Aufgaben:Aufgabe 4.13: Gaußförmige AKF: Unterschied zwischen den Versionen
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*Mit K=0.25V2 und ∇fx=200kHz erhält man: | *Mit K=0.25V2 und ∇fx=200kHz erhält man: | ||
− | :$${\it \Phi_x}(f)=1.25\cdot\rm 10^{-\rm 6}\hspace{0.1cm}\frac{V^2}{Hz}\cdot\rm e^{-\pi({\it f}/{\nabla\it f_x})^2} | + | :$${\it \Phi_x}(f)=1.25\cdot\rm 10^{-\rm 6}\hspace{0.1cm}\frac{V^2}{Hz}\cdot\rm e^{-\pi({\it f}/{\nabla\it f_x})^2}$$ |
− | \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Phi_x}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 1.25 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}, | + | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Phi_x}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 1.25 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}, |
\hspace{0.5cm}{\it \Phi_x}(f = 200 \hspace{0.05cm} \rm kHz)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.054 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$$ | \hspace{0.5cm}{\it \Phi_x}(f = 200 \hspace{0.05cm} \rm kHz)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.054 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$$ | ||
'''(3)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>: | '''(3)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>: | ||
− | *Ein mittelwertfreier Prozess hat stets ein kontinuierliches LDS zur Folge. Dieses ist um so schmaler, je breiter die AKF ist (Reziprozitätsgesetz). | + | *Ein mittelwertfreier Prozess hat stets ein kontinuierliches LDS zur Folge. Dieses ist um so schmaler, je breiter die AKF ist ("Reziprozitätsgesetz"). |
*Die Prozessleistung ist gleich dem Integral über das LDS. | *Die Prozessleistung ist gleich dem Integral über das LDS. | ||
*Deshalb muss bei konstanter Leistung eine breitere AKF (schmaleres LDS) durch höhere LDS-Werte ausgeglichen werden. | *Deshalb muss bei konstanter Leistung eine breitere AKF (schmaleres LDS) durch höhere LDS-Werte ausgeglichen werden. | ||
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*Aufgrund des Gleichanteils gibt es zusätzlich zum kontinuierlichen LDS-Anteil noch einen Dirac bei der Frequenz f=0. | *Aufgrund des Gleichanteils gibt es zusätzlich zum kontinuierlichen LDS-Anteil noch einen Dirac bei der Frequenz f=0. | ||
− | *Der kontinuierliche LDS–Anteil bei f=0 beträgt Φy(f=0)=0.9⋅10−6V2/Hz_. | + | *Der kontinuierliche LDS–Anteil bei f=0 beträgt Φy(f=0)=0.9⋅10−6V2/Hz_. |
− | *Der Anteil bei f=2⋅∇fy=200kHz ist um den Faktor e−4≈0.0183 geringer ⇒ Φy(f)=0.0165⋅10−6V2/Hz_. | + | *Der Anteil bei f=2⋅∇fy=200kHz ist um den Faktor e−4≈0.0183 geringer ⇒ Φy(f)=0.0165⋅10−6V2/Hz_. |
− | '''(5)''' Richtig ist <u>nur der zweite Lösungsvorschlag</u>: | + | '''(5)''' Richtig ist <u>nur der zweite Lösungsvorschlag</u>: |
*Das LDS eines mittelwertbehafteten Prozesses beinhaltet allgemein eine Diracfunktion bei f=0 mit Gewicht m2y. | *Das LDS eines mittelwertbehafteten Prozesses beinhaltet allgemein eine Diracfunktion bei f=0 mit Gewicht m2y. | ||
* Im vorliegenden Fall ist dieser Wert gleich 0.16 V2. | * Im vorliegenden Fall ist dieser Wert gleich 0.16 V2. | ||
− | *Da δ(f) die Einheit 1/Hz=s besitzt, unterscheiden sich die Einheiten des kontinuierlichen und des diskreten LDS-Anteils. | + | *Da δ(f) die Einheit 1/Hz=s besitzt, unterscheiden sich die Einheiten des kontinuierlichen und des diskreten LDS-Anteils. |
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Aktuelle Version vom 25. März 2022, 17:35 Uhr
Der hier betrachtete Zufallsprozess {xi(t)} sei durch die oben skizzierte Autokorrelationsfunktion (AKF) charakterisiert. Dieser Zufallsprozess ist mittelwertfrei und die äquivalente AKF-Dauer beträgt { {\rm \nabla} }\tau_x = 5 \hspace{0.08cm} \rm µ s:
- \varphi_x(\tau)=\rm 0.25 V^2\cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\tau}{/ 5 \hspace{0.08cm}{\rm µ}s })^2} .
Im unteren Bild ist die AKF des Prozesses \{y_i(t)\} dargestellt. Diese lautet mit der äquivalenten AKF-Dauer { {\rm \nabla} }\tau_y = 10 \hspace{0.08cm} \rm µ s:
- \varphi_y(\tau)=\rm 0.16 V^2 + \rm 0.09 V^2\cdot\rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\tau}/{\nabla \it \tau_y})^2} .
In dieser Aufgabe werden die Leistungsdichtespektren \rm (LDS) der beiden Prozesse gesucht.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Leistungsdichtespektrum.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Autokorrelationsfunktion.
- Zur Lösung dieser Aufgabe können Sie die folgende Fourierkorrespondenz benutzen:
- \rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\it f}/{\rm \Delta\it f})^2}\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ {\rm \Delta \it f} \cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} ({\rm \Delta\it f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\it t {\rm )}^{\rm 2}}.
Fragebogen
Musterlösung
- \nabla f_x = 1 / \nabla \tau_x \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 200\hspace{0.1cm}kHz}}.
(2) Die angegebene Fourierkorrespondenz kann man wie folgt an die Aufgabenstellung anpassen:
- K\cdot{\rm e}^{-\pi({\tau}/{\nabla\tau_x})^2}\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \frac{\it K}{\nabla \it f_x}\cdot{\rm e}^{-\pi({f}/{\nabla f_x})^2}.
- Mit K = 0.25 \hspace{0.05cm}\rm V^2 und {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_x = 200\hspace{0.05cm} \rm kHz erhält man:
- {\it \Phi_x}(f)=1.25\cdot\rm 10^{-\rm 6}\hspace{0.1cm}\frac{V^2}{Hz}\cdot\rm e^{-\pi({\it f}/{\nabla\it f_x})^2}
- \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Phi_x}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 1.25 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}, \hspace{0.5cm}{\it \Phi_x}(f = 200 \hspace{0.05cm} \rm kHz)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.054 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.
(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:
- Ein mittelwertfreier Prozess hat stets ein kontinuierliches LDS zur Folge. Dieses ist um so schmaler, je breiter die AKF ist ("Reziprozitätsgesetz").
- Die Prozessleistung ist gleich dem Integral über das LDS.
- Deshalb muss bei konstanter Leistung eine breitere AKF (schmaleres LDS) durch höhere LDS-Werte ausgeglichen werden.
- Ein Gleichanteil oder periodische Anteile führen stets zu Diracfunktionen im LDS; ansonsten ist das LDS stets wertkontinuierlich.
(4) Analog zu Teilaufgabe (2) gilt mit {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y = 100\hspace{0.05cm} \rm kHz:
- {\it \Phi_y}(f)=\frac{\rm 0.09 V^2}{\nabla\it f_y}\cdot\rm e^{-\pi({\it f}/{\nabla\it f_y})^2}+\it m_y^{\rm 2}\cdot\delta(f).
- Aufgrund des Gleichanteils gibt es zusätzlich zum kontinuierlichen LDS-Anteil noch einen Dirac bei der Frequenz f = 0.
- Der kontinuierliche LDS–Anteil bei f= 0 beträgt {\it \Phi_y}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.9 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.
- Der Anteil bei f = 2 \cdot {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y = 200 \hspace{0.05cm}\rm kHz ist um den Faktor {\rm e}^{-4} \approx 0.0183 geringer ⇒ {\it \Phi_y}(f )=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.0165 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.
(5) Richtig ist nur der zweite Lösungsvorschlag:
- Das LDS eines mittelwertbehafteten Prozesses beinhaltet allgemein eine Diracfunktion bei f=0 mit Gewicht m_y^2.
- Im vorliegenden Fall ist dieser Wert gleich 0.16 \ \rm V^2.
- Da \delta(f) die Einheit \rm 1/Hz = s besitzt, unterscheiden sich die Einheiten des kontinuierlichen und des diskreten LDS-Anteils.