Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: Nochmals Lognormal–Fading: Unterschied zwischen den Versionen

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{Welche Aussagen gelten für die mittlere Empfangsleistung&nbsp; ${\rm E}\big[P_{\rm E}(t)\big]$? <br><u>Hinweis:</u> &nbsp;$P_{\rm E}\hspace{0.01cm}'$ ist die Leistung nach der Multiplikation mit&nbsp; $k_1$&nbsp; (siehe Grafik).
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{Welche Aussagen gelten für die mittlere Empfangsleistung&nbsp; ${\rm E}\big[P_{\rm E}(t)\big]$? <br><u>Hinweis:</u> &nbsp;$P_{\rm E}\hspace{0.01cm}'$&nbsp; ist die Leistung nach der Multiplikation mit&nbsp; $k_1$&nbsp; (siehe Grafik).
 
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- Es gilt: &nbsp; ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] = P_{\rm E}\hspace{0.01cm}'$.
 
- Es gilt: &nbsp; ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] = P_{\rm E}\hspace{0.01cm}'$.
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'''(1)'''&nbsp; Die Konstante $k_1$ erzeugt den zeitunabhängigen Pfadverlust $V_1 = 60 \ \rm dB$. Daraus folgt:
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'''(1)'''&nbsp; Die Konstante&nbsp; $k_1$&nbsp; erzeugt den zeitunabhängigen Pfadverlust&nbsp; $V_1 = 60 \ \rm dB$.&nbsp; Daraus folgt:
 
:$$k_{\rm 1} =  10^{-V_{\rm 1}/(20\hspace{0.05cm} {\rm dB})} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.001}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$k_{\rm 1} =  10^{-V_{\rm 1}/(20\hspace{0.05cm} {\rm dB})} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.001}\hspace{0.05cm}.$$
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'''(2)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:  
 
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:  
*Für die Gaußsche Zufallsvariable $V_2$ sind (theoretisch) alle Werte zwischen $&ndash;&#8734;$ und $+&#8734;$ möglich.  
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*Für die Gaußsche Zufallsvariable&nbsp; $V_2$&nbsp; sind (theoretisch) alle Werte zwischen&nbsp; $-&#8734;$&nbsp; und&nbsp; $+&#8734;$&nbsp; möglich.  
*Durch die Transformation $z_2 = 10^{{\it &ndash;V_2}\rm /20}$ ergeben sich für die lineare Zufallsgröße $z_2$ nur positive Werte und zwar zwischen 0 (falls $V_2$ positiv ist und bis ins Unendliche reicht) und $+&#8734;$ (sehr große negative Werte von $V_2$).
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*Durch die Transformation&nbsp; $z_2 = 10^{{\it -V_2}\rm /20}$&nbsp; ergeben sich für die lineare Zufallsgröße&nbsp; $z_2$&nbsp; nur positive Werte und zwar zwischen&nbsp; 0&nbsp; $($falls&nbsp; $V_2$&nbsp; positiv ist und bis ins Unendliche reicht$)$&nbsp; und $+&#8734;$&nbsp; $($für sehr große negative Werte von $V_2)$.
  
  
  
'''(3)'''&nbsp; Die Zufallsgröße $z_2$ kann nur positiv sein. Deshalb ist der WDF&ndash;Wert $f_{\rm z2}(z_2 = 0)\hspace{0.15cm} \underline{ = 0}$.  
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'''(3)'''&nbsp; Die Zufallsgröße&nbsp; $z_2$&nbsp; kann nur positiv sein.&nbsp; Deshalb ist der WDF&ndash;Wert&nbsp; $f_{\rm z2}(z_2 = 0)\hspace{0.15cm} \underline{ = 0}$.  
  
*Der WDF&ndash;Wert für den Abszissenwert $z_2 = 1$ erhält man durch Einsetzen in die gegebene Gleichung:
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*Der WDF&ndash;Wert für den Abszissenwert&nbsp; $z_2 = 1$&nbsp; erhält man durch Einsetzen in die gegebene Gleichung:
:$$f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2} = 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac {{\rm exp } \left [ - {\rm ln}^2 (z_2 = 1) /({2 \cdot C^2 \cdot \sigma_{\rm S}^2}) \right ]}{ \sqrt{2 \pi }\cdot C \cdot \sigma_{\rm S} \cdot (z_2 = 1)}=\frac {1}{ \sqrt{2 \pi } \cdot \sigma_{\rm S} \cdot \frac {1}{  C  } =
+
:$$f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2} = 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac {{\rm e^{- {\rm ln}^2 (z_{\rm 2}=1)
 +
/({2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} C^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sigma_{\rm S}^2})
 +
} } }{ \sqrt{2 \pi }\cdot C \cdot \sigma_{\rm S} \cdot (z_2 = 1)}  =
 
  \frac {1}{ \sqrt{2 \pi } \cdot 6\,\,{\rm dB} }  \cdot \frac {20\,\,{\rm dB}}{  {\rm ln} \hspace{0.1cm}(10)  }   
 
  \frac {1}{ \sqrt{2 \pi } \cdot 6\,\,{\rm dB} }  \cdot \frac {20\,\,{\rm dB}}{  {\rm ln} \hspace{0.1cm}(10)  }   
 
  \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.578}\hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.578}\hspace{0.05cm}.$$
  
*Der erste Anteil ist gleich dem WDF&ndash;Wert $f_{{\it V}2}(V_2 = 0)$.
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*Der erste Anteil ist gleich dem WDF&ndash;Wert&nbsp; $f_{{\it V}2}(V_2 = 0)$.
*$C$ berücksichtigt den Betrag der Ableitung der nichtlinearen Kennlinie $z_2 = g(V_2)$ für $V_2 = 0 \ \rm dB$ bzw. $z_2 = 1$.  
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*$C$&nbsp; berücksichtigt den Betrag der Ableitung der nichtlinearen Kennlinie&nbsp; $z_2 = g(V_2)$&nbsp; für&nbsp; $V_2 = 0 \ \rm dB$&nbsp; bzw.&nbsp; $z_2 = 1$.  
*Schließlich erhält man für $z_2 = 2$:
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*Schließlich erhält man für&nbsp; $z_2 = 2$:
 
:$$f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2} = 2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \frac {f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2} = 1)}{ z_{\rm 2} = 2} \cdot  
 
:$$f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2} = 2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \frac {f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2} = 1)}{ z_{\rm 2} = 2} \cdot  
  {\rm exp } \left [ - \frac {{\rm ln}^2 (2)}{2 \cdot C^2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ]= \frac {0.578}{ 2} \cdot  
+
  {\rm e }^{  - {{\rm ln}^2 (2)}/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}C^2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sigma_{\rm S}^2)} = {0.578}/{ 2} \cdot  
  {\rm exp } \left [ - \frac {0.48}{0.952} \right ] \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.174}\hspace{0.05cm}. $$
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  {\rm e } ^{ - {0.48}/{0.952} } \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.174}\hspace{0.05cm}. $$
  
  
'''(4)'''&nbsp; Berücksichtigt man den Zusammenhang zwischen $z_2$ und $V_2$, so erhält man:
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'''(4)'''&nbsp; Berücksichtigt man den Zusammenhang zwischen&nbsp; $z_2$&nbsp; und&nbsp; $V_2$, so erhält man:
 
:$${\rm Pr}(z_{\rm 2} > 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(V_{\rm 2} < 0\,\,{\rm dB})\hspace{0.15cm} \underline{= 0.5}
 
:$${\rm Pr}(z_{\rm 2} > 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(V_{\rm 2} < 0\,\,{\rm dB})\hspace{0.15cm} \underline{= 0.5}
 
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*Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Gaußvariable größer ist als $2 \cdot \sigma$, ist aber gleich ${\rm Q}(2)$:
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*Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Gaußvariable größer ist als&nbsp; $2 \cdot \sigma$, ist aber gleich&nbsp; ${\rm Q}(2)$:
 
:$${\rm Pr}(z_{\rm 2} > 4)  =  {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm} \underline{= 0.023}
 
:$${\rm Pr}(z_{\rm 2} > 4)  =  {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm} \underline{= 0.023}
 
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'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
 
'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
*Die erste Aussage ist mit Sicherheit nicht zutreffend, da sich der Mittelwert $m_{\rm S}$ auf die logarithmierte Empfangsleistung (in $\rm dBm$) bezieht.  
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*Die erste Aussage ist mit Sicherheit nicht zutreffend, da sich der Mittelwert&nbsp; $m_{\rm S}$&nbsp; auf die logarithmierte Empfangsleistung&nbsp; $($in&nbsp; $\rm dBm)$&nbsp; bezieht.  
*Um zu klären, ob nun die zweite oder die dritte Lösungsalternative zutrifft, gehen wir von $P_{\rm S} = 1 \ \rm W$, $V_1 = 60 \ \rm dB$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $P_{\rm E}' = 1 \ {\rm &micro; W}$ und folgender $V_2$&ndash;WDF aus:
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*Um zu klären, ob nun die zweite oder die dritte Lösungsalternative zutrifft, gehen wir von&nbsp; $P_{\rm S} = 1 \ \rm W$,&nbsp; $V_1 = 60 \ \rm dB$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $P_{\rm E}' = 1 \ {\rm &micro; W}$&nbsp; und folgender&nbsp; $V_2$&ndash;WDF aus:
 
:$$f_{V{\rm 2}}(V_{\rm 2}) =  0.5 \cdot \delta (V_{\rm 2}) + 0.25 \cdot \delta (V_{\rm 2}- 10\,\,{\rm dB})
 
:$$f_{V{\rm 2}}(V_{\rm 2}) =  0.5 \cdot \delta (V_{\rm 2}) + 0.25 \cdot \delta (V_{\rm 2}- 10\,\,{\rm dB})
 
  + 0.25 \cdot \delta (V_{\rm 2}+ 10\,\,{\rm dB})\hspace{0.05cm}.$$
 
  + 0.25 \cdot \delta (V_{\rm 2}+ 10\,\,{\rm dB})\hspace{0.05cm}.$$
  
*In der Hälfte der Zeit ist dann $P_{\rm E} = 1 \ \rm &micro; W$, während in den beiden anderen Vierteln jeweils gilt:
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*In der Hälfte der Zeit ist dann&nbsp; $P_{\rm E} = 1 \ \rm &micro; W$, während in den beiden anderen Vierteln jeweils gilt:
 
:$$V_{\rm 2}= +10\,\,{\rm dB}\text{:} \hspace{0.3cm}  P_{\rm E}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1\,\,{\rm W}}{10^7} = 0.1\,\,{\rm &micro; W}\hspace{0.05cm},$$
 
:$$V_{\rm 2}= +10\,\,{\rm dB}\text{:} \hspace{0.3cm}  P_{\rm E}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1\,\,{\rm W}}{10^7} = 0.1\,\,{\rm &micro; W}\hspace{0.05cm},$$
 
:$$V_{\rm 2}= -10\,\,{\rm dB}\text{:} \hspace{0.3cm}  P_{\rm E}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1\,\,{\rm W}}{10^5} = 10\,\,{\rm &micro; W}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$V_{\rm 2}= -10\,\,{\rm dB}\text{:} \hspace{0.3cm}  P_{\rm E}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1\,\,{\rm W}}{10^5} = 10\,\,{\rm &micro; W}\hspace{0.05cm}.$$
  
*Der Mittelwert ergibt somit:
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*Der Mittelwert ergibt somit zu:
:$${\rm E}[P_{\rm E}(t)] =  0.5 \cdot 1\,{\rm &micro; W}+ 0.25 \cdot 0.1\,{\rm &micro; W}+0.25 \cdot 10\,{\rm &micro; W}= 3.025\,{\rm &micro; W} > P_{\rm E}\hspace{0.05cm}' = 1\,{\rm &micro; W}
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:$${\rm E}\big[P_{\rm E}(t)\big] =  0.5 \cdot 1\,{\rm &micro; W}+ 0.25 \cdot 0.1\,{\rm &micro; W}+0.25 \cdot 10\,{\rm &micro; W}= 3.025\,{\rm &micro; W} > P_{\rm E}\hspace{0.05cm}' = 1\,{\rm &micro; W}
 
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*Diese einfache Rechnung mit diskreten Wahrscheinlichkeiten anstelle einer kontinuierlichen WDF deutet darauf hin, dass der <u>Lösungsvorschlag 3</u> richtig sein wird.
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*Diese einfache Rechnung mit diskreten Wahrscheinlichkeiten anstelle einer kontinuierlichen WDF deutet darauf hin, dass der <u>Lösungsvorschlag 3</u> richtig ist.
 
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Aktuelle Version vom 10. Mai 2020, 13:22 Uhr

Modell für Lognormal-Fading

Wir gehen von ähnlichen Bedingungen wie in der  Aufgabe 1.2  aus, fassen aber nun den rein entfernungsabhängigen Pfadverlust  $V_0$  und den Mittelwert  $m_{\rm S}$  des Lognormal–Fadings zusammen  (der Index „S” steht für Shadowing):

$$V_{\rm 1} = V_{\rm 0} + m_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$

Der gesamte Pfadverlust ist dann durch die Gleichung

$$V_{\rm P} = V_{\rm 1} + V_{\rm 2}(t)$$

gegeben, wobei  $V_2(t)$  eine Lognormal–Verteilung  mit Mittelwert Null beschreibt:

$$f_{V_{\rm S}}(V_{\rm S}) = \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}} \cdot {\rm e }^{ - { (V_{\rm S}\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}m_{\rm S})^2}/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sigma_{\rm S}^2) }\hspace{0.05cm}.$$

Das in der Grafik gezeigte Pfadverlustmodell ist für das hier beschriebene Szenario geeignet:

  • Multipliziert man das Sendesignal  $s(t)$  zunächst mit einem konstanten Faktor  $k_1$  und weiter mit einer stochastischen Größe  $z_2(t)$  mit der Wahrscheinlichkeitsdichte $\rm (WDF)$  $f_{\rm z2}(z_2)$, so ergibt sich am Ausgang das Signal  $r(t)$, dessen Leistung  $P_{\rm E}(t)$  aufgrund des stochastischen Anteils natürlich ebenfalls zeitabhängig ist.
  • Die WDF der lognormalverteilten Zufallsgröße  $z_2$  lautet für  $z_2 ≥ 0$:
$$f_{z_{\rm 2}}(z_{\rm 2}) = \frac {{\rm e^{- {\rm ln}^2 (z_{\rm 2}) /({2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} C^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sigma_{\rm S}^2}) } } }{ \sqrt{2 \pi }\cdot C \cdot \sigma_{\rm S} \cdot z_2} \hspace{0.8cm}{\rm mit} \hspace{0.8cm} C = \frac{{\rm ln} \hspace{0.1cm}(10)}{20\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Für  $z_2 ≤ 0$  ist diese WDF identisch Null.




Hinweise:

$$V_{\rm 1} = 60\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \sigma_{\rm S} = 6\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass eine mittelwertfreie Gaußsche Zufallsgröße  $z$  größer ist als ihre Streuung  $\sigma$, lautet:
$${\rm Pr}(z > \sigma) = {\rm Pr}(z < -\sigma) = {\rm Q}(1) \approx 0.158\hspace{0.05cm}.$$
  • Außerdem gilt:   ${\rm Pr}(z > 2\sigma) = {\rm Pr}(z < -2\sigma) = {\rm Q}(2) \approx 0.023\hspace{0.05cm}.$
  • Nochmals zur Verdeutlichung:   $z_2$  ist die lineare Fading–Größe, während die Beschreibungsgröße  $V_2$  auf dem Zehner–Logarithmus basiert.
  • Es gelten folgende Umrechnungen:
$$z_2 = 10^{-V_{\rm 2}/20\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} V_{\rm 2} = -20\,{\rm dB} \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}z_2\hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Wie groß sollte die Konstante  $k_1$  sein?

$k_1\ = \ $

2

Welcher Wertebereich gilt für die Zufallsgröße  $z_2$?

Es sind alle Werte zwischen  $-∞$ und $+∞$  möglich.
Die Zufallsgröße  $z_2$  ist nicht negativ.
Der kleinstmögliche Wert ist  $z_2 = 0.5$.
Der größtmögliche Wert ist  $z_2 = 2$.

3

Berechnen Sie die WDF  $f_{\rm z2}(z_2)$  für einige Abszissenwerte.

$f_{\rm z2}(z_2 = 0)\ = \ $

$f_{\rm z2}(z_2 = 1)\ = \ $

$f_{\rm z2}(z_2 = 2)\ = \ $

4

Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten.

${\rm Pr}(z_2 > 1.0)\ = \ $

${\rm Pr}(z_2 > 0.5)\ = \ $

${\rm Pr}(z_2 > 4.0)\ = \ $

5

Welche Aussagen gelten für die mittlere Empfangsleistung  ${\rm E}\big[P_{\rm E}(t)\big]$?
Hinweis:  $P_{\rm E}\hspace{0.01cm}'$  ist die Leistung nach der Multiplikation mit  $k_1$  (siehe Grafik).

Es gilt:   ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] = P_{\rm E}\hspace{0.01cm}'$.
Es gilt:   ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] < P_{\rm E}\hspace{0.01cm}'$.
Es gilt:   ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] > P_{\rm E}\hspace{0.01cm}'$.


Musterlösung

(1)  Die Konstante  $k_1$  erzeugt den zeitunabhängigen Pfadverlust  $V_1 = 60 \ \rm dB$.  Daraus folgt:

$$k_{\rm 1} = 10^{-V_{\rm 1}/(20\hspace{0.05cm} {\rm dB})} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.001}\hspace{0.05cm}.$$


(2)  Richtig ist nur der zweite Lösungsvorschlag:

  • Für die Gaußsche Zufallsvariable  $V_2$  sind (theoretisch) alle Werte zwischen  $-∞$  und  $+∞$  möglich.
  • Durch die Transformation  $z_2 = 10^{{\it -V_2}\rm /20}$  ergeben sich für die lineare Zufallsgröße  $z_2$  nur positive Werte und zwar zwischen  0  $($falls  $V_2$  positiv ist und bis ins Unendliche reicht$)$  und $+∞$  $($für sehr große negative Werte von $V_2)$.


(3)  Die Zufallsgröße  $z_2$  kann nur positiv sein.  Deshalb ist der WDF–Wert  $f_{\rm z2}(z_2 = 0)\hspace{0.15cm} \underline{ = 0}$.

  • Der WDF–Wert für den Abszissenwert  $z_2 = 1$  erhält man durch Einsetzen in die gegebene Gleichung:
$$f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2} = 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac {{\rm e^{- {\rm ln}^2 (z_{\rm 2}=1) /({2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} C^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sigma_{\rm S}^2}) } } }{ \sqrt{2 \pi }\cdot C \cdot \sigma_{\rm S} \cdot (z_2 = 1)} = \frac {1}{ \sqrt{2 \pi } \cdot 6\,\,{\rm dB} } \cdot \frac {20\,\,{\rm dB}}{ {\rm ln} \hspace{0.1cm}(10) } \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.578}\hspace{0.05cm}.$$
  • Der erste Anteil ist gleich dem WDF–Wert  $f_{{\it V}2}(V_2 = 0)$.
  • $C$  berücksichtigt den Betrag der Ableitung der nichtlinearen Kennlinie  $z_2 = g(V_2)$  für  $V_2 = 0 \ \rm dB$  bzw.  $z_2 = 1$.
  • Schließlich erhält man für  $z_2 = 2$:
$$f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2} = 2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac {f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2} = 1)}{ z_{\rm 2} = 2} \cdot {\rm e }^{ - {{\rm ln}^2 (2)}/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}C^2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sigma_{\rm S}^2)} = {0.578}/{ 2} \cdot {\rm e } ^{ - {0.48}/{0.952} } \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.174}\hspace{0.05cm}. $$


(4)  Berücksichtigt man den Zusammenhang zwischen  $z_2$  und  $V_2$, so erhält man:

$${\rm Pr}(z_{\rm 2} > 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(V_{\rm 2} < 0\,\,{\rm dB})\hspace{0.15cm} \underline{= 0.5} \hspace{0.05cm},$$
$${\rm Pr}(z_{\rm 2} > 0.5) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(V_{\rm 2} < 6\,\,{\rm dB}) = 1- {\rm Pr}(V_{\rm 2} > 6\,\,{\rm dB})= 1- {\rm Pr}(V_{\rm 2} > \sigma_{\rm S})= 1- {\rm Q}(1)\hspace{0.15cm} \underline{= 0.842} \hspace{0.05cm},$$
$${\rm Pr}(z_{\rm 2} > 4) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(V_{\rm 2} < -12\,\,{\rm dB}) = {\rm Pr}(V_{\rm 2} > +12\,\,{\rm dB}) = {\rm Pr}(V_{\rm 2} > 2 \sigma_{\rm S}) \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Gaußvariable größer ist als  $2 \cdot \sigma$, ist aber gleich  ${\rm Q}(2)$:
$${\rm Pr}(z_{\rm 2} > 4) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm} \underline{= 0.023} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

  • Die erste Aussage ist mit Sicherheit nicht zutreffend, da sich der Mittelwert  $m_{\rm S}$  auf die logarithmierte Empfangsleistung  $($in  $\rm dBm)$  bezieht.
  • Um zu klären, ob nun die zweite oder die dritte Lösungsalternative zutrifft, gehen wir von  $P_{\rm S} = 1 \ \rm W$,  $V_1 = 60 \ \rm dB$   ⇒   $P_{\rm E}' = 1 \ {\rm µ W}$  und folgender  $V_2$–WDF aus:
$$f_{V{\rm 2}}(V_{\rm 2}) = 0.5 \cdot \delta (V_{\rm 2}) + 0.25 \cdot \delta (V_{\rm 2}- 10\,\,{\rm dB}) + 0.25 \cdot \delta (V_{\rm 2}+ 10\,\,{\rm dB})\hspace{0.05cm}.$$
  • In der Hälfte der Zeit ist dann  $P_{\rm E} = 1 \ \rm µ W$, während in den beiden anderen Vierteln jeweils gilt:
$$V_{\rm 2}= +10\,\,{\rm dB}\text{:} \hspace{0.3cm} P_{\rm E}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1\,\,{\rm W}}{10^7} = 0.1\,\,{\rm µ W}\hspace{0.05cm},$$
$$V_{\rm 2}= -10\,\,{\rm dB}\text{:} \hspace{0.3cm} P_{\rm E}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1\,\,{\rm W}}{10^5} = 10\,\,{\rm µ W}\hspace{0.05cm}.$$
  • Der Mittelwert ergibt somit zu:
$${\rm E}\big[P_{\rm E}(t)\big] = 0.5 \cdot 1\,{\rm µ W}+ 0.25 \cdot 0.1\,{\rm µ W}+0.25 \cdot 10\,{\rm µ W}= 3.025\,{\rm µ W} > P_{\rm E}\hspace{0.05cm}' = 1\,{\rm µ W} \hspace{0.05cm}.$$
  • Diese einfache Rechnung mit diskreten Wahrscheinlichkeiten anstelle einer kontinuierlichen WDF deutet darauf hin, dass der Lösungsvorschlag 3 richtig ist.