Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: Zusammenhang zwischen WDF und VTF: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 5. März 2017, 16:36 Uhr
- Gegeben ist die Zufallsgröße $x$ mit der Verteilungsfunktion
- $$ F_x(r)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} 0.25\cdot {\rm e}^{2\it r} &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}\it r<\rm 0, \\ 1-0.25\cdot {\rm e}^{-2\it r} & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}\it r\ge\rm 0. \\\end{array}\right.$$
- Diese Funktion ist rechts dargestellt. Es ist zu erkennen, dass an der Sprungstelle $r = 0$ der rechtsseitige Grenzwert gültig ist.
- Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den gesamten Inhalt von Kapitel 3.1 und Kapitel 3.2.
- Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das folgende Lernvideo:
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Die Aussagen 1, 3 und 4 sind immer richtig. Ist jedoch x auf den Bereich von xmin bis xmax begrenzt, so ist Fx(r) = 0 für r < xmin und Fx(r) = 1 für r > xmax. In diesem Sonderfall wäre auch die Aussage 2 zutreffend.
- Ein horizontaler Abschnitt in der VTF weist darauf hin, dass die Zufallsgröße in diesem Bereich keine Werte besitzt. Dagegen weist ein vertikaler Abschnitt in der VTF auf eine Diracfunktion in der WDF (an gleicher Stelle x0) hin. Dies bedeutet, dass die Zufallsgröße den Wert x0 sehr häufig annimmt, nämlich mit endlicher Wahrscheinlichkeit. Alle anderen Werte treten exakt mit der Wahrscheinlichkeit 0 auf.
- 2. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann man aus der Differenz der VTF-Werte an den Grenzen berechnen:
- $$\rm Pr(\it x>\rm 0)=\it F_x(\infty)-\it F_x(\rm 0) \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.25}.$$
- 3. Für die Wahrscheinlichkeit, dass x größer als 0.5 ist, gilt:
- $$\rm Pr(\it x>\rm 0.5)=1- \it F_x(\rm 0.5)=\rm 0.25\cdot e^{-1} \hspace{0.15cm}{\approx0.092}. $$
- Aus Symmetriegründen ist Pr(x < –0.5) genauso groß. Daraus folgt:
- $$\rm Pr( |\it x| >\rm 0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.184}.$$
- 4. Die WDF erhält man aus der zugehörigen VTF durch Differenzieren der zwei Bereiche. Es ergibt sich eine zweiseitige Exponentialfunktion sowie eine Diracfunktion bei x = 0:
- $$f_x(x)=\rm 0.5\cdot \rm e^{-2\cdot |\it x|} + \rm 0.5\cdot\delta(\it x).$$
- Für x = 1 ergibt sich der Zahlenwert 0.0677.
Hinweis. Für die zweiseitige Exponentialverteilung ist der Begriff „Laplaceverteilung” gebräuchlich.
5. Im Bereich um 1 beschreibt x eine kontinuierliche Zufallsgröße. Die Wahrscheinlichkeit, dass x exakt den Wert 1 aufweist, ist deshalb 0.
- 6. In 50% der Zeit wird x = 0 gelten: Pr(x = 0) = 0.5. Hinweis: Die WDF eines Sprachsignals wird häufig durch eine zweiseitige Exponentialfunktion beschrieben (siehe Lernvideo zu Kap. 3.1). Die Diracfunktion bei x = 0 berücksichtigt vor allem Sprachpausen – hier in 50% aller Zeiten.