Aufgaben:Aufgabe 4.Zehn: QPSK–Kanalkapazität: Unterschied zwischen den Versionen
Zeile 80: | Zeile 80: | ||
[[Datei:P_ID2958__Inf_A_4_10a.png|right|frame|QPSK– und 4–QAM–Signalraumkonstellation]] | [[Datei:P_ID2958__Inf_A_4_10a.png|right|frame|QPSK– und 4–QAM–Signalraumkonstellation]] | ||
'''(1)''' Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellationen für | '''(1)''' Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellationen für | ||
− | * <i>Quaternary Phase Shift Keying</i> (QPSK), und | + | * <i>Quaternary Phase Shift Keying</i> (QPSK), und |
− | * vierstufige Quadraturamplitudenmodulation (4–QAM). | + | * vierstufige Quadraturamplitudenmodulation (4–QAM). |
− | Letztere wird auch als [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Definition_und_Bedeutung_der_Kanalkapazit.C3.A4t|π/4–QPSK]] bezeichnet. Beide sind aus informationstheoretischer Sicht identisch ⇒ <u>Antwort NEIN</u>. | + | Letztere wird auch als [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Definition_und_Bedeutung_der_Kanalkapazit.C3.A4t|π/4–QPSK]] bezeichnet. Beide sind aus informationstheoretischer Sicht identisch ⇒ <u>Antwort NEIN</u>. |
+ | |||
'''(2)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: | '''(2)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: | ||
*Die 4–QAM kann man als zwei BPSK–Konstellationen in orthogonalen Ebenen betrachten, wobei die Energie pro Informationsbit $(E_{\rm B})$ in beiden Fällen gleich ist. | *Die 4–QAM kann man als zwei BPSK–Konstellationen in orthogonalen Ebenen betrachten, wobei die Energie pro Informationsbit $(E_{\rm B})$ in beiden Fällen gleich ist. | ||
− | *Da entsprechend der Teilaufgabe '''(1)''' die 4–QAM mit der QSPK identisch ist, gilt tatsächlich: | + | *Da entsprechend der Teilaufgabe '''(1)''' die 4–QAM mit der QSPK identisch ist, gilt tatsächlich: |
:$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}).$$ | :$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}).$$ | ||
+ | |||
'''(3)''' In der unteren Grafik sind die beiden angegebenen Shannon–Grenzkurven zusammen mit $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ und $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ skizziert: | '''(3)''' In der unteren Grafik sind die beiden angegebenen Shannon–Grenzkurven zusammen mit $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ und $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ skizziert: | ||
− | + | ||
:$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$ | :$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$ | ||
:$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$ | :$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$ | ||
+ | [[Datei:P_ID2959__Inf_A_4_1c.png|right|frame|Vier Kapazitätskurven mit unterschiedlichen Aussagen]] | ||
Man erkennt aus dieser Skizze: Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>. | Man erkennt aus dieser Skizze: Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>. | ||
− | *Die grün–gestrichelte Kurve $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$ gilt für den AWGN–Kanal mit gaußverteiltem Eingang. Für die Coderate $R =1$ sind nach dieser Kurve $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm dB$ erforderlich. Für $R =2$ benötigt man dagegen $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 5.74\ \rm dB$. | + | *Die grün–gestrichelte Kurve $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$ gilt für den AWGN–Kanal mit gaußverteiltem Eingang. |
− | *Die blau–gestrichelte Kurve $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$ gibt die Shannon–Grenze für $K=2$ parallele Gaußkanäle an. Hier benötigt man | + | *Für die Coderate $R =1$ sind nach dieser Kurve $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm dB$ erforderlich. |
+ | * Für $R =2$ benötigt man dagegen $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 5.74\ \rm dB$. | ||
+ | *Die blau–gestrichelte Kurve $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$ gibt die Shannon–Grenze für $K=2$ parallele Gaußkanäle an. Hier benötigt man $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0\ \rm dB$ für $R =1$ bzw. $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm dB$ für $R =2$. | ||
* Die eindimensionale BPSK liegt im gesamten Bereich unterhalb von $C_1$ und damit natürlich auch unterhalb von $C_2 > C_1$. | * Die eindimensionale BPSK liegt im gesamten Bereich unterhalb von $C_1$ und damit natürlich auch unterhalb von $C_2 > C_1$. | ||
− | * Die zweidimensionale QPSK liegt erwartungsgemäß unter der für sie relevanten Grenzkurve $C_2$. Sie liegt aber im unteren Bereich (bis nahezu 6 dB) oberhalb von $C_1$. | + | * Die zweidimensionale QPSK liegt erwartungsgemäß unter der für sie relevanten Grenzkurve $C_2$. Sie liegt aber im unteren Bereich $($bis nahezu $\text{6 dB)}$ oberhalb von $C_1$. |
+ | |||
+ | |||
Zeile 109: | Zeile 116: | ||
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} | \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) ,$$ | 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) ,$$ | ||
− | * sowie durch eine Verschiebung um $3\ \rm dB$ nach rechts: | + | * sowie durch eine Verschiebung um $3\ \rm dB$ nach rechts: |
:$$C_{\rm QPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) | :$$C_{\rm QPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) | ||
= | = | ||
2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0} - 3\,{\rm dB}) .$$ | 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0} - 3\,{\rm dB}) .$$ | ||
− | *Richtig sind die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>. | + | *Richtig sind die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>. Der zweite Vorschlag berücksichtigt, dass bei QPSK die Energie in einer Dimension nur $E_{\rm S}/2$ beträgt. |
− | |||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} |
Version vom 19. Februar 2020, 14:08 Uhr
Gegeben sind die AWGN–Kanalkapazitätsgrenzkurven für die Modulationsverfahren
- Binary Phase Shift Keying (BPSK),
- Quaternary Phase Shift Keying (4–PSK oder auch QPSK).
Die Kanalkapazitäten $C_\text{BPSK}$ und $C_\text{QPSK}$ geben gleichzeitig die maximale Coderate $R_{\rm max}$ an, mit der bei BPSK (bzw. QPSK) die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B} ≡ 0$ mit geeigneter Kanalcodierung asymptotisch erreichbar ist.
Das obere Diagramm zeigt die Abhängigkeit von der Kenngröße $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$ in $\rm dB$, wobei $E_{\rm B}$ die „Energie pro Informationsbit” angibt.
- Für große $E_{\rm B}/{N_0}$–Werte liefert die BPSK–Kurve die maximale Coderate $R ≈ 1$.
- Aus der QPSK–Kurve kann dagegen $R ≈ 2$ abgelesen werden.
Die Kapazitätskurven für digitalen Eingang (jeweils mit der Einheit „bit/Symbol”),
- grüne Kurve ⇒ $C_\text{BPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$ und
- blaue Kurve ⇒ $C_\text{QPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$
sollen in der Teilaufgabe (3) in Bezug gesetzt werden zu zwei Shannon–Grenzkurven, die jeweils für eine Gaußsche Eingangsverteilung gültig sind:
- $$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2\cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$
- $$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$
Die beiden Kurven geben gleichzeitig die maximale Coderate $R_{\rm max}$ an, mit der durch lange Kanalcodes entsprechend dem Kanalcodierungstheorem eine fehlerfreie Übertragung möglich ist. Natürlich gelten für $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$ bzw. $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$ unterschiedliche Randbedingungen. Welche, das sollen Sie herausfinden.
Die Abszisse im unteren Diagramm ist dagegen $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$ mit der „Energie pro Symbol” $(E_{\rm S})$. Zu erkennen ist, dass die beiden Grenzwerte gegenüber der oberen Darstellung nicht verändert werden:
- $$C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty) = 1 \ \rm bit/Symbol,$$
- $$C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty) = 2 \ \rm bit/Symbol.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Maximale Coderate für QAM-Strukturen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellationen für
- Quaternary Phase Shift Keying (QPSK), und
- vierstufige Quadraturamplitudenmodulation (4–QAM).
Letztere wird auch als π/4–QPSK bezeichnet. Beide sind aus informationstheoretischer Sicht identisch ⇒ Antwort NEIN.
(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:
- Die 4–QAM kann man als zwei BPSK–Konstellationen in orthogonalen Ebenen betrachten, wobei die Energie pro Informationsbit $(E_{\rm B})$ in beiden Fällen gleich ist.
- Da entsprechend der Teilaufgabe (1) die 4–QAM mit der QSPK identisch ist, gilt tatsächlich:
- $$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}).$$
(3) In der unteren Grafik sind die beiden angegebenen Shannon–Grenzkurven zusammen mit $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ und $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ skizziert:
- $$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$
- $$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$
Man erkennt aus dieser Skizze: Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4.
- Die grün–gestrichelte Kurve $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$ gilt für den AWGN–Kanal mit gaußverteiltem Eingang.
- Für die Coderate $R =1$ sind nach dieser Kurve $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm dB$ erforderlich.
- Für $R =2$ benötigt man dagegen $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 5.74\ \rm dB$.
- Die blau–gestrichelte Kurve $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$ gibt die Shannon–Grenze für $K=2$ parallele Gaußkanäle an. Hier benötigt man $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0\ \rm dB$ für $R =1$ bzw. $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm dB$ für $R =2$.
- Die eindimensionale BPSK liegt im gesamten Bereich unterhalb von $C_1$ und damit natürlich auch unterhalb von $C_2 > C_1$.
- Die zweidimensionale QPSK liegt erwartungsgemäß unter der für sie relevanten Grenzkurve $C_2$. Sie liegt aber im unteren Bereich $($bis nahezu $\text{6 dB)}$ oberhalb von $C_1$.
(4) Die $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$–Kurve kann ebenfalls aus $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ konstruiert werden und zwar
- zum einen durch Verdopplung:
- $$C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) ,$$
- sowie durch eine Verschiebung um $3\ \rm dB$ nach rechts:
- $$C_{\rm QPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0} - 3\,{\rm dB}) .$$
- Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge. Der zweite Vorschlag berücksichtigt, dass bei QPSK die Energie in einer Dimension nur $E_{\rm S}/2$ beträgt.