Aufgaben:Aufgabe 2.8: Huffman-Anwendung bei einer Markovquelle: Unterschied zwischen den Versionen
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*Die folgenden Zahlenwerte gelten wieder für $q = 0.2$ und $q = 0.8$ gleichermaßen: | *Die folgenden Zahlenwerte gelten wieder für $q = 0.2$ und $q = 0.8$ gleichermaßen: | ||
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*Insbesondere wird auf die Seite [[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman#Anwendung_der_Huffman.E2.80.93Codierung_auf_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax164-QINU.60.22.27.7F.E2.80.93Tupel|Anwendung der Huffman-Codierung auf k-Tupel]] Bezug genommen. | *Insbesondere wird auf die Seite [[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman#Anwendung_der_Huffman.E2.80.93Codierung_auf_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax164-QINU.60.22.27.7F.E2.80.93Tupel|Anwendung der Huffman-Codierung auf k-Tupel]] Bezug genommen. | ||
*Nützliche Informationen finden Sie auch in den Angabenblättern zu [[Aufgaben:2.7_Huffman-Anwendung_für_binäre_Zweiertupel|Aufgabe 2.7]] und [[Aufgaben:2.7Z_Huffman-Codierung_für_Zweiertupel_einer_Ternärquelle|Aufgabe 2.7Z]]. | *Nützliche Informationen finden Sie auch in den Angabenblättern zu [[Aufgaben:2.7_Huffman-Anwendung_für_binäre_Zweiertupel|Aufgabe 2.7]] und [[Aufgaben:2.7Z_Huffman-Codierung_für_Zweiertupel_einer_Ternärquelle|Aufgabe 2.7Z]]. | ||
− | *Zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse verweisen wir auf das Interaktionsmodul [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung|Huffman und Shannon–Fano–Codierung]]. | + | *Zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse verweisen wir auf das Interaktionsmodul [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung|Huffman und Shannon–Fano––Codierung]]. |
Version vom 26. Januar 2020, 13:29 Uhr
Wir betrachten die binäre symmetrische Markovquelle entsprechend der Grafik, die durch den einzigen Parameter
- $$q = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y})$$
vollständig beschrieben wird.
- Die angegebenen Quellensymbolfolgen gelten für die bedingten Wahrscheinlichkeiten $q = 0.2$ bzw. $q = 0.8$.
- In der Teilaufgabe (1) ist zu klären, welche Symbolfolge – die rote oder die blaue – mit $q = 0.2$ und welche mit $q = 0.8$ generiert wurde.
Die Eigenschaften von Markovquellen werden im Kapitel Nachrichtenquellen mit Gedächtnis ausführlich beschrieben. Aufgrund der hier vorausgesetzten Symmetrie bezüglich der Binärsymbole $\rm X$ und $\rm Y$ ergeben sich einige gravierende Vereinfachungen, wie in der Aufgabe 1.5Z hergeleitet wird:
- Die Symbole $\rm X$ und $\rm Y$ sind gleichwahrscheinlich, das heißt, es gilt $p_{\rm X} = p_{\rm Y} = 0.5$.
Damit lautet die erste Entropienäherung: $H_1 = 1\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}. $ - Die Entropie der Markovquelle ergibt sich sowohl für $q = 0.2$ als auch für $q = 0.8$ zu
- $$H = q \cdot {\rm log_2}\hspace{0.15cm}\frac{1}{q} + (1-q) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.15cm}\frac{1}{1-q} = 0.722\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}.$$
- Bei Markovquellen sind alle Entropienäherungen mit Ordnung $k \ge 2$ durch $H_1$ und $H = H_{k \to \infty}$ bestimmt:
- $$H_k = {1}/{k}\cdot \big [ H_1 + H \big ] \hspace{0.05cm}.$$
- Die folgenden Zahlenwerte gelten wieder für $q = 0.2$ und $q = 0.8$ gleichermaßen:
- $$H_2 = {1}/{2}\cdot \big [ H_1 + H \big ] = 0.861\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm},$$
- $$H_3 = {1}/{3} \cdot \big [ H_1 + 2H \big ] = 0.815\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}.$$
In dieser Aufgabe soll der Huffman–Algorithmus auf $k$–Tupel angewandt werden, wobei wir uns auf $k = 2$ und $k = 3$ beschränken.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Entropiecodierung nach Huffman.
- Insbesondere wird auf die Seite Anwendung der Huffman-Codierung auf k-Tupel Bezug genommen.
- Nützliche Informationen finden Sie auch in den Angabenblättern zu Aufgabe 2.7 und Aufgabe 2.7Z.
- Zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse verweisen wir auf das Interaktionsmodul Huffman und Shannon–Fano––Codierung.
Fragebogen
Musterlösung
- Bei der blauen Quellensymbolfolge 2 erkennt man sehr viel weniger Symbolwechsel als in der roten Folge.
- Die Symbolfolge 2 wurde mit dem Parameter $q = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y}) = 0.8$ erzeugt und die rote Symbolfolge 1 mit $q = 0.2$.
(2) Richtig sind die Antworten 2 und 3.:
- Da hier die Quellensymbole $\rm X$ und $\rm X$ gleichwahrscheinlich angenommen wurden, macht die direkte Anwendung von Huffman keinen Sinn.
- Dagegen kann man die inneren statistischen Bindungen der Markovquelle zur Datenkomprimierung nutzen, wenn man $k$–Tupel bildet $(k ≥ 2)$.
- Je größer $k$ ist, desto mehr nähert sich die Codewortlänge $L_{\rm M}$ der Entropie $H$.
(3) Die Symbolwahrscheinlichkeiten sind $p_{\rm X} = p_{\rm Y} = 0.5$. Damit erhält man für die Zweiertupel:
- $$p_{\rm A} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XX}) = p_{\rm X} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = 0.5 \cdot q = 0.5 \cdot 0.8 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.4} \hspace{0.05cm},$$
- $$p_{\rm B} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XY}) = p_{\rm X} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = 0.5 \cdot (1-q)= 0.5 \cdot 0.2 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.1} \hspace{0.05cm},$$
- $$p_{\rm C} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YX}) = p_{\rm Y} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y}) = 0.5 \cdot (1-q)= 0.5 \cdot 0.2 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.1} \hspace{0.05cm},$$
- $$p_{\rm D} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YY}) = p_{\rm Y} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y}) = 0.5 \cdot q = 0.5 \cdot 0.8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.4} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Nebenstehender Bildschirmabzug des Programms Shannon–Fano– und Huffman–Codierung zeigt die Konstruktion des Huffman–Codes für $k = 2$ mit den soeben berechneten Wahrscheinlichkeiten. Damit gilt für die mittlere Codewortlänge:
- $$L_{\rm M}\hspace{0.01cm}' = 0.4 \cdot 1 + 0.4 \cdot 2 + (0.1 + 0.1) \cdot 3 = 1.8\,\,{\rm bit/Zweiertupel}$$
- $$\Rightarrow\hspace{0.3cm}L_{\rm M} = {L_{\rm M}\hspace{0.01cm}'}/{2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.9\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}.$$
(5) Richtig iist der Lösungsvorschlag 2:
- Nach dem Quellencodierungstheorem gilt $L_{\rm M} ≥ H$.
- Wendet man aber Huffman–Codierung an und lässt dabei Bindungen zwischen nicht benachbarten Symbolen außer Betracht $(k = 2)$, so gilt als unterste Grenze der Codewortlänge nicht $H = 0.722$, sondern $H_2 = 0.861$ (auf den Zusatz bit/Quellensymbol wird für den Rest der Aufgabe verzichtet).
- Das Ergebnis der Teilaufgabe (4) war $L_{\rm M} = 0.9.$
- Würde eine unsymmetrische Markovkette vorliegen und zwar derart, dass sich für die Wahrscheinlichkeiten $p_{\rm A}$, ... , $p_{\rm D}$ die Werte $50\%$, $25\%$ und zweimal $12.5\%$ ergeben würden, so käme man auf die mittlere Codewortlänge $L_{\rm M} = 0.875$.
- Wie die genauen Parameter dieser unsymmetrischen Markovquelle aussehen, weiß aber auch der Aufgabensteller (G. Söder) nicht.
- Auch nicht, wie sich der Wert $0.875$ auf $0.861$ senken ließe. Der Huffman–Algorithmus ist hierfür jedenfalls ungeeignet.
(6) Mit $q = 0.8$ und $1 - q = 0.2$ erhält man:
- $$p_{\rm A} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XXX}) = 0.5 \cdot q^2 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.32} = p_{\rm H} = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YYY})\hspace{0.05cm},$$
- $$p_{\rm B} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XXY}) = 0.5 \cdot q \cdot (1-q) \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.08}= p_{\rm G} = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YYX}) \hspace{0.05cm},$$
- $$p_{\rm C} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XYX}) = 0.5 \cdot (1-q)^2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.02} = p_{\rm F}= {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YXY}) \hspace{0.05cm},$$
- $$p_{\rm D} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XYY}) = 0.5 \cdot (1-q) \cdot q \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.08} = p_{\rm E} = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YXX})\hspace{0.05cm}.$$
(7) Der Bildschirmabzug des Flash–Moduls verdeutlicht die Konstellation des Huffman–Codes für $k = 3$. Damit erhält man für die mittlere Codewortlänge:
- $$L_{\rm M}\hspace{0.01cm}' = 0.64 \cdot 2 + 0.24 \cdot 3 + 0.04 \cdot 5 = 2.52\,\,{\rm bit/Dreiertupel}\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}L_{\rm M} = {L_{\rm M}\hspace{0.01cm}'}/{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.84\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}.$$
- Man erkennt die Verbesserung gegenüber (4).
- Die für $k = 2$ gültige informationstheoretische Schranke $H_2 = 0.861$ wird nun von der mittleren Codewortlänge $L_{\rm M}$ unterschritten.
- Die neue Schranke für $k = 3$ ist $H_3 = 0.815$.
- Um die Quellenentropie $H = 0.722$ zu erreichen (besser gesagt: diesem Endwert bis auf ein $ε$ nahe zu kommen), müsste man allerdings unendlich lange Tupel bilden $(k → ∞)$.