Aufgaben:Aufgabe 4.11Z: C-Programm „akf2”: Unterschied zwischen den Versionen
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{Auf wie vielen Summanden ($S$) basiert die AKF-Berechnung für den Index $k=0$ bzw. für $k=10$? | {Auf wie vielen Summanden ($S$) basiert die AKF-Berechnung für den Index $k=0$ bzw. für $k=10$? | ||
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− | $S_{k=0} \ = \ $ { 10000 | + | $S_{k=0} \ = \ $ { 10000 } |
− | $S_{k=10} \ = \ $ { 9990 | + | $S_{k=10} \ = \ $ { 9990 } |
Version vom 18. August 2018, 16:26 Uhr
Sie sehen rechts das C-Programm „akf2” zur Berechnung der diskreten AKF-Werte $\varphi_x(k)$ mit Index $k = 0$, ... , $l$.
Im Gegensatz zum Programm „akf1” aus Aufgabe 4.11 wird hier der im Theorieteil beschriebene Algorithmus direkt angewendet. Dabei ist zu beachten:
- Der an das Programm übergebene Long-Wert sei hier $l=10$.
- Die berechneten AKF-Werte $\varphi_x(0)$, ... , $\varphi_x(10)$ werden mit dem Float-Feld $\rm AKF[ \ ]$ an das Hauptprogramm zurückgegeben. In den Zeilen 7 und 8 wird dieses Feld mit Nullen vorbelegt.
- Die Zufallsgröße $x( \ )$ ist als Float-Funktion in Zeile 4 definiert, ebenso ein Hilfsfeld ${\rm H}[10000 ]$, in das die $N = 10000$ Abtastwerte $x_\nu$ eingetragen werden (Zeile 9 und 10).
- Die Bezeichnungen der Laufvariablen in Zeile 6 sind an den angegebenen Algorithmus angepasst.
- Die eigentliche AKF-Berechnung erfolgt ab Zeile 11. Dieser Programmteil ist im Programmcode rot gekennzeichnet.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Autokorrelationsfunktion.
- Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seiten
Fragebogen
Musterlösung
(1) Zur Berechnung des AKF-Wertes $\varphi_x(0)$ wird über $\underline{N =10000}$ Summanden gemittelt, für $\varphi_x(10)$ nur über $\underline{N = 9990}$.
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:
- Die Rechenzeit steigt mit $N$ und $l + 1$ näherungsweise linear an, wie aus der rot hervorgehobenen AKF-Berechnung hervorgeht. Die Rechenzeit für die weiteren Programmteile kann demgegenüber vernachlässigt werden.
- Natürlich wird die Berechnung mit steigendem $N$ auch genauer. Dies geht hier – im Gegensatz zum Programm „akf1” von Aufgabe 4.11 – allerdings auf Kosten des erforderlichen Speicherbedarfs. Da jede Float-Variable genau vier Byte beansprucht, benötigt alleine das Hilfsfeld ${\rm H}[10000 ]$ einen Speicher von 40 kByte.
(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:
- Je stärker die statistischen Bindungen innerhalb des Zufallsprozesses sind, desto ungenauer ist bei gegebenem $N$ die AKF-Berechnung.
- Diesen Sachverhalt kann man sich beispielsweise anhand der Leistungsberechnung (AKF-Wert bei $k=0$) verdeutlichen: Sind alle N Abtastwerte statistisch unabhängig, so liefern alle Beiträge die maximale Information über den AKF–Wert $\varphi_x(k=0)$.
- Bestehen jedoch statistische Bindungen zwischen $x_\nu$ und $x_{\nu+1}$, nicht jedoch zwischen $x_\nu$ und $x_{\nu+2}$, so liefern nur die Hälfte aller Abtastwerte die volle Information über $\varphi_x(k=0)$ und die anderen nur eingeschränkte Informationen.
- Dieser auf Korrelationen beruhende Informationsverlust kann in diesem Beispiel nur durch eine Verdopplung von $N$ ausgeglichen werden.
- Die letzte Aussage trifft ebenfalls zu, wie auf der Seite „Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung” im Theorieteil ausführlich erläutert wird.