)$ ist die Spektralfunktion eines Cosinussignals mit der Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \, \mu\text {s}$:

$$g( t ) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$

Bei $t = 1 \, \mu\text {s}$ ist der Signalwert gleich $A \cdot \cos(\pi /4)$:

  • Realteil $\text{Re}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$,
  • Imaginärteil $\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.}$.


2. Ausgehend von der Fourierkorrespondenz

$$A \cdot {\rm \delta} ( f )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, A$$

erhält man durch zweimalige Anwendung des Verschiebungssatzes (im Frequenzbereich):

$$U( f ) = {A}/{2} \cdot \delta ( {f - f_0 } ) - {A}/{2} \cdot \delta ( {f + f_0 } )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, u( t ) = {A}/{2} \cdot \left( {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} } \right).$$

Nach dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:

$$u( t ) = {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
  • Der Realteil dieses Signals ist stets $0$.
  • Bei $t = 1 \, \mu\text {s}$ gilt für den Imaginärteil: $\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$.


3. Wegen $X(f) = G(f) + U(f)$ gilt auch:

$$x(t) = g(t) + u(t) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ) + {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$

Dieses Ergebnis kann mit dem Satz von Euler wie folgt zusammengefasst werden:

$$x(t) = A \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} .$$

Richtig sind die vorgegebenen Alternativen 1 und 3.

  • Das Signal dreht in der komplexen Ebene in mathematisch positiver Richtung, also entgegen dem Uhrzeigersinn.
  • Für eine Umdrehung benötigt der „Zeiger” die Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \, \mu\text {s}$.