Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Dreieckförmige WDF: Unterschied zwischen den Versionen

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$$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) &  {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le  x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V},  \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V},  \\\end{array}\right.$$
 
$$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) &  {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le  x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V},  \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V},  \\\end{array}\right.$$
  
so entsteht das Signa&nbsp; $y(t)$&nbsp; bzw. die neue Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$, die in den beiden letzten Teilfragen&nbsp; '''(5)'''&nbsp; und&nbsp; '''(6)'''&nbsp; betrachtet wird. <br />
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so entsteht das Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; bzw. die neue Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$, die in den beiden letzten Teilfragen&nbsp; '''(5)'''&nbsp; und&nbsp; '''(6)'''&nbsp; betrachtet wird. <br />
  
 
*F&uuml;r die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gelte&nbsp; $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $.
 
*F&uuml;r die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gelte&nbsp; $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $.
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[[Datei:StS_Z_3_1_bc_version2.png|right|frame|Höhe und Fläche der Dreieck-WDF]]
 
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'''(1)'''&nbsp; Die Fl&auml;che unter der WDF muss stets den Wert $1$ ergeben. Daraus folgt:
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'''(1)'''&nbsp; Die Fl&auml;che unter der WDF muss stets den Wert&nbsp; $1$&nbsp; ergeben. Daraus folgt:
:$${A}/{ 2}\cdot {4\hspace{0.5cm}V}=1\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} A
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:$${A}/{ 2}\cdot {4\hspace{0.05cm}\rm V}=1\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} A
 
\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$
 
\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Mit $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ergibt sich die WDF entsprechend der linken Grafik.  
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'''(2)'''&nbsp; Mit&nbsp; $x_{\rm max} = +2\hspace{0.05cm} {\rm V}$&nbsp; ergibt sich die WDF entsprechend der linken Grafik.  
 
*Die Schraffierung markiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
 
*Die Schraffierung markiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
 
* Man erhält durch einfache geometrische &Uuml;berlegungen:
 
* Man erhält durch einfache geometrische &Uuml;berlegungen:
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'''(3)'''&nbsp; Mit $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$ erh&auml;lt man die rechts dargestellte WDF und den Maximalwert $A = 1/(3\hspace{0.05cm} {\rm V})$. Die schraffierte Fl&auml;che gibt wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit an, die man zum Beispiel &uuml;ber das fl&auml;chengleiche Rechteck bestimmen kann:  
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'''(3)'''&nbsp; Mit&nbsp; $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$ erh&auml;lt&nbsp; man die rechts dargestellte WDF.
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* Den Maximalwert ist nun &nbsp; $A = 1/(3\hspace{0.05cm} {\rm V})$.  
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*Die schraffierte Fl&auml;che gibt wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit an, die man zum Beispiel &uuml;ber das fl&auml;chengleiche Rechteck bestimmen kann:  
 
:$${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V}< x<3\hspace{0.05cm} {\rm V})=\rm \frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot 2\hspace{0.05cm} {\rm V}=\hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$
 
:$${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V}< x<3\hspace{0.05cm} {\rm V})=\rm \frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot 2\hspace{0.05cm} {\rm V}=\hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$
  
  
'''(4)'''&nbsp; Da $x$ eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e darstellt, ist diese Wahrscheinlichkeit definitionsgem&auml;&szlig; gleich null &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \;\underline {= 0}$.
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'''(4)'''&nbsp; Da&nbsp; $x$&nbsp; eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e darstellt, ist diese Wahrscheinlichkeit definitionsgem&auml;&szlig; gleich Null &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \;\underline {= 0}$.
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'''(5)'''&nbsp; <u>Nur die letzte Aussage</u> der vorgegebenen Antworten ist zutreffend:
 
'''(5)'''&nbsp; <u>Nur die letzte Aussage</u> der vorgegebenen Antworten ist zutreffend:
  
*Die WDF $f_y(y)$ beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil (blau gezeichnet),  
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*Die WDF&nbsp; $f_y(y)$&nbsp; beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil (blau gezeichnet),  
*aber auch die (rote) Diracfunktion bei $y = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x >2\hspace{0.05cm} {\rm V})$.
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*aber auch die (rote) Diracfunktion bei&nbsp; $y = +2\hspace{0.05cm} {\rm V}$&nbsp; mit dem Gewicht&nbsp; ${\rm Pr}(x >2\hspace{0.05cm} {\rm V})$.
  
  
'''(6)'''&nbsp; Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ dargestellt. Aus der oberen rechten Abbildung zur Teilaufgabe (3) erkennt man den Zusammenhang:
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'''(6)'''&nbsp; Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; dargestellt.  
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*Aus der rechten Abbildung zur Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; erkennt man den Zusammenhang:
 
:$${\rm Pr}( y=2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = {\rm Pr}( x> 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) =  \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot2{\hspace{0.05cm} {\rm V}} = {1}/{6}\hspace{0.15cm}\underline{=0.167}.$$
 
:$${\rm Pr}( y=2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = {\rm Pr}( x> 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) =  \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot2{\hspace{0.05cm} {\rm V}} = {1}/{6}\hspace{0.15cm}\underline{=0.167}.$$
 
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Version vom 14. November 2019, 15:45 Uhr

Dreieck-WDF und Kennlinie  $y(x)$

Wir betrachten eine kontinuierliche Zufallsgröße  $x$  mit der oben skizzierten WDF. 

  • Der Minimalwert des Signals ist  $x_{\rm min} = -2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. 
  • Dagegen ist der maximale Wert  $x_{\rm max}$  ein freier Parameter, der Werte zwischen  $+2\hspace{0.05cm}\rm V$  und  $+4\hspace{0.05cm} \rm V$  annehmen kann.


Die Zufallsgröße  $x$  soll hier als der Momentanwert eines Zufallssignals aufgefasst werden.  Gibt man dieses Signal  $x(t)$  auf einen Amplitudenbegrenzer mit der Kennlinie  (siehe untere Skizze) $$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) & {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\\end{array}\right.$$

so entsteht das Signal  $y(t)$  bzw. die neue Zufallsgröße  $y$, die in den beiden letzten Teilfragen  (5)  und  (6)  betrachtet wird.

  • Für die Teilaufgaben  (1)  und  (2)  gelte  $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $.
  • Für alle weiteren Teilaufgaben ist  $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} $  zu setzen.




Hinweise:


Fragebogen

1

Es sei  $x_{\rm max} = +2\hspace{0.05cm} {\rm V}$.  Berechnen Sie den Parameter  $A = f_x(0)$.

$A \ = \ $

$\ \rm 1/V$

2

Weiterhin sei  $x_{\rm max} = +2\hspace{0.05cm} {\rm V}$.  Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist  $|x(t)|$  kleiner als  $x_{\rm max}/2$?

${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| < 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $

3

Nun gelte  $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  zwischen  $+1\hspace{0.05cm} {\rm V}$  und  $+3\hspace{0.05cm} {\rm V}$  liegt?

${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V} < x <3\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $

4

Es sei weiterhin  $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  genau gleich $+2\hspace{0.05cm} {\rm V}$  ist?

${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $

5

Es sei weiterhin  $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$.  Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

$y$  ist eine kontinuierliche Zufallsgröße.
$y$  ist eine diskrete Zufallsgröße.
$y$  ist eine gemischt kontinuierlich-diskrete Zufallsgröße.

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit  $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$, dass  $y$  genau gleich  $+2\hspace{0.05cm} {\rm V}$  ist?

${\rm Pr}(y =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $


Musterlösung

Höhe und Fläche der Dreieck-WDF

(1)  Die Fläche unter der WDF muss stets den Wert  $1$  ergeben. Daraus folgt:

$${A}/{ 2}\cdot {4\hspace{0.05cm}\rm V}=1\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} A \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$


(2)  Mit  $x_{\rm max} = +2\hspace{0.05cm} {\rm V}$  ergibt sich die WDF entsprechend der linken Grafik.

  • Die Schraffierung markiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
  • Man erhält durch einfache geometrische Überlegungen:
$${\rm Pr}(|x|<\rm 1\hspace{0.05cm} V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.75}.$$


(3)  Mit  $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$ erhält  man die rechts dargestellte WDF.

  • Den Maximalwert ist nun   $A = 1/(3\hspace{0.05cm} {\rm V})$.
  • Die schraffierte Fläche gibt wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit an, die man zum Beispiel über das flächengleiche Rechteck bestimmen kann:
$${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V}< x<3\hspace{0.05cm} {\rm V})=\rm \frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot 2\hspace{0.05cm} {\rm V}=\hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$


(4)  Da  $x$  eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt, ist diese Wahrscheinlichkeit definitionsgemäß gleich Null   ⇒   ${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \;\underline {= 0}$.


Gemischt kontinuierlich/diskrete WDF

(5)  Nur die letzte Aussage der vorgegebenen Antworten ist zutreffend:

  • Die WDF  $f_y(y)$  beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil (blau gezeichnet),
  • aber auch die (rote) Diracfunktion bei  $y = +2\hspace{0.05cm} {\rm V}$  mit dem Gewicht  ${\rm Pr}(x >2\hspace{0.05cm} {\rm V})$.


(6)  Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgröße  $y$  dargestellt.

  • Aus der rechten Abbildung zur Teilaufgabe  (3)  erkennt man den Zusammenhang:
$${\rm Pr}( y=2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = {\rm Pr}( x> 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot2{\hspace{0.05cm} {\rm V}} = {1}/{6}\hspace{0.15cm}\underline{=0.167}.$$