Aufgaben:Aufgabe 3.4: Charakteristische Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben seien hier die drei Zufallsgrößen $x$, $y$ und $z$ durch ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen:
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*Über die Zufallsgröße $x$ ist nichts weiter bekannt:   Diese kann sowohl eine diskrete als auch eine kontinuierliche Zufallsgröße sein und eine beliebige WDF $f_x(x)$ besitzen. Der Mittelwert ist allgemein gleich $m_x$.
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*Über die Zufallsgröße  $x$  ist nichts weiter bekannt:   Diese kann sowohl eine diskrete als auch eine kontinuierliche Zufallsgröße sein und eine beliebige WDF  $f_x(x)$  besitzen.  Der Mittelwert ist allgemein gleich  $m_x$.
*Die Zufallsgröße $y$  kann nur Werte im Bereich zwischen $1$ bis $3$  mit  gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Der Mittelwert ist :$$m_y = 2.$$
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*Die kontinuierliche Zufallsgröße  $y$  kann nur Werte im Bereich zwischen  $1$  bis  $3$  mit  gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.  Der Mittelwert ist  $$m_y = 2.$$
*Die Zufallsgröße $z$ besitzt die folgende charakteristische Funktion:
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*Die Zufallsgröße  $z$  besitzt die folgende charakteristische Funktion:
 
:$$C_z ({\it \Omega}  ) = {\mathop{\rm si}\nolimits}( {3{\it \Omega}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2{\it \Omega} } ).$$
 
:$$C_z ({\it \Omega}  ) = {\mathop{\rm si}\nolimits}( {3{\it \Omega}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2{\it \Omega} } ).$$
:Daneben wird noch der qualitative Verlauf der WDF $f_z(z)$ entsprechend der blauen Skizze als bekannt vorausgesetzt. Zu bestimmen sind die WDF-Parameter $a$, $b$ und $c$ dieser WDF.
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*Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Charakteristische_Funktion|Charakteristische Funktion]] Bezug genommen.
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*Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Charakteristische_Funktion|Charakteristische Funktion]]  Bezug genommen.
 
   
 
   
*Die charakteristische Funktion einer zwischen $\pm a$ gleichverteilten Zufallsgröße $z$ lautet:
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*Die charakteristische Funktion einer zwischen  $\pm a$  gleichverteilten Zufallsgröße  $z$  lautet:
 
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:$$C_z ( {\it \Omega}  ) = {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {a  {\it \Omega} } )\quad {\rm{mit}}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits}( x ) = \sin ( x )/x.$$
  
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+ Der Realteil von&nbsp; $C_x ( {\it \Omega} )$&nbsp; ist eine gerade Funktion in&nbsp; ${\it \Omega}$.
+ Der Imaginärteil von $C_x ( {\it \Omega} )$ ist eine ungerade Funktion in  ${\it \Omega}$.
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+ Der Imaginärteil von&nbsp; $C_x ( {\it \Omega} )$&nbsp; ist eine ungerade Funktion in&nbsp; ${\it \Omega}$.
+ Der Wert an der Stelle ${\it \Omega} = 0$ ist stets $C_x ( {\it \Omega} ) = 1$.
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+ Der Wert an der Stelle&nbsp; ${\it \Omega} = 0$&nbsp; ist stets&nbsp; $C_x ( {\it \Omega} ) = 1$.
- Bei mittelwertfreier Zufallsgröße $(m_x = 0)$ ist $C_x ( {\it \Omega} )$ stets reell.
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- Bei mittelwertfreier Zufallsgröße&nbsp; $(m_x = 0)$&nbsp; ist&nbsp; $C_x ( {\it \Omega} )$&nbsp; stets reell.
  
  
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{Bestimmen Sie die Kenngrößen $a$, $b$ und $c$ der WDF $f_z(z)$.
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$a \ =  \ $ { 1 3% }
 
$a \ =  \ $ { 1 3% }

Version vom 15. November 2019, 17:25 Uhr

Rechteck–WDF und Trapez–WDF

Gegeben seien hier die drei Zufallsgrößen  $x$,  $y$  und  $z$ , meist durch ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen:

  • Über die Zufallsgröße  $x$  ist nichts weiter bekannt:   Diese kann sowohl eine diskrete als auch eine kontinuierliche Zufallsgröße sein und eine beliebige WDF  $f_x(x)$  besitzen.  Der Mittelwert ist allgemein gleich  $m_x$.
  • Die kontinuierliche Zufallsgröße  $y$  kann nur Werte im Bereich zwischen  $1$  bis  $3$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.  Der Mittelwert ist  $$m_y = 2.$$
  • Die Zufallsgröße  $z$  besitzt die folgende charakteristische Funktion:
$$C_z ({\it \Omega} ) = {\mathop{\rm si}\nolimits}( {3{\it \Omega}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2{\it \Omega} } ).$$
Daneben wird noch der qualitative Verlauf der WDF  $f_z(z)$  entsprechend der blauen Skizze als bekannt vorausgesetzt.  Zu bestimmen sind die WDF-Parameter  $a$,  $b$  und  $c$  dieser WDF.





Hinweise:

  • Die charakteristische Funktion einer zwischen  $\pm a$  gleichverteilten Zufallsgröße  $z$  lautet:
$$C_z ( {\it \Omega} ) = {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {a {\it \Omega} } )\quad {\rm{mit}}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits}( x ) = \sin ( x )/x.$$


Fragebogen

1

Welche Aussagen sind bezüglich der charakteristischen Funktion  $C_x ( {\it \Omega} )$  stets – also bei beliebiger WDF – gültig?

$C_x ( {\it \Omega} )$  ist die Fouriertransformierte von  $f_x(x)$.
Der Realteil von  $C_x ( {\it \Omega} )$  ist eine gerade Funktion in  ${\it \Omega}$.
Der Imaginärteil von  $C_x ( {\it \Omega} )$  ist eine ungerade Funktion in  ${\it \Omega}$.
Der Wert an der Stelle  ${\it \Omega} = 0$  ist stets  $C_x ( {\it \Omega} ) = 1$.
Bei mittelwertfreier Zufallsgröße  $(m_x = 0)$  ist  $C_x ( {\it \Omega} )$  stets reell.

2

Berechnen Sie die charakteristische Funktion  $C_y( {\it \Omega} )$.  Wie groß sind Real- und Imaginärteil bei  ${\it \Omega} = \pi/2$?

${\rm Re}\big[C_y(\Omega\ =\ \pi/2)\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[C_y(\Omega\ =\ \pi/2)\big] \ = \ $

3

Bestimmen Sie die Kenngrößen  $a$,  $b$  und  $c$  der WDF  $f_z(z)$.

$a \ = \ $

$b \ = \ $

$c \ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4:

  • $C_x ( {\it \Omega} )$ ist nicht die Fouriertransformierte zu $f_x(x)$, sondern die Fourierrücktransformierte:
$$C_x( {\it \Omega } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x )\cdot {\rm{e}}^{\hspace{0.03cm}{\rm{j}}\hspace{0.03cm}{\it \Omega x}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x .$$
  • Auch bei dieser ist der Realteil stets gerade und der Imaginärteil ungerade. Für ${\it \Omega} = 0$ gilt:
$$C_x( {\it \Omega} = 0 ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x ) \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = 1.$$
  • Die letzte Alternative trifft nicht immer zu:   Eine zweipunktverteilte Zufallsgröße $x \in \{-1, +3\}$ mit den Wahrscheinlichkeiten $0.75$ und $0.25$ ist zwar mittelwertfrei $(m_x = 0)$, besitzt aber trotzdem eine komplexe charakteristische Funktion.


(2)  Entsprechend der allgemeinen Definition gilt:

$$C_y( {\it \Omega } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_y }( y )\cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega y}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y = 0.5\int_1^3 {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\Omega y} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y.} $$

Nach Lösen dieses Integrals ergibt sich:

$$C_y ( {\it \Omega } ) = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}3{\it \Omega } } - {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } } }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } } - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}{\it \Omega }} }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$

Mit dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:

$$C_y ( {\it \Omega } ) = \frac{{\sin ( {\it \Omega } )}}{{\it \Omega } } \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$

Für ${\it \Omega} = \pi/2$ erhält man somit einen rein reellen Zahlenwert:

$${\rm Re}[C_y ({\it \Omega} = {\rm{\pi }}/2 )] = \frac{{\sin( {{\rm{\pi }}/2})}}{{{\rm{\pi }}/2}} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j\pi }}} = - \frac{2}{{\rm{\pi }}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.637}, \hspace{0.5cm} {\rm Im}[C_y ({\it \Omega} = {\rm{\pi }}/2 )] \hspace{0.15cm}\underline{= 0} .$$


(3)  Aus der angegebenen Korrespondenz kann abgelesen werden, dass ${\rm si}(3 {\it \Omega} )$ auf eine zwischen $\pm 3$ gleichverteilte Zufallsgröße zurückgeht und ${\rm si}(2 {\it \Omega} )$ die Transformierte einer Gleichverteilung zwischen $\pm 2$ angibt.

In der charakteristischen Funktion sind diese beiden Anteile multiplikativ verknüpft. Damit ist die resultierende WDF $f_z(z)$ die Faltung dieser beiden Rechteckfunktionen:

Konstruktion der Trapez-WDF
Die drei WDF-Parameter lauten somit:
$$\hspace{0.15cm}\underline{a = 1},\quad \hspace{0.15cm}\underline{b = 5}, \quad c = 1/6 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.167}.$$