Aufgaben:Aufgabe 4.7Z: Zum Water–Filling–Algorithmus: Unterschied zwischen den Versionen
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− | '''1.''' | + | '''1.''' Nach den Ausführungen im [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Parallele_Gau.C3.9Fsche_Kan.C3.A4le |'''im Theorieteil''']] ist die Strategie „Water–Filling” ⇒ <u>Vorschlag 2</u> anzuwenden, wenn ungleiche Bedingungen vorliegen. <u>Lösungsvorschlag 3</u> ist aber ebenfalls richtig: Bei gleich guten Kanälen spricht nichts dagegen, alle <i>K</i> Kanäle mit der gleichen Leistung <i>P</i><sub>1</sub> = ... = <i>P<sub>K</sub></i> = <i>P<sub>X</sub></i>/<i>K</i> zu versorgen. |
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+ | '''2.''' Für die Transinformation gilt bei gleicher Leistungsaufteilung: | ||
+ | $$I = I(X_1, X_2\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1, Y_2) \ = \ \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{5}{1} \right ) | ||
+ | +\frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{5}{4} \right )=\\$$$$\hspace{-0.15cm} 1.292\,{\rm bit}+ 0.585\,{\rm bit} | ||
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Version vom 28. Mai 2017, 12:19 Uhr
Wir betrachten K parallele Gaußsche Kanäle (AWGN) mit unterschiedlichen Störleistungen σk2 (1 ≤ k ≤ K), wie in der nebenstehenden Grafik am Beispiel K = 4 verdeutlicht ist. Die Sendeleistung in den einzelnen Kanälen wird mit Pk bezeichnet, deren Summe den vorgegebenen Wert PX nicht überschreiten darf: $$P_1 + ... \hspace{0.05cm}+ P_K = \hspace{0.1cm} \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm}{\rm E} \left [ X_k^2\right ] \le P_{X} \hspace{0.05cm}.$$ Sind die Zufallsgrößen X1, ..., Xk gaußisch, so kann für die (gesamte) Transinformation zwischen dem Eingang X und dem Ausgang Y geschrieben werden: $$I(X_1, ... \hspace{0.05cm}, X_K\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1, ... \hspace{0.05cm}, Y_K) = 1/2 \cdot \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac{P_k}{\sigma_k^2})\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} {\rm Ergebnis\hspace{0.15cm} in \hspace{0.15cm} bit} \hspace{0.05cm}.$$ Das Maximum hierfür ist die Kanalkapazität des Gesamtsystems, wobei sich die Maximierung auf die Aufteilung der Gesamtleistung PX auf die einzelnen Kanäle bezieht. $$C_K(P_X) = \max_{P_k\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}P_1 + ... \hspace{0.05cm}+ P_K = P_X} \hspace{-0.5cm} I(X_1, ... \hspace{0.05cm}, X_K\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1, ... \hspace{0.05cm}, Y_K) \hspace{0.05cm}.$$ Diese Maximierung kann mit dem Water–Filling–Algorithmus geschehen, der in obiger Grafik für K = 4 dargestellt ist. Eine genaue Beschreibung finden Sie im Theorieteil In der vorliegenden Aufgabe soll dieser Algorithmus angewendet werden, wobei von folgenden Voraussetzungen auszugehen ist:
- Zwei parallele Gaußkanäle ⇒ K = 2,
- Normierte Störleistungen σ12 = 1 und σ22 = 4,
- Normierte Sendeleistungen PX = 10 bzw. PX = 3.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Themengebiet von Kapitel 4.2.
Fragebogen
Musterlösung
2. Für die Transinformation gilt bei gleicher Leistungsaufteilung: $$I = I(X_1, X_2\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1, Y_2) \ = \ \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{5}{1} \right ) +\frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{5}{4} \right )=\\$$$$\hspace{-0.15cm} 1.292\,{\rm bit}+ 0.585\,{\rm bit} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.877\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$ 3. 4. 5. 6. 7.