Aufgaben:Aufgabe 3.4Z: Trapez, Rechteck und Dreieck: Unterschied zwischen den Versionen

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lautet die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
 
lautet die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
:$$X( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}  \cdot \Delta t \cdot f} ) \\ \cdot  \hspace{0.1cm}{\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}\cdot \Delta t \cdot  r_t \cdot  f} ).$$
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:$$X( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}  \cdot \Delta t \cdot f} ) \cdot  \hspace{0.1cm}{\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}\cdot \Delta t \cdot  r_t \cdot  f} ).$$
Weiter sind im Bild rechts noch der Rechteckimpuls $\text{r(t)}$ und der Dreieckimpuls $\text{d(t)}$ dargestellt, die beide als Grenzfälle des Trapezimpulses $\text{x(t)}$ interpretiert werden können.
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Weiter sind im Bild rechts noch der Rechteckimpuls ${r(t)}$ und der Dreieckimpuls ${d(t)}$ dargestellt, die beide als Grenzfälle des Trapezimpulses ${x(t)}$ interpretiert werden können.
  
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
*Verwenden Sie zur Lösung den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]] und den [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#.C3.84hnlichkeitssatz#Vertauschungssatz|Ähnlichkeitssatz]].
 
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 
*Sie können Ihre Ergebnisse anhand zweier Interaktionsmodule überprüfen:
 
*Sie können Ihre Ergebnisse anhand zweier Interaktionsmodule überprüfen:
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: [[Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort]]
 
: [[Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort]]
  
 
 
<b><u>Hinweis:</u></b> Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation Kapitel 3.3]. Sie können Ihre Ergebnisse anhand zweier Interaktionsmodule überprüfen:
 
 
:* Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion
 
 
:* Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort
 
  
  

Version vom 17. Januar 2017, 14:34 Uhr

Trapezimpuls und die Grenzfälle „Rechteck” und „Dreieck”

Betrachtet werden drei unterschiedliche Impulsformen. Der Impuls ${x(t)}$ ist trapezförmig. Für $| t | < t_1 = 4 \,\text{ms}$ ist der Zeitverlauf konstant ${A} = 1\, \text{V}$. Danach fällt ${x(t)}$ bis zum Zeitpunkt $t_2 = 6\, \text{ms}$ linear bis auf den Wert $0$ ab.

Mit den beiden abgeleiteten Systemgrößen, nämlich

  • der äquivalenten Impulsdauer
$$\Delta t = t_1 + t_2$$
  • und dem so genannten Rolloff-Faktor
$$r_t = \frac{t_2 - t_1 }{t_2 + t_1 }$$

lautet die Spektralfunktion des Trapezimpulses:

$$X( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi} \cdot \Delta t \cdot f} ) \cdot \hspace{0.1cm}{\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}\cdot \Delta t \cdot r_t \cdot f} ).$$

Weiter sind im Bild rechts noch der Rechteckimpuls ${r(t)}$ und der Dreieckimpuls ${d(t)}$ dargestellt, die beide als Grenzfälle des Trapezimpulses ${x(t)}$ interpretiert werden können.

Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • Sie können Ihre Ergebnisse anhand zweier Interaktionsmodule überprüfen:
Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion
Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort


Fragebogen

1

Wie groß sind äquivalente Impulsdauer und Rolloff-Faktor von $\text{x(t)}$?

$\Delta t$ =

$\text{ms}$
$r_t$ =

2

Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion $\text{X(f)}$ zutreffend?

Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist gleich $20 \text{mV/Hz}$.
Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder $\pi$ ($180°$) möglich.
$\text{X(f)}$ weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von $100 \text{Hz}$ auf.

3

Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion $\text{R(f)}$ zutreffend?

Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist gleich $\text{X(f = 0)}$.
Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder $\pi$ ($180°$) möglich.
$\text{R(f)}$ weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von $100 \text{Hz}$ auf.

4

Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion $\text{D(f)}$ zutreffend?

Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist gleich $\text{X(f = 0)}$.
Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder $\pi$ ($180°$) möglich.
$\text{D(f)}$ weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von $100 \text{Hz}$ auf.


Musterlösung

1. Die äquivalente Impulsdauer ist $\Delta t = t_1 + t_2 = 10 \text{ms}$ und der Rolloff-Faktor $r_t = 2/10 \underline{= 0.2}$.

2. Der Spektralwert bei $f = 0$ beträgt $A \cdot \Delta t = 10 \text{mV/Hz}$. Da $\text{X(f)}$ reell ist und sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, sind nur die zwei Phasenwerte $0$ und $\pi$ möglich.

Nullstellen gibt es aufgrund der ersten si-Funktion bei allen Vielfachen von $1/\Delta t = 100 \text{Hz}$. Die zweite si-Funktion führt zu Nulldurchgängen im Abstand $1/(r_t \cdot \Delta t) = 500 \text{Hz}$. Diese fallen exakt mit den Nullstellen der ersten si-Funktion zusammen. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 2 und 3.

3. Mit der äquivalenten Impulsdauer $\Delta t = 10 \text{ms}$ und dem Rolloff-Faktor $r_t = 0$ erhält man:

$$R( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ).$$

Das heißt: Alle Lösungsvorschläge sind zutreffend.

4. Beim Dreieckimpuls ist der Rolloff-Faktor $r_t = 1$. Die äquivalente Impulsdauer ist ebenfalls $\Delta t = 10 \text{ms}$. Daraus folgt:

$$D( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ).$$

Da $\text{D(f)}$ nicht negativ werden kann, ist die Phasenfunktion arc[$\text{D(f)}$] stets $0$. Der Phasenwert $\pi$ ($180°$) ist also bei der Dreieckform nicht möglich. Die Lösungsvorschläge 1 und 3 sind dagegen zutreffend.