Lineare zeitinvariante Systeme/Folgerungen aus dem Zuordnungssatz: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 7. Mai 2016, 13:12 Uhr

Real– und Imaginärteil einer kausalen Übertragungsfunktion (1)

Eine jede kausale Impulsantwort $h(t)$ kann als Summe eines geraden Anteils $h_g(t)$ und eines ungeraden Anteils $h_u(t)$ dargestellt werden, wobei gilt: $$h_Vorlage:\rm g(t) & = & \frac{1}{2}\cdot \left[ h(t) + h(-t)

\right]\hspace{0.05cm},\\
h_Vorlage:\rm u(t) & = &  \frac{1}{2}\cdot \left[  h(t) - h(-t)
\right] = h_Vorlage:\rm g(t) \cdot {\rm sign}(t)\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist die sogenannte Signum–Funktion verwendet: $${\rm sign}(t) = \left\{ \begin{array}{c} -1 \\

+1 \\  \end{array} \right.\quad \quad

\begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} { t < 0,} \\ { t > 0.} \\ \end{array}$$

Beispiel: Die Grafik zeigt diese Aufspaltung für eine kausale exponentiell abfallende Impulsantwort $$h(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\

0.5/T  \\ 1/T \cdot {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad \quad

\begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \end{array}\begin{array}{*{20}c} { t < 0\hspace{0.05cm},} \\ { t = 0\hspace{0.05cm},} \\{ t > 0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$

eines Tiefpasses erster Ordnung entsprechend Aufgabe Z1.3.

400px | Aufteilung der Impulsantwort in einen geraden und einen ungeraden Anteil

Man erkennt:

Für positive Zeiten gilt $h_g(t) = h_u(t) = h(t)/2$.
Für negative Zeiten unterscheiden sich $h_g(t)$ und $h_u(t)$ nur durch das Vorzeichen.
Für alle Zeiten gilt $h(t) = h_g(t) + h_u(t)$, auch zum Zeitpunkt $t$ = 0 (durch Kreise markiert).

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+==Real– und Imaginärteil einer kausalen Übertragungsfunktion (1)==
+Eine jede kausale Impulsantwort $h(t)$ kann als Summe eines geraden Anteils $h_g(t)$ und eines ungeraden Anteils $h_u(t)$ dargestellt werden, wobei gilt:
+$$h_{{\rm g}}(t) & = &  \frac{1}{2}\cdot \left[  h(t) + h(-t)
+ \right]\hspace{0.05cm},\\
+ h_{{\rm u}}(t) & = &  \frac{1}{2}\cdot \left[  h(t) - h(-t)
+ \right] = h_{{\rm g}}(t) \cdot {\rm sign}(t)\hspace{0.05cm}.$$
+Hierbei ist die sogenannte Signum–Funktion verwendet:
+$${\rm sign}(t) = \left\{ \begin{array}{c} -1 \\
+ +1 \\  \end{array} \right.\quad \quad
+\begin{array}{c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ {\rm{f\ddot{u}r}}
+\\    \end{array}\begin{array}{*{20}c}
+{  t  < 0,}  \\
+{ t  > 0.}  \\
+\end{array}$$
+{{Beispiel}}
+Beispiel: Die Grafik zeigt diese Aufspaltung für eine kausale exponentiell abfallende Impulsantwort
+$$h(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\
+.5/T  \\ 1/T \cdot {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad \quad
+\begin{array}{c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ {\rm{f\ddot{u}r}}
+\\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \end{array}\begin{array}{*{20}c}
+{  t  < 0\hspace{0.05cm},}  \\
+{ t  = 0\hspace{0.05cm},}  \\{ t  > 0\hspace{0.05cm}.}
+\end{array}$$
+eines Tiefpasses erster Ordnung entsprechend Aufgabe Z1.3.
+[[ P_ID1750__LZI_T_3_1_S2a_neu.png |400px | Aufteilung der Impulsantwort in einen geraden und einen ungeraden Anteil]]
+Man erkennt:
+*Für positive Zeiten gilt $h_g(t) = h_u(t) = h(t)/2$.
+*Für negative Zeiten unterscheiden sich $h_g(t)$ und $h_u(t)$ nur durch das Vorzeichen.
+*Für alle Zeiten gilt $h(t) = h_g(t) + h_u(t)$, auch zum Zeitpunkt $t$ = 0 (durch Kreise markiert).