Aufgaben:Aufgabe 1.7: Nahezu kausaler Gaußtiefpass: Unterschied zwischen den Versionen
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− | { | + | {Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und die Laufzeit? |
− | |type=" | + | |type="{}"} |
− | - | + | $\Delta f =$ { 8 } MHz |
− | + | $\tau =$ { 250 } ns | |
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+ | {Es gelte $x(t) = 1 {\rm V} · \cos(2π · 6 {\rm MHz }· t)$. Wie lautet das Ausgangssignal $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit $t =$ 0? | ||
+ | type="{}"} | ||
+ | $y(t = 0) =$ { -0.175--0.165 } V | ||
− | { | + | {Eigentlich sollte bei Kausalität $h(t < 0) =$ 0 gelten. Wie groß ist der maximale relative Fehler des betrachteten Modells? Definition siehe Angabenseite. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\ | + | $\epsilon_{\rm max} =$ { 3.49 5% } $\rm x 10^{-6}$ |
+ | {Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort $σ(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t =$ 250 ns und $t =$ 300 ns? | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $σ(t = 250 \rm ns) =$ { 0.5 5% } | ||
+ | $σ(t = 300 \rm ns) =$ { 0.841 5% } | ||
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Version vom 4. August 2016, 15:28 Uhr
Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit $τ$ berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang:
$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f \tau}.$$ Die beiden Systemparameter $Δt = 1/Δf$ und $τ$ können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort $h(t)$ entnommen werden.
Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t <$ 0 nicht vollkommen verschwindet. In der Teilaufgabe c) wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist: $$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}< \hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$ In Worten: Der maximale relative Fehler $ε_{\rm max}$ ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort $h(t)$ bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert $h(t = τ)$ der Impulsantwort.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite Gaußtiefpass im Kapitel 1.3. Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden: $${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot \int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$
Fragebogen
Musterlösung
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