Aufgaben:Aufgabe 1.7: Nahezu kausaler Gaußtiefpass: Unterschied zwischen den Versionen

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{Multiple-Choice Frage
+
{Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und die Laufzeit?
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+
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- Falsch
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$\Delta f =$ { 8 } MHz
+ Richtig
+
$\tau =$ { 250 } ns
 +
 
 +
 
 +
{Es gelte $x(t) = 1 {\rm V} · \cos(2π · 6 {\rm MHz }· t)$. Wie lautet das Ausgangssignal $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit $t =$ 0?
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$y(t = 0) =$ { -0.175--0.165  } V
  
  
{Input-Box Frage
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{Eigentlich sollte bei Kausalität $h(t < 0) =$ 0 gelten. Wie groß ist der maximale relative Fehler des betrachteten Modells? Definition siehe Angabenseite.
 
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$\alpha$ = { 0.3 }
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$\epsilon_{\rm max} =$ { 3.49 5%  } $\rm x 10^{-6}$
  
  
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{Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort $σ(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t =$ 250 ns und $t =$ 300 ns?
 +
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$σ(t = 250 \rm ns) =$ { 0.5 5%  }
 +
$σ(t = 300 \rm ns) =$ { 0.841 5%  }
  
 
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Version vom 4. August 2016, 15:28 Uhr

Nahezu kausaler Gaußtiefpass (Aufgabe A1.7)

Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit $τ$ berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang:

$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f \tau}.$$ Die beiden Systemparameter $Δt = 1/Δf$ und $τ$ können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort $h(t)$ entnommen werden.

Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t <$ 0 nicht vollkommen verschwindet. In der Teilaufgabe c) wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist: $$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}< \hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$ In Worten: Der maximale relative Fehler $ε_{\rm max}$ ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort $h(t)$ bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert $h(t = τ)$ der Impulsantwort.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite Gaußtiefpass im Kapitel 1.3. Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden: $${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot \int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$


Werte der Gaußschen Fehlerfunktion (Aufgabe A1.7)


Fragebogen

1

Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und die Laufzeit?

$\Delta f =$

MHz
$\tau =$

ns

2

Es gelte $x(t) = 1 {\rm V} · \cos(2π · 6 {\rm MHz }· t)$. Wie lautet das Ausgangssignal $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit $t =$ 0? type="{}"

3

Eigentlich sollte bei Kausalität $h(t < 0) =$ 0 gelten. Wie groß ist der maximale relative Fehler des betrachteten Modells? Definition siehe Angabenseite.

$\epsilon_{\rm max} =$

$\rm x 10^{-6}$

4

Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort $σ(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t =$ 250 ns und $t =$ 300 ns?

$σ(t = 250 \rm ns) =$

$σ(t = 300 \rm ns) =$


Musterlösung

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)