Modulationsverfahren/Spreizfolgen für CDMA: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 26. Juni 2016, 21:10 Uhr

Definition der Korrelationsfunktionen

Wichtige Beurteilungskriterien für Spreizfolgen sind die Korrelationsfunktionen. Betrachtet man zwei ergodische Prozesse mit den Musterfunktionen $x(t)$ und $y(t)$ , so gilt für die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) der beiden Prozesse (siehe Kapitel 4.6 im Buch „Stochastische Signaltheorie”): $\varphi_{xy}(\tau)=\overline{x(t)\cdot y(t+\tau)}=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot y(t+\tau)\,\,\rm d \it t.$

Die überstreichende Linie kennzeichnet hierbei eine Zeitmittelung.

$φ){xy}(τ)$ ist ein quantitatives Maß für die lineare statistische Abhängigkeit der Augenblickswerte von Musterfunktionen $x(t)$ und $y(t + τ)$ der beiden Zufallsprozesse und dient somit der Beschreibung der statistischen Verwandtschaft zwischen diesen. Es gilt:

Sind $x(t)$ und $y(t)$ unkorreliert, so ist $φ_{xy}(τ)$ identisch 0 (das heißt für alle Werte von $τ$ ).
Im allgemeinen ist $φ_{xy}(τ)$ nicht symmetrisch, sondern das KKF–Maximum tritt bei $τ_{\rm max} ≠$ 0 auf.
In diesem Fall ergibt sich die maximale Korrelation durch eine gegenseitige Verschiebung der beiden betrachteten Signale um die Zeit $τ_{\rm max}$ .

Setzt man in obiger Gleichung $y(t) = x(t)$ , so kommt man zur Autokorrelationsfunktion (AKF) $\varphi_{xx}(\tau)=\overline{x(t)\cdot x(t+\tau)}=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot x(t+\tau)\,\,\rm d \it t$

mit folgenden Eigenschaften:

Die AKF ist ein Maß für die inneren statistischen Bindungen eines durch die Musterfunktion $x(t)$ festgelegten stationären und ergodischen Prozesses.
Ist $x(t)$ reell, so ist $φ_{xx}(τ)$ eine reelle gerade Funktion: $φ_{xx}(–τ) = φ_{xx}(τ)$ . Phasenbeziehungen gehen in der AKF verloren. Beschreibt $x(t)$ einen komplexen Prozesse, so ist auch die AKF komplex.
Der Maximalwert der AKF liegt bei $τ =$ 0. Es gilt stets $|φ_{xx}(τ)| ≤ φ_{xx}(0),$ wobei $φ_{xx}(0)$ die Signalleistung $P_x = E[x^2(t)]$ angibt.
Der Gleichanteil eines Signals kann aus dem Grenzwert $(τ → ∞)$ ermittelt werden, so lange das Signal keine periodischen Anteile beinhaltet:

$\overline{ x(t)} = {\rm E}[x(t)] = \sqrt{\lim_{\tau\to\infty}\,\varphi_{xx} (\tau)} \hspace{0.05cm}.$

AKF und KKF beschreiben die inneren Bindungen bzw. die gegenseitigen statistischen Abhängigkeiten im Zeitbereich. Die entsprechenden Beschreibungsfunktionen im Frequenzbereich sind

das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_{xx}(f)$ , sowie
das Kreuzleistungsdichtespektrum ${\it Φ}_{xy}(f)$ .

Bei ergodischen Prozessen ergeben sich diese als die Fouriertransformierten von AKF und KKF: ${\it \Phi}_{xx}(f) \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}\varphi_{xx}(\tau)\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.3cm} {\it \Phi}_{xy}(f) \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}\varphi_{xy}(\tau)\hspace{0.05cm}.$

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 ==Definition der Korrelationsfunktionen==
 Wichtige Beurteilungskriterien für Spreizfolgen sind die Korrelationsfunktionen. Betrachtet man zwei ergodische Prozesse mit den Musterfunktionen  $x(t)$  und  $y(t)$ , so gilt für die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) der beiden Prozesse (siehe Kapitel 4.6 im Buch „Stochastische Signaltheorie”):
-$$
+$$\varphi_{xy}(\tau)=\overline{x(t)\cdot y(t+\tau)}=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot y(t+\tau)\,\,\rm d \it t.$$
+Die überstreichende Linie kennzeichnet hierbei eine ''Zeitmittelung.''
+ $φ){xy}(τ)$  ist ein quantitatives Maß für die lineare statistische Abhängigkeit der Augenblickswerte von Musterfunktionen  $x(t)$  und  $y(t + τ)$  der beiden Zufallsprozesse und dient somit der Beschreibung der statistischen Verwandtschaft zwischen diesen. Es gilt:
+*Sind  $x(t)$  und  $y(t)$  unkorreliert, so ist  $φ_{xy}(τ)$  identisch 0 (das heißt für alle Werte von  $τ$ ).
+*Im allgemeinen ist  $φ_{xy}(τ)$  nicht symmetrisch, sondern das KKF–Maximum tritt bei  $τ_{\rm max} ≠$  0 auf.
+*In diesem Fall ergibt sich die maximale Korrelation durch eine gegenseitige Verschiebung der beiden betrachteten Signale um die Zeit  $τ_{\rm max}$ .
+Setzt man in obiger Gleichung  $y(t) = x(t)$ , so kommt man zur Autokorrelationsfunktion (AKF)
+ $\varphi_{xx}(\tau)=\overline{x(t)\cdot x(t+\tau)}=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot x(t+\tau)\,\,\rm d \it t$
+mit folgenden Eigenschaften:
+*Die AKF ist ein Maß für die inneren statistischen Bindungen eines durch die Musterfunktion  $x(t)$  festgelegten stationären und ergodischen Prozesses.
+*Ist  $x(t)$  reell, so ist  $φ_{xx}(τ)$  eine reelle gerade Funktion:  $φ_{xx}(–τ) = φ_{xx}(τ)$ . Phasenbeziehungen gehen in der AKF verloren. Beschreibt  $x(t)$  einen komplexen Prozesse, so ist auch die AKF komplex.
+*Der Maximalwert der AKF liegt bei  $τ =$  0. Es gilt stets  $|φ_{xx}(τ)| ≤ φ_{xx}(0),$  wobei  $φ_{xx}(0)$  die Signalleistung  $P_x = E[x^2(t)]$  angibt.
+*Der Gleichanteil eines Signals kann aus dem Grenzwert  $(τ → ∞)$  ermittelt werden, so lange das Signal keine periodischen Anteile beinhaltet:
+ $\overline{ x(t)} =  {\rm E}[x(t)] = \sqrt{\lim_{\tau\to\infty}\,\varphi_{xx} (\tau)} \hspace{0.05cm}.$
+AKF und KKF beschreiben die inneren Bindungen bzw. die gegenseitigen statistischen Abhängigkeiten im Zeitbereich. Die entsprechenden Beschreibungsfunktionen im Frequenzbereich sind
+*das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_{xx}(f)$ , sowie
+*das Kreuzleistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_{xy}(f)$ .
+Bei ergodischen Prozessen ergeben sich diese als die Fouriertransformierten von AKF und KKF:
+ ${\it \Phi}_{xx}(f)  \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}\varphi_{xx}(\tau)\hspace{0.05cm}  ,\hspace{0.3cm} {\it \Phi}_{xy}(f)  \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}\varphi_{xy}(\tau)\hspace{0.05cm}.$