Aufgaben:Aufgabe 1.3: Gemessene Sprungantwort: Unterschied zwischen den Versionen

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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
*Für das Ausgangssignal gilt $y_1(t)=0$, solange das Eingangssignal $x_1(t) = 0$. Das bedeutet, dass hier ein kausales System vorliegt.  
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*Für das Ausgangssignal gilt&nbsp; $y_1(t)=0$, solange das Eingangssignal&nbsp; $x_1(t) = 0$&nbsp; ist. Das bedeutet, dass hier ein kausales System vorliegt.  
 
*Zum gleichen Ergebnis hätte man allein durch die Aussage „das Ausgangssignal wurde gemessen” kommen können. Nur kausale Systeme sind realisierbar und nur bei realisierbaren Systemen kann etwas gemessen werden.  
 
*Zum gleichen Ergebnis hätte man allein durch die Aussage „das Ausgangssignal wurde gemessen” kommen können. Nur kausale Systeme sind realisierbar und nur bei realisierbaren Systemen kann etwas gemessen werden.  
*Das Eingangssignal $x_1(t)$ kann für sehr große Zeiten $(t \gg 0)$ als Gleichsignal interpretiert werden. Wäre $H(f)$ ein Hochpass, dann müsste $y_1(t)$ für $t → ∞$ gegen Null gehen. Das heißt: &nbsp; $H(f)$ stellt einen Tiefpass dar.  
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*Das Eingangssignal&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; kann für sehr große Zeiten&nbsp; $(t \gg 0)$&nbsp; als Gleichsignal interpretiert werden. Wäre&nbsp; $H(f)$&nbsp; ein Hochpass, dann müsste&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; für&nbsp; $t → ∞$&nbsp; gegen Null gehen. Das heißt: &nbsp; $H(f)$&nbsp; stellt einen Tiefpass dar.  
  
  
'''(2)'''&nbsp; Der Gleichsignalübertragungsfaktor kann aus $x_1(t)$ und $y_1(t)$ abgelesen werden, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist:  
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'''(2)'''&nbsp; Der Gleichsignalübertragungsfaktor kann aus&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; abgelesen werden, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist:  
 
:$$H(f =0) = \frac{y_1(t \rightarrow \infty)}{x_1(t \rightarrow \infty)}=
 
:$$H(f =0) = \frac{y_1(t \rightarrow \infty)}{x_1(t \rightarrow \infty)}=
 
  \frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$
 
  \frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$
  
'''(3)'''&nbsp; Die Sprungantwort $σ(t)$ ist gleich dem Ausgangssignal $y(t)$, wenn am Eingang $x(t) = γ(t)$ anliegen würde.  
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*Wegen $x_1(t) = 4 \hspace{0.05cm} \rm {V} · γ(t)$ gilt somit im Bereich von $0$ bis $T = 2 \ \rm ms$:  
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'''(3)'''&nbsp; Die Sprungantwort&nbsp; $σ(t)$&nbsp; ist gleich dem Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$, wenn am Eingang&nbsp; $x(t) = γ(t)$&nbsp; anliegen würde.  
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*Wegen&nbsp; $x_1(t) = 4 \hspace{0.05cm} \rm {V} · γ(t)$&nbsp; gilt somit im Bereich von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $T = 2 \ \rm ms$:  
 
:$$\sigma(t) = \frac{y_1(t)}{ {\rm 4\, V} } = 0.5 \cdot\big( {t}/{T} - 0.5 ({t}/{T})^2\big).$$
 
:$$\sigma(t) = \frac{y_1(t)}{ {\rm 4\, V} } = 0.5 \cdot\big( {t}/{T} - 0.5 ({t}/{T})^2\big).$$
*Zum Zeitpunkt $t = T = 2 \ \rm ms$ erreicht die Sprungantwort ihren Endwert $0.25$.  
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*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = T = 2 \ \rm ms$&nbsp; erreicht die Sprungantwort ihren Endwert&nbsp; $0.25$.  
*Für $t = T/2 = 1 \ \rm ms$ ergibt sich der Zahlenwert $3/16  \; \underline{\: = \: 0.1875}$.  
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*Für&nbsp; $t = T/2 = 1 \ \rm ms$&nbsp; ergibt sich der Zahlenwert&nbsp; $3/16  \; \underline{\: = \: 0.1875}$.  
*Beachten Sie bitte, dass die Sprungantwort $σ(t)$ ebenso wie die Sprungfunktion $γ(t)$ keine Einheit besitzt.  
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*Beachten Sie bitte, dass die Sprungantwort&nbsp; $σ(t)$&nbsp; ebenso wie die Sprungfunktion&nbsp; $γ(t)$&nbsp; keine Einheit besitzt.  
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[[Datei:P_ID840__LZI_A_1_3d.png |Berechnete Impulsantwort | rechts|frame]]
 
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'''(4)'''&nbsp; Die Sprungantwort $σ(t)$ ist das Integral über die Impulsantwort $h(t)$. Damit ergibt sich $h(t)$ aus $σ(t)$ durch Differentiation nach der Zeit. Im Bereich $0 < t < T$ gilt deshalb:  
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'''(4)'''&nbsp; Die Sprungantwort&nbsp; $σ(t)$&nbsp; ist das Integral über die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$.  
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*Damit ergibt sich&nbsp; $h(t)$&nbsp; aus&nbsp; $σ(t)$&nbsp; durch Differentiation nach der Zeit.  
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*Im Bereich&nbsp; $0 < t < T$&nbsp; gilt deshalb:  
 
:$$h(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.1cm}\sigma(t)}{{\rm d}t}=  0.5 \cdot\left( \frac{1}{T} - 0.5 (\frac{2t}{T^2})\right)  = \frac{0.5}{T} \cdot (1- \frac{t}{T})$$
 
:$$h(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.1cm}\sigma(t)}{{\rm d}t}=  0.5 \cdot\left( \frac{1}{T} - 0.5 (\frac{2t}{T^2})\right)  = \frac{0.5}{T} \cdot (1- \frac{t}{T})$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 1\, ms}) = h(t = T/2) = \frac{0.25}{T} \hspace{0.15cm}\underline{= 125 \cdot{1}/{ {\rm s} } },$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 1\, ms}) = h(t = T/2) = \frac{0.25}{T} \hspace{0.15cm}\underline{= 125 \cdot{1}/{ {\rm s} } },$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 2\, ms}) = h(t = T) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 2\, ms}) = h(t = T) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
Für $t < 0$ und $t ≥ T$ ist stets $h(t)=0$. Der Wert $h(t = 0)$ bei exakt $t = 0$ muss aus dem Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert ermittelt werden:  
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*Für&nbsp; $t < 0$&nbsp; und&nbsp; $t ≥ T$&nbsp; gilt stets&nbsp; $h(t)=0$.  
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*Der Wert&nbsp; $h(t = 0)$&nbsp; bei exakt&nbsp; $t = 0$&nbsp; muss aus dem Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert ermittelt werden:  
 
:$$h(t=0) = {1}/{2} \cdot \left[ \lim_{\varepsilon
 
:$$h(t=0) = {1}/{2} \cdot \left[ \lim_{\varepsilon
 
\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}0} h(- \varepsilon)+ \lim_{\varepsilon
 
\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}0} h(- \varepsilon)+ \lim_{\varepsilon
 
  \hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm} 0} h(+ \varepsilon)\right] = \left[ 0 + {0.5}/{T}\right] = {0.25}/{T}= 250 \cdot{1}/{ {\rm s} }.$$
 
  \hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm} 0} h(+ \varepsilon)\right] = \left[ 0 + {0.5}/{T}\right] = {0.25}/{T}= 250 \cdot{1}/{ {\rm s} }.$$
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[[Datei:P_ID829__LZI_A_1_3e.png | Berechnete Rechteckantwort| rechts|frame]]
 
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'''(5)'''&nbsp; Der Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann auch als die Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprünge dargestellt werden:
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'''(5)'''&nbsp; Der Rechteckimpuls&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; kann auch als die Differenz zweier um&nbsp; $±T/2$&nbsp; verschobener Sprünge dargestellt werden:
 
:$$x_2(t) = A \cdot \big[\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big].$$
 
:$$x_2(t) = A \cdot \big[\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big].$$
Damit ist das Ausgangssignal gleich der Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprungantworten:
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*Damit ist das Ausgangssignal gleich der Differenz zweier um&nbsp; $±T/2$&nbsp; verschobener Sprungantworten:
 
:$$y_2(t) = A \cdot \big[\sigma(t + {T}/{2}) - \sigma(t - {T}/{2})\big].$$
 
:$$y_2(t) = A \cdot \big[\sigma(t + {T}/{2}) - \sigma(t - {T}/{2})\big].$$
Für $t = \: -T/2 = -1\ \rm ms$ gilt $y_2(t) \;\underline{ = 0}$.  
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*Für&nbsp; $t = \: -T/2 = -1\ \rm ms$&nbsp; gilt&nbsp; $y_2(t) \;\underline{ = 0}$.  
  
Für die weiteren betrachteten Zeitpunkte erhält man wie in der Grafik angegeben:  
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*Für die weiteren betrachteten Zeitpunkte erhält man wie in der Grafik angegeben:  
 
:$$y_2(t = 0) = A \cdot \big[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\big] =
 
:$$y_2(t = 0) = A \cdot \big[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\big] =
 
  {\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$
 
  {\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$

Version vom 18. Oktober 2019, 10:49 Uhr

Gemessene Sprungantwort

An den Eingang eines linearen zeitinvarianten (LZI–)Übertragungssystems

  • mit dem Frequenzgang  $H(f)$
  • und der Impulsantwort  $h(t)$


wird ein sprungförmiges Signal angelegt (blaue Kurve):

$$x_1(t) = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} \cdot \gamma(t).$$

Das gemessene Ausgangssignal  $y_1(t)$  hat dann den unten dargestellten Verlauf.

  • Mit  $T = 2 \,{\rm ms}$  kann dieses Signal im Bereich von  $0$  bis  $T$  wie folgt beschrieben werden:
$$y_1(t) = 2 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot\big[ {t}/{T} - 0.5 \cdot ({t}/{T})^2\big].$$
  • Ab  $t = T $  ist  $y_1(t)$  konstant gleich  $1 \,{\rm V}$.


In der letzten Teilaufgabe  (5)  wird nach dem Ausgangssignal  $y_2(t)$  gefragt, wenn am Eingang ein symmetrischer Rechteckimpuls  $x_2(t)$  der Dauer  $T = 2 \hspace{0.05cm} {\rm ms}$  anliegt (siehe roter Kurvenzug in der oberen Grafik).





Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Systembeschreibung im Zeitbereich
  • Für den Rechteckimpuls  $x_2(t)$  kann mit  $A = 2 \hspace{0.05cm} \text{V}$  auch geschrieben werden:
$$x_2(t) = A \cdot \big [\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big ].$$
  • Der Frequenzgang  $H(f)$  des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu  Aufgabe 3.8  im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen.
  • Zur Lösung der vorliegenden Aufgabe wird  $H(f)$  jedoch nicht explizit benötigt.



Fragebogen

1

Welche Aussagen sind anhand der Grafik über das LZI–System möglich?

$H(f)$  beschreibt ein akausales System.
$H(f)$  beschreibt ein kausales System.
$H(f)$  beschreibt einen Tiefpass.
$H(f)$  beschreibt einen Hochpass.

2

Wie groß ist der Gleichsignalübertragungsfaktor?

$H(f = 0) \ =\ $

3

Wie lautet die Sprungantwort  $σ(t)$? Welcher Wert tritt bei  $t = T/2$  auf?

$σ(t = \rm 1 \: ms) \ = \ $

4

Berechnen Sie die Impulsantwort  $h(t)$  des Systems. Welche Werte besitzt diese zu den Zeitpunkten  $t = T/2$  und  $t = T$?

$h(t = \rm 1 \: ms) \ =\ $

 $\text {1/s}$
$h(t = \rm 2 \: ms) \ =\ $

 $\text {1/s}$

5

Am Eingang liegt der Rechteckimpuls  $x_2(t)$  an. Welches Ausgangssignal  $y_2(t)$  ergibt sich zu den Zeiten  $t_1 = -1 \text { ms}$,  $t_2 = 0$ ,  $t_3 = +1 \text { ms}$  und  $t_4 = +2 \text { ms}$?

$y_2(t = t_1) \ =\ $

 $\text {V}$
$y_2(t = t_2) \ =\ $

 $\text {V}$
$y_2(t = t_3) \ =\ $

 $\text {V}$
$y_2(t = t_4) \ =\ $

 $\text {V}$


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Für das Ausgangssignal gilt  $y_1(t)=0$, solange das Eingangssignal  $x_1(t) = 0$  ist. Das bedeutet, dass hier ein kausales System vorliegt.
  • Zum gleichen Ergebnis hätte man allein durch die Aussage „das Ausgangssignal wurde gemessen” kommen können. Nur kausale Systeme sind realisierbar und nur bei realisierbaren Systemen kann etwas gemessen werden.
  • Das Eingangssignal  $x_1(t)$  kann für sehr große Zeiten  $(t \gg 0)$  als Gleichsignal interpretiert werden. Wäre  $H(f)$  ein Hochpass, dann müsste  $y_1(t)$  für  $t → ∞$  gegen Null gehen. Das heißt:   $H(f)$  stellt einen Tiefpass dar.


(2)  Der Gleichsignalübertragungsfaktor kann aus  $x_1(t)$  und  $y_1(t)$  abgelesen werden, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist:

$$H(f =0) = \frac{y_1(t \rightarrow \infty)}{x_1(t \rightarrow \infty)}= \frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$


(3)  Die Sprungantwort  $σ(t)$  ist gleich dem Ausgangssignal  $y(t)$, wenn am Eingang  $x(t) = γ(t)$  anliegen würde.

  • Wegen  $x_1(t) = 4 \hspace{0.05cm} \rm {V} · γ(t)$  gilt somit im Bereich von  $0$  bis  $T = 2 \ \rm ms$:
$$\sigma(t) = \frac{y_1(t)}{ {\rm 4\, V} } = 0.5 \cdot\big( {t}/{T} - 0.5 ({t}/{T})^2\big).$$
  • Zum Zeitpunkt  $t = T = 2 \ \rm ms$  erreicht die Sprungantwort ihren Endwert  $0.25$.
  • Für  $t = T/2 = 1 \ \rm ms$  ergibt sich der Zahlenwert  $3/16 \; \underline{\: = \: 0.1875}$.
  • Beachten Sie bitte, dass die Sprungantwort  $σ(t)$  ebenso wie die Sprungfunktion  $γ(t)$  keine Einheit besitzt.


Berechnete Impulsantwort

(4)  Die Sprungantwort  $σ(t)$  ist das Integral über die Impulsantwort  $h(t)$.

  • Damit ergibt sich  $h(t)$  aus  $σ(t)$  durch Differentiation nach der Zeit.
  • Im Bereich  $0 < t < T$  gilt deshalb:
$$h(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.1cm}\sigma(t)}{{\rm d}t}= 0.5 \cdot\left( \frac{1}{T} - 0.5 (\frac{2t}{T^2})\right) = \frac{0.5}{T} \cdot (1- \frac{t}{T})$$
$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 1\, ms}) = h(t = T/2) = \frac{0.25}{T} \hspace{0.15cm}\underline{= 125 \cdot{1}/{ {\rm s} } },$$
$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 2\, ms}) = h(t = T) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
  • Für  $t < 0$  und  $t ≥ T$  gilt stets  $h(t)=0$.
  • Der Wert  $h(t = 0)$  bei exakt  $t = 0$  muss aus dem Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert ermittelt werden:
$$h(t=0) = {1}/{2} \cdot \left[ \lim_{\varepsilon \hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}0} h(- \varepsilon)+ \lim_{\varepsilon \hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm} 0} h(+ \varepsilon)\right] = \left[ 0 + {0.5}/{T}\right] = {0.25}/{T}= 250 \cdot{1}/{ {\rm s} }.$$


Berechnete Rechteckantwort

(5)  Der Rechteckimpuls  $x_2(t)$  kann auch als die Differenz zweier um  $±T/2$  verschobener Sprünge dargestellt werden:

$$x_2(t) = A \cdot \big[\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big].$$
  • Damit ist das Ausgangssignal gleich der Differenz zweier um  $±T/2$  verschobener Sprungantworten:
$$y_2(t) = A \cdot \big[\sigma(t + {T}/{2}) - \sigma(t - {T}/{2})\big].$$
  • Für  $t = \: -T/2 = -1\ \rm ms$  gilt  $y_2(t) \;\underline{ = 0}$.
  • Für die weiteren betrachteten Zeitpunkte erhält man wie in der Grafik angegeben:
$$y_2(t = 0) = A \cdot \big[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\big] = {\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$
$$y_2(t = T/2) = y_2(t = 1\,{\rm ms}) =A \cdot \big[\sigma( T) - \sigma(0)\big] = {\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.5\, V}},$$
$$y_2(t = T) = A \cdot \big[\sigma(1.5 \cdot T) - \sigma(0.5 \cdot T)\big] = {\rm 2\, V}\cdot \big[0.25 - 0.1875\big] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.125\, V}}.$$