Aufgaben:Aufgabe 2.6: GF(P hoch m). Welches P, welches m?: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | Es soll ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ mit $q = P^m$ Elementen analysiert werden, das durch die nebenstehenden Tabellen für Addition (gekennzeichnet mit „$+$”) und Multiplikation (gekennzeichnet mit „$\cdot$”) vorgegeben ist. Dieses Galoisfeld | ||
+ | :$${\rm GF}(q) = \{\hspace{0.1cm}z_0,\hspace{0.1cm} z_1,\hspace{0.1cm} ... , \hspace{0.1cm}z_{q-1}\}$$ | ||
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+ | * ein neutrales Element hinsichtlich Addition ⇒ $N_{\rm A}$: | ||
+ | :$$\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q) : | ||
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+ | * ein neutrales Element hinsichtlich Multiplikation ⇒ $N_{\rm M}$: | ||
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+ | \hspace{0.25cm}z_i \cdot z_j = z_i $$ | ||
+ | :$$ \Rightarrow \hspace{0.25cm} z_j = N_{\rm M} = {\rm "1"} \hspace{0.25cm}{\rm (Einselement)} | ||
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+ | * für alle Elemente $z_i$ eine additive Inverse ⇒ ${\rm Inv_A}(z_i)$: | ||
+ | :$$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q)\hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) \in {\rm GF}(q):$$ | ||
+ | :$$z_i + {\rm Inv_A}(z_i) = N_{\rm A} = {\rm "0"}\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz:}\hspace{0.15cm} | ||
+ | {\rm Inv_A}(z_i) = - z_i \hspace{0.05cm}, $$ | ||
+ | * für alle Elemente $z_i$ mit Ausnahme des Nullelements eine multiplikative Inverse ⇒ ${\rm Inv_M}(z_i)$: | ||
+ | :$$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_i \ne N_{\rm A} \hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) \in {\rm GF}(q):$$ | ||
+ | :$$z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = N_{\rm M} = {\rm "1"} | ||
+ | \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz:}\hspace{0.15cm} | ||
+ | {\rm Inv_M}(z_i) = z_i^{-1} | ||
+ | \hspace{0.05cm}. $$ | ||
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+ | ''Hinweise:'' | ||
+ | * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[...]]. | ||
+ | * In den Tabellen sind die Elemente $z_0, \ ... \ , \ z_8$ als Koeffizientenvektoren bezeichnet. So steht zum Beispiel „$21$” für die ausführliche Schreibweise $2 \cdot \alpha + 1$. | ||
Version vom 15. Dezember 2017, 23:23 Uhr
Es soll ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ mit $q = P^m$ Elementen analysiert werden, das durch die nebenstehenden Tabellen für Addition (gekennzeichnet mit „$+$”) und Multiplikation (gekennzeichnet mit „$\cdot$”) vorgegeben ist. Dieses Galoisfeld
- $${\rm GF}(q) = \{\hspace{0.1cm}z_0,\hspace{0.1cm} z_1,\hspace{0.1cm} ... , \hspace{0.1cm}z_{q-1}\}$$
erfüllt alle Anforderungen an einen endlichen Körper, die im Kapitel 2.1 aufgeführt sind. Kommutativ– Assoziativ– und Distributivgesetz werden erfüllt. Weiterhin gibt s
- ein neutrales Element hinsichtlich Addition ⇒ $N_{\rm A}$:
- $$\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q) : \hspace{0.25cm}z_i + z_j = z_i $$
- $$\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} z_j = N_{\rm A} = {\rm "0"} \hspace{0.25cm}{\rm (Nullelement)} \hspace{0.05cm},$$
- ein neutrales Element hinsichtlich Multiplikation ⇒ $N_{\rm M}$:
- $$\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q) : \hspace{0.25cm}z_i \cdot z_j = z_i $$
- $$ \Rightarrow \hspace{0.25cm} z_j = N_{\rm M} = {\rm "1"} \hspace{0.25cm}{\rm (Einselement)} \hspace{0.05cm},$$
- für alle Elemente $z_i$ eine additive Inverse ⇒ ${\rm Inv_A}(z_i)$:
- $$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q)\hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) \in {\rm GF}(q):$$
- $$z_i + {\rm Inv_A}(z_i) = N_{\rm A} = {\rm "0"}\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz:}\hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) = - z_i \hspace{0.05cm}, $$
- für alle Elemente $z_i$ mit Ausnahme des Nullelements eine multiplikative Inverse ⇒ ${\rm Inv_M}(z_i)$:
- $$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_i \ne N_{\rm A} \hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) \in {\rm GF}(q):$$
- $$z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = N_{\rm M} = {\rm "1"} \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz:}\hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) = z_i^{-1} \hspace{0.05cm}. $$
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel ....
- In den Tabellen sind die Elemente $z_0, \ ... \ , \ z_8$ als Koeffizientenvektoren bezeichnet. So steht zum Beispiel „$21$” für die ausführliche Schreibweise $2 \cdot \alpha + 1$.
Fragebogen
Musterlösung
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