Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Dreieckförmige WDF: Unterschied zwischen den Versionen
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$$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) & {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\\end{array}\right.$$ | $$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) & {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\\end{array}\right.$$ | ||
− | so entsteht das | + | so entsteht das Signal $y(t)$ bzw. die neue Zufallsgröße $y$, die in den beiden letzten Teilfragen '''(5)''' und '''(6)''' betrachtet wird. <br /> |
*Für die Teilaufgaben '''(1)''' und '''(2)''' gelte $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $. | *Für die Teilaufgaben '''(1)''' und '''(2)''' gelte $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $. | ||
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− | '''(1)''' Die Fläche unter der WDF muss stets den Wert $1$ ergeben. Daraus folgt: | + | '''(1)''' Die Fläche unter der WDF muss stets den Wert $1$ ergeben. Daraus folgt: |
− | :$${A}/{ 2}\cdot {4\hspace{0. | + | :$${A}/{ 2}\cdot {4\hspace{0.05cm}\rm V}=1\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} A |
\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$ | \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$ | ||
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*Die Schraffierung markiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit. | *Die Schraffierung markiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit. | ||
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+ | * Den Maximalwert ist nun $A = 1/(3\hspace{0.05cm} {\rm V})$. | ||
+ | *Die schraffierte Fläche gibt wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit an, die man zum Beispiel über das flächengleiche Rechteck bestimmen kann: | ||
:$${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V}< x<3\hspace{0.05cm} {\rm V})=\rm \frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot 2\hspace{0.05cm} {\rm V}=\hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$ | :$${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V}< x<3\hspace{0.05cm} {\rm V})=\rm \frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot 2\hspace{0.05cm} {\rm V}=\hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$ | ||
− | '''(4)''' Da $x$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt, ist diese Wahrscheinlichkeit definitionsgemäß gleich | + | |
+ | '''(4)''' Da $x$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt, ist diese Wahrscheinlichkeit definitionsgemäß gleich Null ⇒ ${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \;\underline {= 0}$. | ||
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'''(5)''' <u>Nur die letzte Aussage</u> der vorgegebenen Antworten ist zutreffend: | '''(5)''' <u>Nur die letzte Aussage</u> der vorgegebenen Antworten ist zutreffend: | ||
− | *Die WDF $f_y(y)$ beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil (blau gezeichnet), | + | *Die WDF $f_y(y)$ beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil (blau gezeichnet), |
− | *aber auch die (rote) Diracfunktion bei $y = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x >2\hspace{0.05cm} {\rm V})$. | + | *aber auch die (rote) Diracfunktion bei $y = +2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x >2\hspace{0.05cm} {\rm V})$. |
− | '''(6)''' Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgröße $y$ dargestellt. Aus der | + | '''(6)''' Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgröße $y$ dargestellt. |
+ | *Aus der rechten Abbildung zur Teilaufgabe '''(3)''' erkennt man den Zusammenhang: | ||
:$${\rm Pr}( y=2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = {\rm Pr}( x> 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot2{\hspace{0.05cm} {\rm V}} = {1}/{6}\hspace{0.15cm}\underline{=0.167}.$$ | :$${\rm Pr}( y=2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = {\rm Pr}( x> 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot2{\hspace{0.05cm} {\rm V}} = {1}/{6}\hspace{0.15cm}\underline{=0.167}.$$ | ||
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Version vom 14. November 2019, 15:45 Uhr
Wir betrachten eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ mit der oben skizzierten WDF.
- Der Minimalwert des Signals ist $x_{\rm min} = -2\hspace{0.05cm} {\rm V}$.
- Dagegen ist der maximale Wert $x_{\rm max}$ ein freier Parameter, der Werte zwischen $+2\hspace{0.05cm}\rm V$ und $+4\hspace{0.05cm} \rm V$ annehmen kann.
Die Zufallsgröße $x$ soll hier als der Momentanwert eines Zufallssignals aufgefasst werden. Gibt man dieses Signal $x(t)$ auf einen Amplitudenbegrenzer mit der Kennlinie (siehe untere Skizze)
$$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) & {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\\end{array}\right.$$
so entsteht das Signal $y(t)$ bzw. die neue Zufallsgröße $y$, die in den beiden letzten Teilfragen (5) und (6) betrachtet wird.
- Für die Teilaufgaben (1) und (2) gelte $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $.
- Für alle weiteren Teilaufgaben ist $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} $ zu setzen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
- Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das Lernvideo Wahrscheinlichkeit und WDF.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Fläche unter der WDF muss stets den Wert $1$ ergeben. Daraus folgt:
- $${A}/{ 2}\cdot {4\hspace{0.05cm}\rm V}=1\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} A \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$
(2) Mit $x_{\rm max} = +2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ergibt sich die WDF entsprechend der linken Grafik.
- Die Schraffierung markiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
- Man erhält durch einfache geometrische Überlegungen:
- $${\rm Pr}(|x|<\rm 1\hspace{0.05cm} V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.75}.$$
(3) Mit $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$ erhält man die rechts dargestellte WDF.
- Den Maximalwert ist nun $A = 1/(3\hspace{0.05cm} {\rm V})$.
- Die schraffierte Fläche gibt wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit an, die man zum Beispiel über das flächengleiche Rechteck bestimmen kann:
- $${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V}< x<3\hspace{0.05cm} {\rm V})=\rm \frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot 2\hspace{0.05cm} {\rm V}=\hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$
(4) Da $x$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt, ist diese Wahrscheinlichkeit definitionsgemäß gleich Null ⇒ ${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \;\underline {= 0}$.
(5) Nur die letzte Aussage der vorgegebenen Antworten ist zutreffend:
- Die WDF $f_y(y)$ beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil (blau gezeichnet),
- aber auch die (rote) Diracfunktion bei $y = +2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x >2\hspace{0.05cm} {\rm V})$.
(6) Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgröße $y$ dargestellt.
- Aus der rechten Abbildung zur Teilaufgabe (3) erkennt man den Zusammenhang:
- $${\rm Pr}( y=2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = {\rm Pr}( x> 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot2{\hspace{0.05cm} {\rm V}} = {1}/{6}\hspace{0.15cm}\underline{=0.167}.$$