Aufgaben:Aufgabe 1.4: Rayleigh–WDF und Jakes–LDS: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten zwei verschiedene Mobilfunkkanäle mit [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Beispielhafte_Signalverl.C3.A4ufe_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading|'''Rayleigh–Fading''']]. In beiden Fällen lässt sich die WDF des Betrags $a(t) = |z(t)| #8805; 0$ in folgender Weise darstellen:
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Wir betrachten zwei verschiedene Mobilfunkkanäle mit [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Beispielhafte_Signalverl.C3.A4ufe_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading|'''Rayleigh&ndash;Fading''']]. In beiden Fällen lässt sich die WDF des Betrags $a(t) = |z(t)| <#8805; 0$ in folgender Weise darstellen:
 
:$$f_a(a) =  \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2}{2\sigma^2}]  
 
:$$f_a(a) =  \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2}{2\sigma^2}]  
 
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Version vom 21. Oktober 2017, 14:43 Uhr

P ID2119 Mob A 1 4.png

Wir betrachten zwei verschiedene Mobilfunkkanäle mit Rayleigh–Fading. In beiden Fällen lässt sich die WDF des Betrags $a(t) = |z(t)| <#8805; 0$ in folgender Weise darstellen:

$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2}{2\sigma^2}] \hspace{0.05cm}.$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Betrag kleiner oder gleich einem vorgegebenen Wert A ist, kann wie folgt berechnet werden:

$${\rm Pr}(|z(t)| \le A) = 1 - {\rm exp} [ -\frac{A^2}{2\sigma^2}] \hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Kanäle, die entsprechend den Farben „Rot” und „Blau” in den Grafiken mit (R) bzw. (B) bezeichnet werden, unterscheiden sich durch die Geschwindigkeit υ und damit in der Form des Leistungsdichtespektrums Φz(fD). In beiden Fällen ergibt sich aber ein Jakes–Spektrum. Für eine Dopplerfrequenz fD, deren Betrag kleiner als ein Grenzwert fD, max ist, lautet die Gleichung:

$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{1}{\pi \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}\sqrt{ 1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } } \hspace{0.05cm}.$$

Dopplerfrequenzen außerhalb dieses Intervalls von –fD, max bis +fD, max sind ausgeschlossen. Die entsprechende Beschreibungsgröße im Zeitbereich ist die Autokorrelationsfunktion (AKF):

$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet J0(.) die Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung. Es gilt J0(0) = 1. Vom Kanalmodell (R) ist die maximale Dopplerfrequenz bekannt: fD, max = 200 Hz. Außerdem ist bekannt, dass sich die Geschwindigkeiten υR und υB um den Faktor 2 unterscheiden. Ob υR doppelt so groß ist als υB oder umgekehrt, sollen Sie anhand der obigen Grafiken entscheiden.


Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 1.3. Zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse können Sie folgendes Interaktionsmodul benutzen:

  1. WDF, VTF und Momente



Fragebogen

1

Ermitteln Sie den Rayleigh–Parameter σ für die Kanäle (R) und (B).

$\sigma_R \ = \ $

$\ \rm $
$\sigma_B \ = \ $

$\ \rm $

2

Geben Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit an, dass 20 · lg a ≤ –10 dB ist, was gleichzeitig auch bedeutet, dass a ≤ 0.316 ist.

$(R):   Pr(a ≤ 0.316) \ = \ $

$\ \rm \%$
$(B):   Pr(a ≤ 0.316) \ = \ $

$\ \rm \%$

3

Welche Aussagen sind bezüglich den Fahrgeschwindigkeiten zutreffend?

$\upsilon_B$ ist doppelt so groß als $\upsilon_R$.
$\upsilon_B$ ist halb so groß als $\upsilon_R$.
Mit $\upsilon = 0$ wäre $|z(t)|$ konstant.
Mit $\upsilon = 0$ wäre $|z(t)|$ spektral gesehen weiß.
Mit $\upsilon → ∞$ wäre $|z(t)|$ konstant.
Mit $\upsilon → ∞$ wäre $|z(t)|$ weiß.

4

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Der LDS–Wert $\Phi_z(f_D = 0)$ ist bei beiden Kanälen gleich.
Der AKF–Wert $\varphi_z(\Delta t = 0)$ ist bei beiden Kanälen gleich.
Die Fläche unter $\Phi_z(f_D)$ ist bei beiden Kanälen gleich.
Die Fläche unter $\varphi_z(\Delta t)$ ist bei beiden Kanälen gleich.


Musterlösung

1. Aus der WDF erkennt man, dass das WDF–Maximum für beide Kanäle gleich 0.6 ist und für a = 1 auftritt. Die Rayleigh–WDF und ihre Ableitung lauten allgemein:

$$f_a(a) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2}{2\sigma^2}] \hspace{0.05cm},\\ \frac{{\rm d}f_a(a)}{{\rm d}a} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a}{2\sigma^2}]- \frac{a^2}{\sigma^4} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2}{2\sigma^2}] \hspace{0.05cm}.$$

Durch Nullsetzen der Ableitung lässt sich zeigen, dass das WDF–Maximum bei a = σ auftritt. Da die Rayleigh–WDF für beide Kanäle gilt, folgt daraus:

$$\sigma_{\rm R} = \sigma_{\rm B} \hspace{0.15cm} \underline{ = 1} \hspace{0.05cm}.$$


2. Wegen der gleichen WDF ist auch die gesuchte Wahrscheinlichkeit für beide Kanäle gleich. Mit der angegebenen Gleichung erhält man hierfür:

$${\rm Pr}(a \le 0.316) = {\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} a \le -10\,\,{\rm dB}) = 1 - {\rm exp} [ -\frac{0.316^2}{2\sigma^2}] = 1- 0.951 \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 4.9 \%} \hspace{0.05cm}.$$


3. Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 6:

  • Die kleinere Geschwindigkeit $\upsilon_B$ erkennt man daran, dass sich der Betrag $|z(t)|$ bei der blauen Kurve langsamer ändert.
  • Bei stehendem Fahrzeug entartet das LDS zu $\Phi_z(f_D) = 2\sigma^2\cdot \delta(f_D)$, und es ist $|z(t)| = A = const.$, wobei die Konstante $A$ entsprechend der Rayleighverteilung ausgewürfelt wird.
  • Bei extrem hoher Geschwindigkeit wird das Jakes–Spektrum über einen immer größeren Bereich flach und immer kleiner; es nähert sich dann dem LDS von weißem Rauschen an. Allerdings müsste dazu $\upsilon$ schon in der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit sein.


4. Richtig sind hier die beiden Aussagen 2 und 3. Durch den Rayleigh–Parameter $\sigma = 1$ liegt auch die „Leistung” $E[|z(t)|^2] = 2\sigma^2 = 2$ des Zufallsprozesses fest. Somit gilt sowohl für (R) als auch für (B):

$$\varphi_z ({\rm \Delta}t = 0) = 2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \int_{-\infty}^{+\infty}{\it \Phi}_z(f_{\rm D}) \hspace{0.15cm}{\rm d}f_{\rm D} = 2 \hspace{0.05cm}.$$