Aufgaben:Aufgabe 4.Zehn: QPSK–Kanalkapazität: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID2958__Inf_A_4_10a.png|right|frame|QPSK– und 4–QAM–Signalraumkonstellation]]
 
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'''(1)'''  Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellationen für
 
'''(1)'''  Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellationen für
* <i>Quaternary Phase Shift Keying</i> (QPSK), und
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* <i>Quaternary Phase Shift Keying</i>&nbsp; (QPSK), und
* vierstufige Quadraturamplitudenmodulation (4&ndash;QAM).
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* vierstufige Quadraturamplitudenmodulation&nbsp; (4&ndash;QAM).
  
  
Letztere wird auch als&nbsp; [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Definition_und_Bedeutung_der_Kanalkapazit.C3.A4t|&pi;/4&ndash;QPSK]] bezeichnet. Beide sind aus informationstheoretischer Sicht identisch &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Antwort NEIN</u>.
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Letztere wird auch als&nbsp; [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Definition_und_Bedeutung_der_Kanalkapazit.C3.A4t|&pi;/4&ndash;QPSK]]&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Beide sind aus informationstheoretischer Sicht identisch &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Antwort NEIN</u>.
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'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:  
 
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*Die 4&ndash;QAM kann man als zwei BPSK&ndash;Konstellationen in orthogonalen Ebenen betrachten, wobei die Energie pro Informationsbit &nbsp;$(E_{\rm B})$&nbsp; in beiden Fällen gleich ist.  
 
*Die 4&ndash;QAM kann man als zwei BPSK&ndash;Konstellationen in orthogonalen Ebenen betrachten, wobei die Energie pro Informationsbit &nbsp;$(E_{\rm B})$&nbsp; in beiden Fällen gleich ist.  
*Da entsprechend der Teilaufgabe '''(1)''' die 4&ndash;QAM mit der QSPK identisch ist, gilt tatsächlich:
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*Da entsprechend der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; die 4&ndash;QAM mit der QSPK identisch ist, gilt tatsächlich:
 
:$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}).$$
 
:$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}).$$
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'''(3)'''&nbsp; In der unteren Grafik sind die beiden angegebenen Shannon&ndash;Grenzkurven zusammen mit &nbsp;$C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; und &nbsp;$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; skizziert:
 
'''(3)'''&nbsp; In der unteren Grafik sind die beiden angegebenen Shannon&ndash;Grenzkurven zusammen mit &nbsp;$C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; und &nbsp;$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; skizziert:
[[Datei:P_ID2959__Inf_A_4_1c.png|right|frame|Vier Kapazitätskurven mit unterschiedlichen Aussagen]]
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:$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$
 
:$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$
 
:$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) =  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$
 
:$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) =  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$
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Man erkennt aus dieser  Skizze: &nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>.
 
Man erkennt aus dieser  Skizze: &nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>.
*Die grün&ndash;gestrichelte Kurve &nbsp;$C_1( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; gilt für den AWGN&ndash;Kanal mit gaußverteiltem Eingang. Für die Coderate $R =1$ sind nach dieser Kurve &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm  dB$&nbsp; erforderlich. Für $R =2$ benötigt man dagegen &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 5.74\ \rm  dB$.
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*Die grün&ndash;gestrichelte Kurve &nbsp;$C_1( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; gilt für den AWGN&ndash;Kanal mit gaußverteiltem Eingang.&nbsp;
*Die blau&ndash;gestrichelte Kurve &nbsp;$C_2( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; gibt die Shannon&ndash;Grenze für $K=2$ parallele Gaußkanäle an. Hier benötigt man für &nbsp;$R =1$&nbsp; $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0\ \rm  dB$&nbsp;  bzw. &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm  dB$&nbsp; für &nbsp;$R =2$.
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*Für die Coderate&nbsp; $R =1$&nbsp; sind nach dieser Kurve &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm  dB$&nbsp; erforderlich.&nbsp;
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* Für&nbsp; $R =2$&nbsp; benötigt man dagegen &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 5.74\ \rm  dB$.
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*Die blau&ndash;gestrichelte Kurve &nbsp;$C_2( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; gibt die Shannon&ndash;Grenze für&nbsp; $K=2$&nbsp; parallele Gaußkanäle an.&nbsp; Hier benötigt man&nbsp; $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0\ \rm  dB$&nbsp;  für &nbsp;$R =1$&nbsp; bzw. &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm  dB$&nbsp; für &nbsp;$R =2$.
 
* Die eindimensionale BPSK liegt im gesamten Bereich unterhalb von &nbsp;$C_1$&nbsp; und damit natürlich auch unterhalb von &nbsp;$C_2 > C_1$.
 
* Die eindimensionale BPSK liegt im gesamten Bereich unterhalb von &nbsp;$C_1$&nbsp; und damit natürlich auch unterhalb von &nbsp;$C_2 > C_1$.
* Die zweidimensionale QPSK liegt erwartungsgemäß unter der für sie relevanten Grenzkurve &nbsp;$C_2$. Sie liegt aber im unteren Bereich (bis nahezu 6 dB) oberhalb von &nbsp;$C_1$.
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* Die zweidimensionale QPSK liegt erwartungsgemäß unter der für sie relevanten Grenzkurve &nbsp;$C_2$.&nbsp; Sie liegt aber im unteren Bereich&nbsp; $($bis nahezu &nbsp;$\text{6 dB)}$&nbsp; oberhalb von &nbsp;$C_1$.
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2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) ,$$   
 
2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) ,$$   
* sowie durch eine Verschiebung um $3\ \rm  dB$ nach rechts:
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* sowie durch eine Verschiebung um&nbsp; $3\ \rm  dB$&nbsp; nach rechts:
 
:$$C_{\rm QPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0})  
 
:$$C_{\rm QPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0})  
 
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2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0} - 3\,{\rm dB}) .$$
 
2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0} - 3\,{\rm dB}) .$$
*Richtig sind die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>.  
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*Richtig sind die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>.&nbsp; Der zweite Vorschlag berücksichtigt, dass bei QPSK die Energie in einer Dimension nur &nbsp;$E_{\rm S}/2$&nbsp; beträgt.
*Der zweite Vorschlag berücksichtigt, dass bei QPSK die Energie in einer Dimension nur &nbsp;$E_{\rm S}/2$&nbsp; beträgt.
 
  
 
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Version vom 19. Februar 2020, 14:08 Uhr

Kapazitätskurven für BPSK und QPSK

Gegeben sind die AWGN–Kanalkapazitätsgrenzkurven für die Modulationsverfahren


Die Kanalkapazitäten  $C_\text{BPSK}$  und  $C_\text{QPSK}$  geben gleichzeitig die maximale Coderate  $R_{\rm max}$  an, mit der bei BPSK (bzw. QPSK) die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_\text{B} ≡ 0$  mit geeigneter Kanalcodierung asymptotisch erreichbar ist.

Das obere Diagramm zeigt die Abhängigkeit von der Kenngröße  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  in  $\rm dB$, wobei  $E_{\rm B}$  die „Energie pro Informationsbit” angibt.

  • Für große  $E_{\rm B}/{N_0}$–Werte liefert die BPSK–Kurve die maximale Coderate  $R ≈ 1$.
  • Aus der QPSK–Kurve kann dagegen  $R ≈ 2$  abgelesen werden.


Die Kapazitätskurven für digitalen Eingang  (jeweils mit der Einheit „bit/Symbol”),

  • grüne Kurve   ⇒   $C_\text{BPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$  und
  • blaue Kurve   ⇒   $C_\text{QPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$


sollen in der Teilaufgabe  (3)  in Bezug gesetzt werden zu zwei Shannon–Grenzkurven, die jeweils für eine Gaußsche Eingangsverteilung gültig sind:

$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2\cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$
$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$

Die beiden Kurven geben gleichzeitig die maximale Coderate  $R_{\rm max}$  an, mit der durch lange Kanalcodes entsprechend dem  Kanalcodierungstheorem  eine fehlerfreie Übertragung möglich ist.  Natürlich gelten für  $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$   bzw.   $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$  unterschiedliche Randbedingungen.  Welche, das sollen Sie herausfinden.

Die Abszisse im unteren Diagramm ist dagegen   $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  mit der „Energie pro Symbol”  $(E_{\rm S})$.  Zu erkennen ist, dass die beiden Grenzwerte gegenüber der oberen Darstellung nicht verändert werden:

$$C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty) = 1 \ \rm bit/Symbol,$$
$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty) = 2 \ \rm bit/Symbol.$$





Hinweise:


Fragebogen

1

Unterscheiden sich QPSK und 4–QAM aus informationstheoretischer Sicht?

Ja.
Nein.

2

Wie lässt sich  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  aus  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  konstruieren?

Durch Verdopplung:   $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$.
Zusätzlich durch eine Verschiebung nach rechts.
Zusätzlich durch eine Verschiebung nach links.
$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  kann man aus  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$   nicht konstruieren.

3

Welcher Zusammenhang besteht zu den Shannon–Grenzkurven?

Es gilt   $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 1}( E_{\rm B}/{N_0})$.
Es gilt   $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 2}( E_{\rm B}/{N_0})$.
Es gilt   $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 1}( E_{\rm B}/{N_0})$.
Es gilt   $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 2}( E_{\rm B}/{N_0})$.

4

Wie lässt sich  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$  aus  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$  konstruieren?

Durch Verdopplung:   $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$.
Zusätzlich durch eine Verschiebung nach rechts.
Zusätzlich durch eine Verschiebung nach links.
$C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$  kann man aus  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$  nicht konstruieren.


Musterlösung

QPSK– und 4–QAM–Signalraumkonstellation

(1)  Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellationen für

  • Quaternary Phase Shift Keying  (QPSK), und
  • vierstufige Quadraturamplitudenmodulation  (4–QAM).


Letztere wird auch als  π/4–QPSK  bezeichnet.  Beide sind aus informationstheoretischer Sicht identisch   ⇒   Antwort NEIN.


(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

  • Die 4–QAM kann man als zwei BPSK–Konstellationen in orthogonalen Ebenen betrachten, wobei die Energie pro Informationsbit  $(E_{\rm B})$  in beiden Fällen gleich ist.
  • Da entsprechend der Teilaufgabe  (1)  die 4–QAM mit der QSPK identisch ist, gilt tatsächlich:
$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}).$$


(3)  In der unteren Grafik sind die beiden angegebenen Shannon–Grenzkurven zusammen mit  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  und  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  skizziert:

$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$
$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$
Vier Kapazitätskurven mit unterschiedlichen Aussagen

Man erkennt aus dieser Skizze:   Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4.

  • Die grün–gestrichelte Kurve  $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$  gilt für den AWGN–Kanal mit gaußverteiltem Eingang. 
  • Für die Coderate  $R =1$  sind nach dieser Kurve  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm dB$  erforderlich. 
  • Für  $R =2$  benötigt man dagegen  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 5.74\ \rm dB$.
  • Die blau–gestrichelte Kurve  $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$  gibt die Shannon–Grenze für  $K=2$  parallele Gaußkanäle an.  Hier benötigt man  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0\ \rm dB$  für  $R =1$  bzw.  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm dB$  für  $R =2$.
  • Die eindimensionale BPSK liegt im gesamten Bereich unterhalb von  $C_1$  und damit natürlich auch unterhalb von  $C_2 > C_1$.
  • Die zweidimensionale QPSK liegt erwartungsgemäß unter der für sie relevanten Grenzkurve  $C_2$.  Sie liegt aber im unteren Bereich  $($bis nahezu  $\text{6 dB)}$  oberhalb von  $C_1$.



(4)  Die  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$–Kurve kann ebenfalls aus  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  konstruiert werden und zwar

  • zum einen durch Verdopplung:
$$C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) ,$$
  • sowie durch eine Verschiebung um  $3\ \rm dB$  nach rechts:
$$C_{\rm QPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0} - 3\,{\rm dB}) .$$
  • Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge.  Der zweite Vorschlag berücksichtigt, dass bei QPSK die Energie in einer Dimension nur  $E_{\rm S}/2$  beträgt.