Mobile Kommunikation/Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente: Unterschied zwischen den Versionen

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Das Rice&ndash;Fading&ndash;Modell lässt sich wie folgt zusammenfassen, siehe auch&nbsp; [Hin08]<ref name = 'Hin08'>Hindelang, T.: ''Mobile Communications''. Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2008.</ref>:
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Das Rice&ndash;Fading&ndash;Modell lässt sich wie folgt zusammenfassen, siehe auch&nbsp; [Hin08]<ref name = 'Hin08'>Hindelang, T.:&nbsp; Mobile Communications.&nbsp; Vorlesungsmanuskript.&nbsp; Lehrstuhl für Nachrichtentechnik,&nbsp; TU München, 2008.</ref>:
 
*Der Realteil&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist gaußverteilt mit Mittelwert&nbsp; $x_0$&nbsp; und Varianz&nbsp; $\sigma ^2$.  
 
*Der Realteil&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist gaußverteilt mit Mittelwert&nbsp; $x_0$&nbsp; und Varianz&nbsp; $\sigma ^2$.  
 
*Der Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist ebenfalls gaußverteilt&nbsp; $($Mittelwert&nbsp; $y_0$,&nbsp; gleiche Varianz&nbsp; $\sigma ^2)$&nbsp;  sowie unabhängig von&nbsp; $x(t)$.<br>
 
*Der Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist ebenfalls gaußverteilt&nbsp; $($Mittelwert&nbsp; $y_0$,&nbsp; gleiche Varianz&nbsp; $\sigma ^2)$&nbsp;  sowie unabhängig von&nbsp; $x(t)$.<br>
  
*Für&nbsp; $z_0 \ne 0$&nbsp; ist der Betrag&nbsp; $|z(t)|$&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Riceverteilung| riceverteilt]], woraus die Bezeichnung &bdquo;<i>Rice&ndash;Fading</i>&rdquo; herrührt.  
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*Für&nbsp; $z_0 \ne 0$&nbsp; ist der Betrag&nbsp; $|z(t)|$&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Riceverteilung| riceverteilt]], woraus die Bezeichnung &bdquo;Rice&ndash;Fading&rdquo; herrührt.  
*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir&nbsp;  $|z(t)| = a(t)$.&nbsp; Für&nbsp; $a < 0$&nbsp; ist die Betrags&ndash;WDF&nbsp; $f_a(a) \equiv 0$,&nbsp; für&nbsp; $a \ge  0$ gilt folgende Gleichung, wobei&nbsp;  $\rm I_0(\cdot)$&nbsp; die <i>modifizierte Bessel&ndash;Funktion</i> nullter Ordnung bezeichnet:
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*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir&nbsp;  $|z(t)| = a(t)$.&nbsp; Für&nbsp; $a < 0$&nbsp; ist die Betrags&ndash;WDF&nbsp; $f_a(a) \equiv 0$,&nbsp; für&nbsp; $a \ge  0$ gilt folgende Gleichung, wobei&nbsp;  $\rm I_0(\cdot)$&nbsp; die&nbsp; ''modifizierte Bessel&ndash;Funktion nullter Ordnung''&nbsp; bezeichnet:
  
 
::<math>f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} \big [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}\big ] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) =  
 
::<math>f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} \big [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}\big ] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) =  
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*Ist&nbsp; $|z_0| \gg \sigma$&nbsp; $($Faktor &nbsp;$3$&nbsp; oder mehr$)$, so  kann die Rice&ndash;WDF mit guter Näherung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert&nbsp; $|z_0|$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma$&nbsp; angenähert werden.<br>
 
*Ist&nbsp; $|z_0| \gg \sigma$&nbsp; $($Faktor &nbsp;$3$&nbsp; oder mehr$)$, so  kann die Rice&ndash;WDF mit guter Näherung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert&nbsp; $|z_0|$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma$&nbsp; angenähert werden.<br>
  
*Im Gegensatz zum&nbsp; <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> &nbsp; &rArr; &nbsp; $z_0 \equiv 0$ ist die Phase bei&nbsp; <i>Rice&ndash;Fading</i>&nbsp; nicht gleichverteilt, sondern es gibt eine Vorzugsrichtung&nbsp; $\phi_0 = \arctan(y_0/x_0)$. Oft setzt man&nbsp; $y_0 = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\phi_0  = 0$.<br>
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*Im Gegensatz zum Rayleigh&ndash;Fading &nbsp; &rArr; &nbsp; $z_0 \equiv 0$&nbsp; ist die Phase bei Rice&ndash;Fading nicht gleichverteilt, sondern es gibt eine Vorzugsrichtung&nbsp; $\phi_0 = \arctan(y_0/x_0)$. <br>Oft setzt man&nbsp; $y_0 = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\phi_0  = 0$.<br>
  
 
== Beispielhafte Signalverläufe bei Rice–Fading==
 
== Beispielhafte Signalverläufe bei Rice–Fading==
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:$$x_0 = 0.707,\ \ y_0 = -0.707.$$
 
:$$x_0 = 0.707,\ \ y_0 = -0.707.$$
  
Für die Erzeugung der Signalausschnitte nach obigem Modell wurde jeweils die&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung| maximale Dopplerfrequenz]]&nbsp; $f_\text{D, max} = 100 \ \rm Hz$&nbsp; zugrundegelegt.  
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Für die Erzeugung der Signalausschnitte nach obigem Modell liegt jeweils die&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung| maximale Dopplerfrequenz]]&nbsp; $f_\text{D, max} = 100 \ \rm Hz$&nbsp; zugrunde.  
  
 
Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp; und Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp; von Rayleigh und Rice unterscheiden sich bei ansonstern angepassten Parameterwerten nur geringfügig.&nbsp; Es gilt:
 
Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp; und Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp; von Rayleigh und Rice unterscheiden sich bei ansonstern angepassten Parameterwerten nur geringfügig.&nbsp; Es gilt:
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*Beim Rice&ndash;Kanal ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von AWGN&ndash;Rauschen niedriger als bei Rayleigh, da  der Empfänger über den Rice&ndash;Direktpfad viel nutzbare Energie erhält.<br>
 
*Beim Rice&ndash;Kanal ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von AWGN&ndash;Rauschen niedriger als bei Rayleigh, da  der Empfänger über den Rice&ndash;Direktpfad viel nutzbare Energie erhält.<br>
  
*Die WDF&nbsp; $f_\phi(\phi)$&nbsp; zeigt den Vorzugswinkel&nbsp;  $\phi \approx 45^\circ$&nbsp; des vorliegenden  Rice&ndash;Kanals.&nbsp; Der komplexe Faktor&nbsp; $z(t)$&nbsp; befindet sich  wegen&nbsp; $x_0 > 0$&nbsp; und&nbsp; $y_0 < 0$&nbsp; großteils im vierten Quadranten, während beim Rayleigh&ndash;Kanal alle Quadranten gleichwahrscheinlich sind.<br>
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*Die WDF&nbsp; $f_\phi(\phi)$&nbsp; zeigt den Vorzugswinkel&nbsp;  $\phi \approx -45^\circ$&nbsp; des vorliegenden  Rice&ndash;Kanals.&nbsp; Der komplexe Faktor&nbsp; $z(t)$&nbsp; befindet sich  wegen&nbsp; $x_0 > 0$&nbsp; und&nbsp; $y_0 < 0$&nbsp; großteils im vierten Quadranten, während beim Rayleigh&ndash;Kanal alle Quadranten gleichwahrscheinlich sind.<br>
  
 
==Aufgaben zum Kapitel==
 
==Aufgaben zum Kapitel==

Aktuelle Version vom 12. Februar 2021, 14:17 Uhr

Kanalmodell und Rice–WDF


Die  Rayleigh–Verteilung  beschreibt den Mobilfunkkanal unter der Annahme, dass kein direkter Pfad vorhanden ist und sich somit der multiplikative Faktor  $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$  allein aus diffus gestreuten Komponenten zusammensetzt.

Rice-Fading-Kanalmodell

Bei Vorhandensein einer Direktkomponente  $($englisch:  Line of Sight,  $\rm LoS)$  muss man im Modell zu den mittelwertfreien Gaußprozessen  $x(t)$  und  $y(t)$  noch Gleichkomponenten  $x_0$  und/oder  $y_0$  hinzufügen:

\[x(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} x(t) +x_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} y(t) +y_0\hspace{0.05cm},\]
\[z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} z(t) +z_0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0\hspace{0.05cm}.\]

Die Grafik zeigt dieses  Rice–Fading–Kanalmodell.  Als Sonderfall ergibt sich das Rayleigh–Modell, wenn man  $x_0 = y_0= 0$  setzt.


Das Rice–Fading–Modell lässt sich wie folgt zusammenfassen, siehe auch  [Hin08][1]:

  • Der Realteil  $x(t)$  ist gaußverteilt mit Mittelwert  $x_0$  und Varianz  $\sigma ^2$.
  • Der Imaginärteil  $y(t)$  ist ebenfalls gaußverteilt  $($Mittelwert  $y_0$,  gleiche Varianz  $\sigma ^2)$  sowie unabhängig von  $x(t)$.
  • Für  $z_0 \ne 0$  ist der Betrag  $|z(t)|$  riceverteilt, woraus die Bezeichnung „Rice–Fading” herrührt.
  • Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir  $|z(t)| = a(t)$.  Für  $a < 0$  ist die Betrags–WDF  $f_a(a) \equiv 0$,  für  $a \ge 0$ gilt folgende Gleichung, wobei  $\rm I_0(\cdot)$  die  modifizierte Bessel–Funktion nullter Ordnung  bezeichnet:
\[f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} \big [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}\big ] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)} \hspace{0.05cm}.\]
  • Der Mobilfunkkanal ist um so besser für die Digitalsignalübertragung geeignet, je größer die „Direktpfadleistung”  $(|z_0|^2)$  gegenüber den Leistungen der Streukomponenten  $(2\sigma^2)$  ist.
  • Ist  $|z_0| \gg \sigma$  $($Faktor  $3$  oder mehr$)$, so kann die Rice–WDF mit guter Näherung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert  $|z_0|$  und Streuung  $\sigma$  angenähert werden.
  • Im Gegensatz zum Rayleigh–Fading   ⇒   $z_0 \equiv 0$  ist die Phase bei Rice–Fading nicht gleichverteilt, sondern es gibt eine Vorzugsrichtung  $\phi_0 = \arctan(y_0/x_0)$.
    Oft setzt man  $y_0 = 0$   ⇒   $\phi_0 = 0$.

Beispielhafte Signalverläufe bei Rice–Fading


Vergleich von Rayleigh-Fading (blau) und Rice-Fading (rot)

Die Grafik zeigt typische Signalverläufe und Dichtefunktionen zweier Mobilfunkkanäle:

  • Rayleigh–Fading  (blaue Kurven)  mit 
$${\rm E}\big [|z(t))|^2\big ] = 2 \cdot \sigma^2 = 1,$$
  • Rice–Fading  (rote Kurven)  mit gleichem  $\sigma$  sowie 
$$x_0 = 0.707,\ \ y_0 = -0.707.$$

Für die Erzeugung der Signalausschnitte nach obigem Modell liegt jeweils die  maximale Dopplerfrequenz  $f_\text{D, max} = 100 \ \rm Hz$  zugrunde.

Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$  und Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$  von Rayleigh und Rice unterscheiden sich bei ansonstern angepassten Parameterwerten nur geringfügig.  Es gilt:

\[\varphi_z ({\rm \Delta}t)\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rice}} \hspace{-0.5cm} = \varphi_z ({\rm \Delta}t)\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rayleigh}} \hspace{-0.8cm} + |z_0|^2 \hspace{0.05cm},\]
\[ {\it \Phi}_z(f_{\rm D})\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rice}} \hspace{-0.5cm} = {\it \Phi}_z(f_{\rm D})\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rayleigh}} \hspace{-0.8cm} + |z_0|^2 \cdot \delta (f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.\]

Berücksichtigt ist, dass die Spektraldarstellung eines Gleichanteils zu einer Diracfunktion führt.

Zu dieser Grafik ist anzumerken:

  • Die Realteile  $x(t)$  von Rayleigh (blau) und Rice (rot) unterscheiden sich durch die Konstante  $x_0 = 0.707$.  Die statistischen Eigenschaften sind ansonsten gleich:   Gaußsche WDF  $f_x(x)$  mit Streuung  $\sigma = 0.707$, entweder mittelwertfrei (Rayleigh) oder mit Mittelwert  $x_0$  (Rice).
  • Im Imaginärteil  $y(t)$  erkennt man bei Rice zusätzlich die Gleichkomponente  $y_0 = -0.707$.  Die (hier nicht dargestellte) WDF  $f_y(y)$  ist somit eine Gaußkurve mit der Streuung  $\sigma = 0.707$  um den Mittelwert  $ y_0 = -0.707$, also achsensymmetrisch zur skizzierten WDF  $f_x(x)$.
  • Die (logarithmische) Betragsdarstellung   ⇒   $a(t) =|z(t)|$ zeigt, dass die rote Kurve meist oberhalb der blauen liegt.  Dies ist auch aus der WDF  $f_a(a)$  ablesbar.
  • Beim Rice–Kanal ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von AWGN–Rauschen niedriger als bei Rayleigh, da der Empfänger über den Rice–Direktpfad viel nutzbare Energie erhält.
  • Die WDF  $f_\phi(\phi)$  zeigt den Vorzugswinkel  $\phi \approx -45^\circ$  des vorliegenden Rice–Kanals.  Der komplexe Faktor  $z(t)$  befindet sich wegen  $x_0 > 0$  und  $y_0 < 0$  großteils im vierten Quadranten, während beim Rayleigh–Kanal alle Quadranten gleichwahrscheinlich sind.

Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 1.6: AKF und LDS bei Rice–Fading

Aufgabe 1.6Z: Rayleigh und Rice im Vergleich

Aufgabe 1.7: WDF des Rice–Fadings

Quellenverzeichnis

  1. Hindelang, T.:  Mobile Communications.  Vorlesungsmanuskript.  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik,  TU München, 2008.