Aufgaben:Aufgabe 4.15: WDF und Kovarianzmatrix: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten hier die dreidimensionale Zufallsgröße $\mathbf{x}$, deren allgemein dargestellte Kovarianzmatrix $\mathbf{K}(\mathbf{x})$ in der Grafik angegeben ist. Die Zufallsgröße besitzt folgende Eigenschaften:
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Wir betrachten hier die dreidimensionale Zufallsgröße $\mathbf{x}$, deren allgemein dargestellte Kovarianzmatrix $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$ in der Grafik angegeben ist. Die Zufallsgröße besitzt folgende Eigenschaften:
  
 
* Die drei Komponenten sind gaußverteilt und es gilt für die Elemente der Kovarianzmatrix:
 
* Die drei Komponenten sind gaußverteilt und es gilt für die Elemente der Kovarianzmatrix:
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* Die Elemente auf der Hauptdiagonalen seien bekannt:
 
* Die Elemente auf der Hauptdiagonalen seien bekannt:
 
:$$ K_{11} =1, K_{22} =0, K_{33} =0.25.$$
 
:$$ K_{11} =1, K_{22} =0, K_{33} =0.25.$$
* Der Korrelationskoeffizient zwischen den Koeffizienten $x_1$ und $x_3$ beträgt $0.8$.
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* Der Korrelationskoeffizient zwischen den Koeffizienten $x_1$ und $x_3$ beträgt $\rho_{13} = 0.8$.
  
Im zweiten Teil der Aufgabe soll die Zufallsgröße $\mathbf{y}$ mit den beiden Komponenten $y_1$ und $y_2$ betrachtet werden, deren Kovarianzmatrix $\mathbf{K}(\mathbf{y})$ durch die angegebenen Zahlenwerte $(1, 0.4, 0.25)$ bestimmt ist.
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Im zweiten Teil der Aufgabe soll die Zufallsgröße $\mathbf{y}$ mit den beiden Komponenten $y_1$ und $y_2$ betrachtet werden, deren Kovarianzmatrix $\mathbf{K}_{\mathbf{y}}$ durch die angegebenen Zahlenwerte $(1, 0.4, 0.25)$ bestimmt ist.
  
 
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer mittelwertfreien Gaußschen zweidimensionalen Zufallsgröße $\mathbf{y}$ lautet gemäß den Angaben auf der Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Zusammenhang_zwischen_Kovarianzmatrix_und_WDF|Zusammenhang zwischen Kovarianzmatrix und WDF]] mit $N = 2$:
 
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer mittelwertfreien Gaußschen zweidimensionalen Zufallsgröße $\mathbf{y}$ lautet gemäß den Angaben auf der Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Zusammenhang_zwischen_Kovarianzmatrix_und_WDF|Zusammenhang zwischen Kovarianzmatrix und WDF]] mit $N = 2$:
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\sqrt{|\mathbf{K_y}|}}}\cdot {\rm exp}{\left(-\frac{1}{2}\cdot \mathbf{y} ^{\rm T}\cdot\mathbf{K_y}^{-1} \cdot \mathbf{y}  \right)}=  C \cdot  {\rm exp}{\left(-\gamma_1 \cdot y_1^2 + \gamma_2 \cdot y_2^2 +\gamma_{12} \cdot y_1 \cdot y_2 \right)}.$$
 
\sqrt{|\mathbf{K_y}|}}}\cdot {\rm exp}{\left(-\frac{1}{2}\cdot \mathbf{y} ^{\rm T}\cdot\mathbf{K_y}^{-1} \cdot \mathbf{y}  \right)}=  C \cdot  {\rm exp}{\left(-\gamma_1 \cdot y_1^2 + \gamma_2 \cdot y_2^2 +\gamma_{12} \cdot y_1 \cdot y_2 \right)}.$$
  
In den Teilaufgaben (5) und (6) sollen der Vorfaktor $C$ und die weiteren WDF-Koeffizienten $\&gamma_1$, $\&gamma_2$ und $\&gamma_{12}$ gemäß dieser Vektordarstellung berechnet werden. Dagegen würde die entsprechende Gleichung bei herkömmlicher Vorgehensweise entsprechend dem Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]] lauten:
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In den Teilaufgaben (5) und (6) sollen der Vorfaktor $C$ und die weiteren WDF-Koeffizienten $\gamma_1$, $\gamma_2$ und $\gamma_{12}$ gemäß dieser Vektordarstellung berechnet werden. Dagegen würde die entsprechende Gleichung bei herkömmlicher Vorgehensweise entsprechend dem Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]] lauten:
 
:$$f_{y_1,\hspace{0.1cm}y_2}(y_1,y_2)=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sigma_1
 
:$$f_{y_1,\hspace{0.1cm}y_2}(y_1,y_2)=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sigma_1
 
\sigma_2 \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\cdot\exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2
 
\sigma_2 \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\cdot\exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2
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{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
 
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- Die Zufallsgröße <b>x</b> ist mit Sicherheit mittelwertfrei.
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- Die Zufallsgröße $\mathbf{x}$ ist mit Sicherheit mittelwertfrei.
+ Die Matrixelemente <i>K</i><sub>12</sub>, <i>K</i><sub>21</sub>, <i>K</i><sub>23</sub> und <i>K</i><sub>32</sub> sind 0.
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+ Die Matrixelemente $K_{12}$, $K_{212}$, $K_{23}$ und $K_{32}$ sind $0$.
- Es gilt <i>K</i><sub>31</sub> = &ndash;<i>K</i><sub>13</sub>.
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- Es gilt $K_{31} = -K_{13}$.
  
  
 
{Berechnen Sie das Matrixelement der letzten Zeile und ersten Spalte.
 
{Berechnen Sie das Matrixelement der letzten Zeile und ersten Spalte.
 
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$K_\text{31}$ = { 0.4 3% }
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$K_\text{31} \ = $ { 0.4 3% }
  
  
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{Berechnen Sie die Determinante $|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}|$.
 
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$|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}| \ = $ { 0.09 3% }
  
  
{Berechnen Sie die inverse Matrix <b>I<sub>y</sub></b> =  
+
{Berechnen Sie die inverse Matrix $\mathbf{I}_{\mathbf{y}} = \mathbf{K}_{\mathbf{y}}^{-1}$ mit den Matrixelementen  
<b>K<sub>y</sub></b><sup>&ndash;1</sup> mit den Matrixelementen  
+
$I_{ij}$ :
<i>I<sub>ij</sub></i>:
 
 
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$I_\text{11}$ = { 2.777 3% }
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$I_\text{12}$ = { 4.444 3% }
+
$I_\text{12} \ = $ { 4.444 3% }
$I_\text{21}$ = { 4.444 3% }
+
$I_\text{21} \ = $ { 4.444 3% }
$I_\text{22}$ = { 11.111 3% }
+
$I_\text{22} \ = $ { 11.111 3% }
  
  
{Berechnen Sie den Vorfaktor <i>C</i> der 2D-WDF und vergleichen Sie das Ergebnis
+
{Berechnen Sie den Vorfaktor $C$ der 2D-WDF. Vvergleichen Sie das Ergebnis
mit der entsprechenden Formel gemäß Kapitel 4.2.
+
mit der entsprechenden Formel gemäß dem Theorieteil.
 
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$C$ = { 0.531 3% }
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$C\ = $ { 0.531 3% }
  
  
 
{Bestimmen Sie die Koeffizienten im Argument der Exponentialfunktion. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der 2D&ndash;WDF&ndash;Gleichung.
 
{Bestimmen Sie die Koeffizienten im Argument der Exponentialfunktion. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der 2D&ndash;WDF&ndash;Gleichung.
 
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$\gamma_1$ = { 1.389 3% }
+
$\gamma_1 \ = $ { 1.389 3% }
$\gamma_2$ = { 5.556 3% }
+
$\gamma_2 \ = $ { 5.556 3% }
$\gamma_12$ = - { 4.444 3% }
+
$\gamma_{12}\ = $ { -4.454--4.434 }
  
  

Version vom 3. April 2017, 09:35 Uhr

Gegebene Korrelationsmatrizen

Wir betrachten hier die dreidimensionale Zufallsgröße $\mathbf{x}$, deren allgemein dargestellte Kovarianzmatrix $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$ in der Grafik angegeben ist. Die Zufallsgröße besitzt folgende Eigenschaften:

  • Die drei Komponenten sind gaußverteilt und es gilt für die Elemente der Kovarianzmatrix:
$$K_{ij} = \sigma_i \cdot \sigma_j \cdot \rho_{ij}.$$
  • Die Elemente auf der Hauptdiagonalen seien bekannt:
$$ K_{11} =1, K_{22} =0, K_{33} =0.25.$$
  • Der Korrelationskoeffizient zwischen den Koeffizienten $x_1$ und $x_3$ beträgt $\rho_{13} = 0.8$.

Im zweiten Teil der Aufgabe soll die Zufallsgröße $\mathbf{y}$ mit den beiden Komponenten $y_1$ und $y_2$ betrachtet werden, deren Kovarianzmatrix $\mathbf{K}_{\mathbf{y}}$ durch die angegebenen Zahlenwerte $(1, 0.4, 0.25)$ bestimmt ist.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer mittelwertfreien Gaußschen zweidimensionalen Zufallsgröße $\mathbf{y}$ lautet gemäß den Angaben auf der Seite Zusammenhang zwischen Kovarianzmatrix und WDF mit $N = 2$:

$$\mathbf{f_y}(\mathbf{y}) = \frac{1}{{(2 \pi) \cdot \sqrt{|\mathbf{K_y}|}}}\cdot {\rm exp}{\left(-\frac{1}{2}\cdot \mathbf{y} ^{\rm T}\cdot\mathbf{K_y}^{-1} \cdot \mathbf{y} \right)}= C \cdot {\rm exp}{\left(-\gamma_1 \cdot y_1^2 + \gamma_2 \cdot y_2^2 +\gamma_{12} \cdot y_1 \cdot y_2 \right)}.$$

In den Teilaufgaben (5) und (6) sollen der Vorfaktor $C$ und die weiteren WDF-Koeffizienten $\gamma_1$, $\gamma_2$ und $\gamma_{12}$ gemäß dieser Vektordarstellung berechnet werden. Dagegen würde die entsprechende Gleichung bei herkömmlicher Vorgehensweise entsprechend dem Kapitel Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen lauten:

$$f_{y_1,\hspace{0.1cm}y_2}(y_1,y_2)=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\cdot\exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 (1-\rho^{\rm 2})}\cdot(\frac { y_1^{\rm 2}}{\sigma_1^{\rm 2}}+\frac { y_2^{\rm 2}}{\sigma_2^{\rm 2}}-\rm 2\rho \frac{{\it y}_1{\it y}_2}{\sigma_1 \cdot \sigma_2}) \rm \Bigg].$$


Hinweise:


Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

Die Zufallsgröße $\mathbf{x}$ ist mit Sicherheit mittelwertfrei.
Die Matrixelemente $K_{12}$, $K_{212}$, $K_{23}$ und $K_{32}$ sind $0$.
Es gilt $K_{31} = -K_{13}$.

2

Berechnen Sie das Matrixelement der letzten Zeile und ersten Spalte.

$K_\text{31} \ = $

3

Berechnen Sie die Determinante $|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}|$.

$|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}| \ = $

4

Berechnen Sie die inverse Matrix $\mathbf{I}_{\mathbf{y}} = \mathbf{K}_{\mathbf{y}}^{-1}$ mit den Matrixelementen $I_{ij}$ :

$I_\text{11} \ = $

$I_\text{12} \ = $

$I_\text{21} \ = $

$I_\text{22} \ = $

5

Berechnen Sie den Vorfaktor $C$ der 2D-WDF. Vvergleichen Sie das Ergebnis mit der entsprechenden Formel gemäß dem Theorieteil.

$C\ = $

6

Bestimmen Sie die Koeffizienten im Argument der Exponentialfunktion. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der 2D–WDF–Gleichung.

$\gamma_1 \ = $

$\gamma_2 \ = $

$\gamma_{12}\ = $


Musterlösung

1.  Anhand der Kovarianzmatrix Kx ist keine Aussage darüber möglich, ob die zugrunde liegende Zufallsgröße x mittelwertfrei oder mittelwertbehaftet ist, da ein eventueller Mittelwert m herausgerechnet wird. Um Aussagen über den Mittelwert machen zu können, müsste die Korrelationsmatrix Rx bekannt sein. Aus K22 = (σ2)2 = 0 folgt zwingend, dass alle Elemente in der zweiten Zeile (K21, K23) und der zweiten Spalte (K12, K32) ebenfalls 0 sind. Dagegen ist die dritte Aussage falsch: Die Elemente sind symmetrisch zur Hauptdiagonalen, so dass stets K31 = K13 gelten muss. Richtig ist nur der Vorschlag 2.
P ID2915 Sto A 4 15a.png
2.  Aus K11 = 1 und K33 = 0.25 folgen direkt σ1 = 1 und σ3 = 0.5. Zusammen mit dem Korrelationskoeffizienten ρ13 = 0.8 (siehe Angabenblatt) erhält man somit:
$$K_{13} = K_{31} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 \cdot \rho_{13}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.4}.$$
3.  Die Determinante der Matrix Ky lautet:
$$|{\mathbf{K_y}}| = 1 \cdot 0.25 - 0.4 \cdot 0.4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.09}.$$
4.  Entsprechend den Angaben auf der Seite „Determinante und inverse Matrix” gilt:
$${\mathbf{I_y}} = {\mathbf{K_y}}^{-1} = \frac{1}{|{\mathbf{K_y}}|}\cdot \left[ \begin{array}{cc} 0.25 & -0.4 \\ -0.4 & 1 \end{array} \right].$$
Mit |Ky| = 0.09 gilt deshalb weiter:
$$I_{11} = \frac{25}{9}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2.777};\hspace{0.3cm} I_{12} = I_{21} ='"`UNIQ--h-0--QINU`"'-\frac{40}{9} \hspace{0.15cm}\underline{ = -4.447};\hspace{0.3cm}I_{22} = \frac{100}{9} \hspace{0.15cm}\underline{= 11.111}.$$
5.  Ein Vergleich der Matrizen Ky und Kx unter der Nebenbedingung K22 = 0 zeigt, dass x und y identische Zufallsgrößen sind, wenn man y1 = x1 und y2 = x3 setzt. Somit gilt für die WDF-Parameter:
$$\sigma_1 =1, \hspace{0.3cm} \sigma_2 =0.5, \hspace{0.3cm} \rho = 0.8.$$
Der Vorfaktor entsprechend Kapitel 4.2 ist somit:
$$C =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{\rm 1-\rho^2}}= \frac{\rm 1}{\rm 2\pi \cdot 1 \cdot 0.5 \cdot 0.6}= \frac{1}{0.6 \cdot \pi} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.531}.$$
Mit der in der Teilaufgabe 3) berechneten Determinante ergibt sich das gleiche Ergebnis:
$$C =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sqrt{|{\mathbf{K_y}}|}}= \frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sqrt{0.09}} = \frac{1}{0.6 \cdot \pi}.$$
6.  Die unter Punkt 4) berechnete inverse Matrix kann auch wie folgt geschrieben werden:
$${\mathbf{I_y}} = \frac{5}{9}\cdot \left[ \begin{array}{cc} 5 & -8 \\ -8 & 20 \end{array} \right].$$
Somit lautet das Argument A der Exponentialfunktion:
$$A = \frac{5}{18}\cdot{\mathbf{y}}^{\rm T}\cdot \left[ \begin{array}{cc} 5 & -8 \\ -8 & 20 \end{array} \right]\cdot{\mathbf{y}} =\frac{5}{18}\left( 5 \cdot y_1^2 + 20 \cdot y_2^2 -16 \cdot y_1 \cdot y_2\right).$$
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
$$\gamma_1 = \frac{25}{18} \approx 1.389; \hspace{0.3cm} \gamma_2 = \frac{100}{18} \approx 5.556; \hspace{0.3cm} \gamma_{12} = - \frac{80}{18} \approx -4.444.$$
Entsprechend der herkömmlichen Vorgehensweise ergeben sich die gleichen Zahlenwerte:
$$\gamma_1 =\frac{\rm 1}{\rm 2\cdot \sigma_1^2 \cdot ({\rm 1-\rho^2})}= \frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot 1 \cdot 0.36} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 1.389},$$
$$\gamma_2 =\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot\sigma_2^2 \cdot ({\rm 1-\rho^2})}= \frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot 0.25 \cdot 0.36} = 4 \cdot \gamma_1 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 5.556},$$
$$\gamma_{12} =-\frac{\rho}{ \sigma_1 \cdot \sigma_2 \cdot ({\rm 1-\rho^2})}= -\frac{\rm 0.8}{\rm 1 \cdot 0.5 \cdot 0.36} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx -4.444}.$$