Aufgaben:Aufgabe 5.2Z: Zur PN–Modulation: Unterschied zwischen den Versionen
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{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_B$ ergibt sich für $10 \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 6\ \rm dB$ bei PN–Modulation? | {Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_B$ ergibt sich für $10 \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 6\ \rm dB$ bei PN–Modulation? | ||
− | ''Hinweis.'' Bei BPSK gilt in diesem Fall: $p_{\rm B} ≈ 2.3 · 10^{–3}$. | + | <br>''Hinweis.'' Bei BPSK gilt in diesem Fall: $p_{\rm B} ≈ 2.3 · 10^{–3}$. |
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- Je größer $J$ gewählt wird, desto kleiner ist $p_{\rm B}$. | - Je größer $J$ gewählt wird, desto kleiner ist $p_{\rm B}$. | ||
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− | '''1 | + | '''(1)''' Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>: |
− | $$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t $$ | + | *Es handelt sich hier um einen optimalen Empfänger. |
− | folgt, dass $d(νT)$ nur die Werte +1 und | + | *Ohne Rauschen ist Signal $b(t)$ innerhalb eines jeden Bits konstant gleich $+1$ oder $-1$. Aus der angegebenen Gleichung für den Integrator |
+ | :$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t $$ | ||
+ | :folgt, dass $d(νT)$ nur die Werte $+1$ und $-1$ annehmen kann. | ||
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− | ''' | + | '''(2)''' Richtig ist wieder der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>: |
− | + | * Im rausch– und störungsfreien Fall ⇒ $n(t) = 0$ kann auf die zweifache Multiplikation mit $c(t) ∈ \{+1, –1\}$ verzichtet werden, so dass das obere Modell mit dem unteren Modell identisch ist. | |
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+ | '''(3)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: | ||
+ | *Da beide Modelle im rauschfreien Fall identisch sind, muss nur das Rauschsignal angepasst werden: $n'(t) = n(t) · c(t)$. | ||
+ | *Die beiden anderen Lösungsvorschläge sind dagegen nicht zutreffend: Die Integration muss weiterhin über $T = J · T_c$ erfolgen und die PN–Modulation verringert das AWGN–Rauschen nicht. | ||
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+ | '''(4)''' Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>: | ||
+ | *Multipliziert man das AWGN–Rauschen mit dem hochfrequenten $±1$–Signal $c(t)$, so ist auch das Produkt gaußförmig und weiß. | ||
+ | * Wegen ${\rm E}[c^2(t)] = 1$ wird auch die Rauschvarianz nicht verändert. | ||
+ | *Die für BPSK gültige Gleichung $p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt {{2 E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$ ist somit auch bei der PN–Modulation anwendbar und zwar unabhängig vom Spreizfaktor $J$ und von der spezifischen Spreizfolge. | ||
+ | *Ergo: Bei AWGN–Rauschen wird die Fehlerwahrscheinlichkeit durch Bandspreizung weder vergrößert noch verkleinert. | ||
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Version vom 1. August 2017, 11:04 Uhr
Die Grafik zeigt das Ersatzschaltbild der PN–Modulation (engl. Direct Sequence Spread Spectrum, abgekürzt DS–SS) im äquivalenten Tiefpassbereich, wobei AWGN–Rauschen $n(t)$ zugrunde liegt. Darunter dargestellt ist das TP–Modell der binären Phasenmodulation (BPSK).
Das Tiefpass–Sendesignal $s(t)$ ist aus Gründen einheitlicher Darstellung gleich dem rechteckförmigen Quellensignal $q(t) ∈ \{+1, –1\}$ mit Rechteckdauer $T$ gesetzt ist. Die Funktion des Integrators kann wie folgt beschrieben werden:
- $$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
Die beiden Modelle unterscheiden sich durch die Multiplikation mit dem $±1$–Spreizsignal $c(t)$ bei Sender und Empfänger, wobei von $c(t)$ lediglich der Spreizgrad $J$ bekannt ist.
Zu untersuchen ist, ob sich das untere BPSK–Modell auch bei PN–Modulation anwenden lässt und ob die BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit
- $$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$
auch für die PN–Modulation gültig ist, bzw. wie die angegebene Gleichung zu modifizieren ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel PN–Modulation.
- Für die Lösung dieser Aufgabe ist die Angabe der spezifischen Spreizfolge (M–Sequenz oder Walsh–Funktion) nicht von Bedeutung.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- Es handelt sich hier um einen optimalen Empfänger.
- Ohne Rauschen ist Signal $b(t)$ innerhalb eines jeden Bits konstant gleich $+1$ oder $-1$. Aus der angegebenen Gleichung für den Integrator
- $$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t $$
- folgt, dass $d(νT)$ nur die Werte $+1$ und $-1$ annehmen kann.
(2) Richtig ist wieder der letzte Lösungsvorschlag:
- Im rausch– und störungsfreien Fall ⇒ $n(t) = 0$ kann auf die zweifache Multiplikation mit $c(t) ∈ \{+1, –1\}$ verzichtet werden, so dass das obere Modell mit dem unteren Modell identisch ist.
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:
- Da beide Modelle im rauschfreien Fall identisch sind, muss nur das Rauschsignal angepasst werden: $n'(t) = n(t) · c(t)$.
- Die beiden anderen Lösungsvorschläge sind dagegen nicht zutreffend: Die Integration muss weiterhin über $T = J · T_c$ erfolgen und die PN–Modulation verringert das AWGN–Rauschen nicht.
(4) Richtig ist der letzte Lösungsvorschlag:
- Multipliziert man das AWGN–Rauschen mit dem hochfrequenten $±1$–Signal $c(t)$, so ist auch das Produkt gaußförmig und weiß.
- Wegen ${\rm E}[c^2(t)] = 1$ wird auch die Rauschvarianz nicht verändert.
- Die für BPSK gültige Gleichung $p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt {{2 E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$ ist somit auch bei der PN–Modulation anwendbar und zwar unabhängig vom Spreizfaktor $J$ und von der spezifischen Spreizfolge.
- Ergo: Bei AWGN–Rauschen wird die Fehlerwahrscheinlichkeit durch Bandspreizung weder vergrößert noch verkleinert.