Aufgaben:Aufgabe 1.3: Rechnen mit komplexen Zahlen

• Zurück zum Buch

Betrachtete Zahlen in der komplexen Ebene

Nebenstehende Grafik zeigt einige Punkte in der komplexen Ebene, nämlich

$$z_1 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 45^{ \circ}}, $$

$$z_2 = 2 \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}135^{ \circ}},$$

$$z_3 = -{\rm j} .$$

Im Verlauf dieser Aufgabe werden noch folgende komplexe Größen betrachtet:

$$z_4 = z_2^2 + z_3^2,$$

$$z_5 = 1/z_2,$$

$$z_6 = \sqrt{z_3},$$

$$z_7 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2},$$

$$z_8 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2^{\star}}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Zum Rechnen mit komplexen Zahlen.
• Die Thematik wird auch im Lernvideo  Rechnen mit komplexen Zahlen   behandelt.

Fragebogen

1 Welche der folgenden Gleichungen sind zutreffend?

	[math]\displaystyle{ 2 \cdot z_1 + z_2 =0. }[/math]
	[math]\displaystyle{ z_1^{\ast} \cdot z_2 +2=0. }[/math]
	[math]\displaystyle{ (z_1/z_2) \cdot z_3 }[/math] ist rein reell.

2 Welchen Wert besitzt die Zufallsgröße  [math]\displaystyle{ z_4 = z_2^2 + z_3^2 = x_4 + {\rm j} \cdot y_4 }[/math]?

[math]\displaystyle{ x_4 \ =\ }[/math]

[math]\displaystyle{ y_4 \ =\ }[/math]

3 Berechnen Sie die komplexe Größe  [math]\displaystyle{ z_5 = 1/z_2 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5 }[/math].

[math]\displaystyle{ x_5 \ =\ }[/math]

[math]\displaystyle{ y_5 \ =\ }[/math]

4 [math]\displaystyle{ z_6 }[/math]  hat als Quadratwurzel von  [math]\displaystyle{ z_3 }[/math]  zwei Lösungen, beide mit dem Betrag  [math]\displaystyle{ |z_6| = 1 }[/math].
Geben Sie die beiden möglichen Phasenwinkel von  [math]\displaystyle{ z_6 }[/math]  an.

[math]\displaystyle{ \phi_6 \ ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} 0^{\circ} \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} +\hspace{-0.15cm}180^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) \hspace{0.2cm} =\ }[/math] $\ \text{Grad}$

[math]\displaystyle{ \phi_6 \ ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.15cm}180^{\circ} \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} 0^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) \hspace{0.2cm} =\ }[/math] $\ \text{Grad}$

5 Berechnen Sie  [math]\displaystyle{ z_7 = {\rm e}^{z_2} = x_7 + {\rm j} \cdot y_7 }[/math].

[math]\displaystyle{ x_7 \ =\ }[/math]

[math]\displaystyle{ y_7 \ =\ }[/math]

6 Geben Sie die komplexe Größe  [math]\displaystyle{ z_8 = {\rm e}^{z_2} + {\rm e}^{z_2^{\ast}} = x_8 + {\rm j}\cdot y_8 }[/math]  an.

[math]\displaystyle{ x_8 \ =\ }[/math]

[math]\displaystyle{ y_8 \ =\ }[/math]

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

• Entsprechend den Angaben gilt mit dem  Satz von Euler: 

[math]\displaystyle{ 2 \cdot z_1 + z_2 = 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) - 2 \cdot {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sin(45^{ \circ})- 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) + 2\cdot {\rm j} \cdot\sin(45^{ \circ}) = 0. }[/math]

• Der zweite Vorschlag ist ebenfalls richtig, da

[math]\displaystyle{ z_1^{\star} \cdot z_2 = 1 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 45^{ \circ}} \cdot 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 135^{ \circ}} = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 180^{ \circ}}= -2. }[/math]

• Dagegen ist der dritte Vorschlag falsch. Die Division von  [math]\displaystyle{ z_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ z_2 }[/math]  liefert: 

[math]\displaystyle{ \frac{z_1}{z_2} = \frac{{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 45^{ \circ}}}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}135^{ \circ}}} = 0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 180^{ \circ}}= -0.5. }[/math]

• Die Multiplikation mit  [math]\displaystyle{ z_3 = -{\rm j} }[/math]  führt zum Ergebnis  ${\rm j}/2$, also zu einer rein imaginären Größe.

(2)  Das Quadrat von  [math]\displaystyle{ z_2 }[/math]  hat den Betrag  [math]\displaystyle{ |z_2|^{2} }[/math]  und die Phase  [math]\displaystyle{ 2 \cdot \phi_2 }[/math]: 

[math]\displaystyle{ z_2^2 = 2^2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 270^{ \circ}}= 4 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 90^{ \circ}}=-4 \cdot {\rm j}. }[/math]

• Entsprechend gilt für das Quadrat von  [math]\displaystyle{ z_3 }[/math]: 

[math]\displaystyle{ z_3^2 = (-{\rm j})^2 = -1. }[/math]

• Somit ist  [math]\displaystyle{ x_4 =\underline{ –1} }[/math]  und  [math]\displaystyle{ y_4 = \underline{–4}. }[/math]

(3)  Durch Anwendung der Divisionsregel erhält man: 

[math]\displaystyle{ z_5 = {1}/{z_2} = \frac{1}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 135^{ \circ}}}= 0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 135^{ \circ}} = 0.5 \cdot \big[ \cos (- 135^{ \circ}) + {\rm j} \cdot \sin (- 135^{ \circ})\big] }[/math]

[math]\displaystyle{ \Rightarrow \ x_5 = - {\sqrt{2}}/{4}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.354},\hspace{0.5cm} y_5 = x_5 \hspace{0.15cm}\underline{= -0.354}. }[/math]

(4)  Die angegeben Beziehung für  [math]\displaystyle{ z_6 }[/math]  kann wie folgt umgeformt werden:  [math]\displaystyle{ z_6^2 = {z_3} = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 90^{ \circ}}. }[/math]

• Man erkennt, dass es zwei Möglichkeiten für  [math]\displaystyle{ z_6 }[/math]  gibt, die diese Gleichung erfüllen: 

[math]\displaystyle{ z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (1.\hspace{0.1cm} L\ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = \frac{z_2}{2} = 1 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}135^{ \circ}} \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6 \hspace{0.15cm}\underline{= 135^{ \circ}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (2.\hspace{0.1cm} L \ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = {z_1} = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}45^{ \circ}} \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6 \hspace{0.15cm}\underline{=-45^{ \circ}}. }[/math]

(5)  Die komplexe Größe  [math]\displaystyle{ z_2 }[/math]  lautet in Realteil/Imaginärteildarstellung: 

[math]\displaystyle{ z_2 = x_2 + {\rm j} \cdot y_2 = -\sqrt{2} + {\rm j} \cdot\sqrt{2}. }[/math]

• Damit ergibt sich für die komplexe Exponentialfunktion:

[math]\displaystyle{ z_7 = {\rm e}^{-\sqrt{2} + {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2}}= {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \big[ \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2})\big]. }[/math]

• Mit  [math]\displaystyle{ {\rm e}^{-\sqrt{2} } = 0.243, \hspace{0.4cm} \cos (\sqrt{2}) = 0.156, \hspace{0.4cm} \sin (\sqrt{2}) = 0.988 }[/math]  erhält man somit: 

[math]\displaystyle{ z_7 = 0.243 \cdot \left( 0.156 + {\rm j} \cdot 0.988\right) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.038 + {\rm j} \cdot 0.24}. }[/math]

(6)  Ausgehend vom Ergebnis der Teilaufgabe  (4)  erhält man für [math]\displaystyle{ z_8 }[/math]: 

[math]\displaystyle{ z_8 = {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \big[ \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2}) + \cos (\sqrt{2}) - {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2})\big] = 2 \cdot {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \cos (\sqrt{2}) = 2 \cdot x_7 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.076}, \hspace{0.4cm}y_8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}. }[/math]