Aufgaben:Aufgabe 2.3: Noch ein weiterer Mehrwegekanal

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Vorgegebene Rechteckantwort

Wir betrachten einen Mehrwegekanal, der durch folgende Impulsantwort charakterisiert wird:

$$h(\tau, \hspace{0.05cm} t) = h(\tau) = \sum_{m = 1}^{M} k_m \cdot \delta( \tau - \tau_m)

\hspace{0.05cm}.$$

Alle Koeffizienten  $k_{m}$  seien reell (positiv oder negativ).  Weiterhin ist anzumerken:

• Aus der Angabe  $h(\tau, \hspace{0.05cm}t) = h(\tau)$  erkennt man, dass der Kanal zeitinvariant ist.
• Allgemein weist der Kanal  $M$  Pfade auf.  Der  $M$–Wert soll aus der Grafik bestimmt werden.
• Für die Verzögerungszeiten gelten folgende Relationen:  $\tau_1 < \tau_2 < \tau_3 < \ \text{...}$

Die Grafik zeigt das Ausgangssignal  $r(\tau)$  des Kanals, wenn am Eingang folgendes Sendesignal anliegt  (dargestellt im äquivalenten Tiefpassbereich):

$$s(\tau) = \left\{ \begin{array}{c} s_0\\

0   \end{array} \right.\quad

\begin{array}{*{1}c} 0 \le \tau < 5\,{\rm µ s}, \\ {\rm sonst}. \\ \end{array}$$

Gesucht wird die dazugehörige Impulsantwort  $h(\tau)$  sowie die Übertragungsfunktion  $H(f)$.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel  Mehrwegeempfang beim Mobilfunk.
• Gehen Sie bei der Lösung der Teilaufgabe  (1)  davon aus, dass sich die Impulsantwort  $h(\tau)$  über fünf Mikrosekunden erstreckt.

Fragebogen

1 Wie lautet die Impulsantwort  $h(\tau)$?  Wie viele Pfade  $(M)$  gibt es hier?

$M \ = \ $

2 Geben Sie die drei ersten Verzögerungszeiten  $\tau_m$  an.

$\tau_1 \ = \ $ $\ \rm µ s$

$\tau_2 \ = \ $ $\ \rm µ s$

$\tau_3 \ = \ $ $\ \rm µ s$

3 Wie lauten die Gewichte der drei ersten Diracimpulse?

$k_1 \ = \ $

$k_2 \ = \ $

$k_3 \ = \ $

4 Berechnen Sie den Frequenzgang  $H(f)$.  Wie groß ist die Frequenzperiode  $f_0$?
Hinweis:   Bei ganzzahligem  $i$  muss  $H(f + i \cdot f_0) = H(f)$  gelten.

$f_0 \ = \ $ $\ \rm kHz$

5 Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang.  Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen  $f = 0$,  $f = 250 \ \rm kHz$  und  $f = 500 \ \rm kHz$?

$|H(f = 0)| \ = \ $

$|H(f = 250 \ \rm kHz)| \ = \ $

$|H(f = 500 \ \rm kHz)| \ = \ $

6 Was ist der ungünstigste Wert  $({\rm worst \ case})$  für  $k_3$  bezüglich der Frequenz  $f = 250 \ \rm kHz$?

$k_3 \ = \ $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Es gilt hier  $r(\tau) = s(\tau) ∗ h(\tau)$, wobei  $s(\tau)$  ein Rechteckimpuls der Dauer  $T = 5 \ \rm µ s$  bezeichnet und die Impulsantwort  $h(\tau)$  sich allgemein aus  $M$  gewichteten Diracfunktionen bei  $\tau_1,\ \tau_2, \ \text{...} \ ,\ \tau_M$  zusammensetzt.

Das skizzierte Ausgangssignal  $r(\tau)$  kann sich nur ergeben, falls

• $\tau_1 = 0$  ist  $($sonst würde  $r(\tau)$  nicht bei  $\tau = 0$  beginnen$)$,
• $\tau_M = 10 \ \rm µ s$  ist  $($daraus ergibt sich der Rechteckverlauf zwischen  $10 \ \rm µ s$  und  $15 \ \rm µ s)$,
• dazwischen noch eine Diracfunktion bei  $\tau_2 = 2 \ \rm µ s$  auftritt.

Das heißt:   Die Impulsantwort setzt sich hier aus  $\underline {M = 3}$  Diracfunktionen zusammen.

(2)  Wie bereits bei der ersten Teilaufgabe berechnet, erhält man

$$\tau_1 \hspace{0.1cm} \underline {= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_2 \hspace{0.1cm} \underline {= 2\,{\rm µ s}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_3 \hspace{0.1cm} \underline {= 10\,{\rm µ s}}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Vergleicht man den Eingang  $s(\tau)$  und den Ausgang  $r(\tau)$, so gelangt man zu folgenden Ergebnissen:

• Intervall  $0 < \tau < 2 \ {\rm µ s} \text{:} \, s(\tau) = s_0, \hspace{1cm} r(\tau) = 0.75 \cdot s_0 \,\,\Rightarrow\,\, k_1 \ \underline {= 0.75}$,
• Intervall  $2 \ {\rm µ s} < \tau < 5 \ {\rm µ s} \text{:} \, \hspace{2.4cm} r(\tau) =(k_1 + k_2) \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \Rightarrow k_2 \ \underline {= \, –0.50}$,
• Intervall  $10 \ {\rm µ s} < \tau < 15 \ {\rm µ s} \text{:} \, \hspace{1.95cm} r(\tau) =k_3 \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \,\Rightarrow\, k_3 \ \underline {= 0.25}$.

(4)  Mit dem Verschiebungssatz erhält man für die Fouriertransformatierte der Impulsantwort  $h(\tau)$:

$$h(\tau) = k_1 \cdot \delta( \tau) + k_2 \cdot \delta( \tau - \tau_2)+ k_3 \cdot \delta( \tau - \tau_3) \hspace{0.3cm}

\Rightarrow \hspace{0.3cm}H(f) = k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}f \tau_2}+ k_3 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f \tau_3}

\hspace{0.05cm}. $$

Durch Analyse der einzelnen Beiträge kommt man zu folgendem Ergebnis:

• Der erste Anteil ist konstant   ⇒   Periode  $f_1 → ∞$.
• Der zweite Anteil ist periodisch mit  $f_2 = 1/\tau_2 = 500 \ \rm kHz$.
• Der dritte Anteil ist periodisch mit  $f_3 = 1/\tau_3 = 100 \ \rm kHz$.

⇒   Insgesamt ist damit  $H(f)$  periodisch mit  $f_0 \ \underline {= 500 \ \rm kHz}$.

(5)  Mit  $A = 2\pi f \cdot \tau_2$  und  $B = 2\pi f \cdot \tau_3$  erhält man:

$$|H(f)|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} H(f) \cdot H^{\star}(f)=

\left [ \frac {3}{4} - \frac {1}{2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}A} + \frac {1}{4} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}B}\right ] 
\left [ \frac {3}{4} - \frac {1}{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j}A} + \frac {1}{4} \cdot {\rm e}^{{\rm j}B}\right ]$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |H(f)|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac {9}{16 }- \frac {3 {\rm e}^{{\rm j}A}}{8} +\frac {3{\rm e}^{{\rm j}B}}{16}

 - \frac {3{\rm e}^{-{\rm j}A}}{8}  +\frac {1}{4}- \frac {{\rm e}^{{\rm j}(B-A)}}{8}  +\frac {3{\rm e}^{-{\rm j}B}}{16}  
 - \frac {{\rm e}^{{\rm j}(A-B)}}{8} +\frac{1}{16 }=$$

$$\hspace{2.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac {7}{8 }- \frac {3}{8} \cdot \left [ {\rm e}^{{\rm j}A} + {\rm e}^{-{\rm j}A}\right ]+

\frac {3}{16} \cdot \left [ {\rm e}^{{\rm j}B} + {\rm e}^{-{\rm j}B}\right ]- \frac {1}{8} \cdot \left [ {\rm e}^{{\rm j}(B-A)} + {\rm e}^{-{\rm j}(B-A)}\right ]\hspace{0.05cm}.$$

• Daraus ergibt sich mit dem  Satz von Euler  unter Berücksichtigung der Frequenzperiodizität:

$$|H(f)|= \sqrt{\frac {7}{8 }- \frac {3}{4} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_2) +

\frac {3}{8} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_3)- \frac {1}{4} \cdot \cos( 2 \pi f (\tau_3 - \tau_2))}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |H(f = 0)|\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{\frac {7}{8 }- \frac {3}{4} +

\frac {3}{8} - \frac {1}{4} } = \sqrt{0.25}\hspace{0.1cm} \underline {= 0.5} = |H(f = 500\,{\rm kHz})|$$

$$|H(f = 250\,{\rm kHz})|\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{\frac {7}{8 }- \frac {3}{4} \cdot \cos( \pi ) +

\frac {3}{8} \cdot \cos( 5 \pi )- \frac {1}{4} \cdot \cos( 4 \pi )} \hspace{0.1cm} \underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$

(6)  Der soeben berechnete Frequenzgang kann für die Frequenz  $f = 250 \ \rm kHz$  wie folgt dargestellt werden:

Betragsfrequenzgang beim Dreiwegekanal

$$H(f = 250\,{\rm kHz})= k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \pi}+ k_3 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 5\pi} = k_1 - k_2 - k_3

\hspace{0.05cm}.$$

• Wählt man nun  

$$k_3 = k_1 - k_2 = 0.75 + 0.50\hspace{0.1cm} \underline {= 1.25}\hspace{0.05cm},$$

so ergibt sich  $|H(f = 250 \ \rm kHz)| = 0$  und damit der für diese Signalfrequenz ungünstigste Wert.

Die Grafik zeigt  $|H(f)|$  im Bereich zwischen  $0$  und  $500 \ \rm kHz$:

• Die blaue Kurve gilt für  $k_3 = 0.25$  entsprechend den Vorgaben von Teilaufgabe  (4).
• Die rote Kurve gilt für  $k_3 = 1.25$, dem ungünstigsten Wert bezüglich  $f = 250 \ \rm kHz$.