Aufgaben:Aufgabe 3.7: Bitfehlerquote (BER): Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
Zeile 13: Zeile 13:
  
  
Wichtigstes Beurteilungskriterium eines solchen Digitalsystems ist die <br>'''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''' (englisch: <i>Bit Error Probability</i>).
+
Wichtigstes Beurteilungskriterium eines solchen Digitalsystems ist die <br>'''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''' (englisch: &nbsp; <i>Bit Error Probability</i>).
 
*Mit dem Erwartungswert ${\rm E}\big[\text{ ...} \big]$ ist diese ist wie folgt definiert:
 
*Mit dem Erwartungswert ${\rm E}\big[\text{ ...} \big]$ ist diese ist wie folgt definiert:
 
:$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )\big]=\rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$
 
:$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )\big]=\rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$
Zeile 22: Zeile 22:
  
  
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine A-priori-Kenngr&ouml;&szlig;e, erlaubt also eine Vorhersage f&uuml;r das zu erwartende Resultat. Dagegen muss zur messtechnischen Ermittlung der &Uuml;bertragungsqualit&auml;t oder bei der Systemsimulation auf die vergleichbare A-posteriori-Kenngr&ouml;&szlig;e '''Bitfehlerquote''' (englisch: <i>Bit Error Rate</i>) &uuml;bergegangen werden:
+
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine A-priori-Kenngr&ouml;&szlig;e, erlaubt also eine Vorhersage f&uuml;r das zu erwartende Resultat.  
 +
 
 +
Dagegen muss zur messtechnischen Ermittlung der &Uuml;bertragungsqualit&auml;t oder bei der Systemsimulation auf die vergleichbare A-posteriori-Kenngr&ouml;&szlig;e '''Bitfehlerquote''' (englisch: &nbsp; <i>Bit Error Rate</i>) &uuml;bergegangen werden:
 
:$$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$
 
:$$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$
  
Diese ist eine [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote|relative H&auml;ufigkeit]], wobei $n_{\rm B}$ die Anzahl der aufgetretenen Bitfehler angibt, wenn insgesamt $N$ Symbole (Bit) &uuml;bertragen wurden.
+
$h_{\rm B}$ ist eine [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote|relative H&auml;ufigkeit]]. $n_{\rm B}$ gibt die Anzahl der aufgetretenen Bitfehler an, wenn insgesamt $N$ Symbole (Bit) &uuml;bertragen wurden.
  
 
*Im Grenzfall $N \to \infty$ stimmt die relative H&auml;ufigkeit $h_{\rm B}$ mit der Wahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ &uuml;berein.  
 
*Im Grenzfall $N \to \infty$ stimmt die relative H&auml;ufigkeit $h_{\rm B}$ mit der Wahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ &uuml;berein.  
*Hier soll nun die Frage gekl&auml;rt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem <i>N</i> gerechnet werden muss.
+
*Hier soll nun die Frage gekl&auml;rt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem $N$ gerechnet werden muss.
  
  
Zeile 38: Zeile 40:
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
 
   
 
   
*L&ouml;sen Sie die Aufgaben so weit wie m&ouml;glich allgemein. Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte  $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$.  
+
*L&ouml;sen Sie die Aufgaben so weit wie m&ouml;glich allgemein.  
 +
*Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte  $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$.  
 
*Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:
 
*Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:
 
:$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$  
 
:$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$  
 +
 +
  
  
Zeile 51: Zeile 56:
 
- Für $n_{\rm B}$ sind alle Werte $(0$, ... , $N)$ gleichwahrscheinlich.
 
- Für $n_{\rm B}$ sind alle Werte $(0$, ... , $N)$ gleichwahrscheinlich.
 
+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $n_{\rm B}$ ist binomialverteilt.
 
+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $n_{\rm B}$ ist binomialverteilt.
+ Mit $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$ ergibt sich ${\rm E}[n_{\rm B}] = 100$.
+
+ Mit $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$ ergibt sich ${\rm E}\big[n_{\rm B}\big] = 100$.
  
  
 
{Wie gro&szlig; ist die Streuung der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $n_{\rm B}$ für $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?
 
{Wie gro&szlig; ist die Streuung der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $n_{\rm B}$ für $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\sigma_{n{\rm B}} \ = $  { 10 3% }  
+
$\sigma_{n{\rm B}} \ = \ $  { 10 3% }  
  
  
 
{Welche Werte kann die Bitfehlerquote $h_{\rm B}$ annehmen? Zeigen Sie, dass der lineare Mittelwert $m_{h{\rm B}}$ dieser Zufallsgröße gleich der tats&auml;chlichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ist. Wie gro&szlig; ist deren Streuung?
 
{Welche Werte kann die Bitfehlerquote $h_{\rm B}$ annehmen? Zeigen Sie, dass der lineare Mittelwert $m_{h{\rm B}}$ dieser Zufallsgröße gleich der tats&auml;chlichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ist. Wie gro&szlig; ist deren Streuung?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\sigma_{h{\rm B}} \ = $ { 0.0001 3% }  
+
$\sigma_{h{\rm B}} \ = \ $ { 0.0001 3% }  
  
  
 
{Unter gewissen Voraussetzungen kann eine binomialverteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e durch eine Gau&szlig;verteilung mit gleichem Mittelwert  $(m_{h{\rm B}})$ und gleicher Streuung $(\sigma_{h{\rm B}})$ angen&auml;hert werden. Welche Aussage ist zutreffend?
 
{Unter gewissen Voraussetzungen kann eine binomialverteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e durch eine Gau&szlig;verteilung mit gleichem Mittelwert  $(m_{h{\rm B}})$ und gleicher Streuung $(\sigma_{h{\rm B}})$ angen&auml;hert werden. Welche Aussage ist zutreffend?
|type="[]"}
+
|type="()"}
 
+ ${\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=1- 2\cdot \rm Q({\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}).$
 
+ ${\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=1- 2\cdot \rm Q({\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}).$
 
- ${\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=1- \rm Q({\varepsilon}/{2\cdot \sigma_{h{\rm B}}}).$
 
- ${\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=1- \rm Q({\varepsilon}/{2\cdot \sigma_{h{\rm B}}}).$
Zeile 71: Zeile 76:
  
  
{Zur Abk&uuml;rzung verwenden wir das Konfidenzniveau $p_\varepsilon = {\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)$. Welches  $p_\varepsilon$ ergibt sich mit $\varepsilon = 10^{-4}$, $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?
+
{Zur Abk&uuml;rzung verwenden wir das Konfidenzniveau $p_\varepsilon = {\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)$. <br>Welches  $p_\varepsilon$ ergibt sich mit $\varepsilon = 10^{-4}$, $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$p_\varepsilon \ = $ { 0.684 3% }
+
$p_\varepsilon \ = \ $ { 0.684 3% }
  
  
 
{Das Argument der Q-Funktion sei $\alpha$. Wie gro&szlig; muss  $\alpha$ mindestens gew&auml;hlt werden, damit das Konfidenzniveau  $p_\varepsilon =  95\%$ betr&auml;gt?
 
{Das Argument der Q-Funktion sei $\alpha$. Wie gro&szlig; muss  $\alpha$ mindestens gew&auml;hlt werden, damit das Konfidenzniveau  $p_\varepsilon =  95\%$ betr&auml;gt?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$p_\varepsilon =  95\%$: &nbsp; &nbsp; $\alpha_{\rm min} \ = $ { 1.96 3% }
+
$\alpha_{\rm min} \ = \ $ { 1.96 3% }
  
  
 
{Es gelte weiterhin $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $p_\varepsilon =  95\%$ &Uuml;ber wie viele Symbole muss man mindestens gemittelt werden, damit die ermittelte Bitfehlerquote im Bereich zwischen $0.9 \cdot 10^{-3}$ und $1.1 \cdot 10^{-3}$ liegt $(\varepsilon = 10^{-4}, \text{10% vom Sollwert)}$?
 
{Es gelte weiterhin $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $p_\varepsilon =  95\%$ &Uuml;ber wie viele Symbole muss man mindestens gemittelt werden, damit die ermittelte Bitfehlerquote im Bereich zwischen $0.9 \cdot 10^{-3}$ und $1.1 \cdot 10^{-3}$ liegt $(\varepsilon = 10^{-4}, \text{10% vom Sollwert)}$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$N_\text{min} \ = ${ 400000 3% }
+
$N_\text{min} \ = \ ${ 400000 3% }
  
  

Version vom 10. August 2018, 09:58 Uhr

Zur Verdeutlichung der Bitfehlerquote

Wir betrachten ein binäres Übertragungssystem mit

  • der Quellensymbolfolge $\langle q_\nu \rangle $ und
  • der Sinkensymbolfolge $\langle v_\nu \rangle $.


Stimmen Sinkensymbol $v_\nu$ und Quellensymbol $q_\nu$ nicht überein, so liegt ein Bitfehler vor   ⇒   $e_\nu = 1$. Ansonsten gilt $e_\nu = 0$.


Wichtigstes Beurteilungskriterium eines solchen Digitalsystems ist die
Bitfehlerwahrscheinlichkeit (englisch:   Bit Error Probability).

  • Mit dem Erwartungswert ${\rm E}\big[\text{ ...} \big]$ ist diese ist wie folgt definiert:
$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )\big]=\rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$
  • Der rechte Teil dieser Gleichung beschreibt eine Zeitmittelung und muss zum Beispiel bei zeitvarianten Kanälen stets angewandt werden.
  • Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit für alle Symbole gleich (was hier vorausgesetzt wird), so kann man die obige Gleichung vereinfachen:
$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\rm E\big[\it e_{\nu} \rm \big].$$


Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine A-priori-Kenngröße, erlaubt also eine Vorhersage für das zu erwartende Resultat.

Dagegen muss zur messtechnischen Ermittlung der Übertragungsqualität oder bei der Systemsimulation auf die vergleichbare A-posteriori-Kenngröße Bitfehlerquote (englisch:   Bit Error Rate) übergegangen werden:

$$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$

$h_{\rm B}$ ist eine relative Häufigkeit. $n_{\rm B}$ gibt die Anzahl der aufgetretenen Bitfehler an, wenn insgesamt $N$ Symbole (Bit) übertragen wurden.

  • Im Grenzfall $N \to \infty$ stimmt die relative Häufigkeit $h_{\rm B}$ mit der Wahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ überein.
  • Hier soll nun die Frage geklärt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem $N$ gerechnet werden muss.




Hinweise:

  • Lösen Sie die Aufgaben so weit wie möglich allgemein.
  • Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$.
  • Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:
$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$



Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Für $n_{\rm B}$ sind alle Werte $(0$, ... , $N)$ gleichwahrscheinlich.
Die Zufallsgröße $n_{\rm B}$ ist binomialverteilt.
Mit $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$ ergibt sich ${\rm E}\big[n_{\rm B}\big] = 100$.

2

Wie groß ist die Streuung der Zufallsgröße $n_{\rm B}$ für $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?

$\sigma_{n{\rm B}} \ = \ $

3

Welche Werte kann die Bitfehlerquote $h_{\rm B}$ annehmen? Zeigen Sie, dass der lineare Mittelwert $m_{h{\rm B}}$ dieser Zufallsgröße gleich der tatsächlichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ist. Wie groß ist deren Streuung?

$\sigma_{h{\rm B}} \ = \ $

4

Unter gewissen Voraussetzungen kann eine binomialverteilte Zufallsgröße durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert $(m_{h{\rm B}})$ und gleicher Streuung $(\sigma_{h{\rm B}})$ angenähert werden. Welche Aussage ist zutreffend?

${\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=1- 2\cdot \rm Q({\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}).$
${\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=1- \rm Q({\varepsilon}/{2\cdot \sigma_{h{\rm B}}}).$

5

Zur Abkürzung verwenden wir das Konfidenzniveau $p_\varepsilon = {\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)$.
Welches $p_\varepsilon$ ergibt sich mit $\varepsilon = 10^{-4}$, $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?

$p_\varepsilon \ = \ $

6

Das Argument der Q-Funktion sei $\alpha$. Wie groß muss $\alpha$ mindestens gewählt werden, damit das Konfidenzniveau $p_\varepsilon = 95\%$ beträgt?

$\alpha_{\rm min} \ = \ $

7

Es gelte weiterhin $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $p_\varepsilon = 95\%$ Über wie viele Symbole muss man mindestens gemittelt werden, damit die ermittelte Bitfehlerquote im Bereich zwischen $0.9 \cdot 10^{-3}$ und $1.1 \cdot 10^{-3}$ liegt $(\varepsilon = 10^{-4}, \text{10% vom Sollwert)}$?

$N_\text{min} \ = \ $


Musterlösung

(1)  Die beiden letzten Aussagen stimmen:

  • Bezüglich der Zufallsgröße $n_{\rm B}$ liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor.
  • Es wird die Summe über $N$ binäre Zufallsgrößen gebildet.
  • Die möglichen Werte von $n_{\rm B}$ liegen somit zwischen $0$ und $N$.
  • Der lineare Mittelwert ergibt   $m_{n{\rm B}}=p_{\rm B}\cdot N=\rm 10^{-3}\cdot 10^{5}=\rm 100.$


(2)  Für die Streuung der Binomialverteilung gilt mit guter Näherung: $$\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 10}.$$

(3)  Mögliche Werte von $h_{\rm B}$ sind alle ganzzahligen Vielfachen von $1/N$. Diese liegen zwischen $0$ und $1$ liegen. Für den Mittelwert erhält man: $$m_{h{\rm B}}=m_{n{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$

Die Streuung ergibt sich zu $$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 10^{-4}}.$$

(4)  Richtig ist der erste Vorschlag. Es gilt: $${\rm Pr}(h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}),\hspace{0.5cm}\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon {\rm )}=\rm Q(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}{\rm )}\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\rm Pr(\it |h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon \rm )=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q({\it \varepsilon}/{\it \sigma_{h{\rm B}}}).$$

(5)  Man erhält mit den Zahlenwerten$\varepsilon = \sigma_{h{\rm B}} = 10^{-4}$: $$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}} {\rm )}=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$

Das heißt: Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation über $10^5$ Symbole, so erhält man mit einem Konfidenzniveau von 68.4% einen Wert zwischen $0.9 \cdot 10^{-3}$ und $1.1 \cdot 10^{-3}$, wenn $p_{\rm B} = 10^{-3}$ ist.

(6)  Aus der Beziehung $p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot {\rm Q}(\alpha) = 0.95$ folgt direkt: $$\alpha_{\rm min}=\rm Q^{\rm -1}\Big(\frac{\rm 1-\it p_{\varepsilon}}{\rm 2}\Big)=\rm Q^{\rm -1}(\rm 0.025)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.96}\hspace{0.15cm}{\approx\rm 2}.$$

(7)  Es muss $\alpha = \varepsilon/\sigma_{h{\rm B}}$ gelten. Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) folgt dann: $$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge {\rm 2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400000}.$$