Aufgaben:Aufgabe 2.6Z: Betrag und Phase: Unterschied zwischen den Versionen

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:* den reellen Fourierkoeffizienten $A_n$ und $B_n$,
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:* den reellen Fourierkoeffizienten  $A_n$  und  $B_n$,
  
:* den komplexen Koeffizienten $D_n$, sowie
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:* den komplexen Koeffizienten  $D_n$, sowie
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:* den Betrags– bzw. Phasenkoeffizienten  $(C_n$,  $\varphi_n)$.
  
:* den Betrags– bzw. Phasenkoeffizienten ($C_n$, $\varphi_n$)
 
  
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Dazu betrachten wir das periodische Signal
 
Dazu betrachten wir das periodische Signal
 
:$$x(t)=1{\rm V+2V}\cdot\cos(\omega_0 t)  +{\rm 2V}\cdot\cos(2\omega_0 t)- \ {\rm 1V}\cdot\sin(2\omega_0 t)-{\rm 1V}\cdot\sin(3\omega_0 t).$$
 
:$$x(t)=1{\rm V+2V}\cdot\cos(\omega_0 t)  +{\rm 2V}\cdot\cos(2\omega_0 t)- \ {\rm 1V}\cdot\sin(2\omega_0 t)-{\rm 1V}\cdot\sin(3\omega_0 t).$$
  
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]].
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*Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos  
 
*Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos  
 
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{Welche Werte besitzen die Koeffizienten $A_0$, $D_0$, $C_0$ und $\varphi_0$?
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$A_0\ = \ $  { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
 
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{Welche der Cosinus– und Sinuskoeffizienten sind ungleich Null?
 
{Welche der Cosinus– und Sinuskoeffizienten sind ungleich Null?
 
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{Welche Werte besitzen die Koeffizienten $\varphi_1$, $C_1$ und $D_1$?
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$\varphi_1\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{Grad}$
 
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{Welche Werte besitzen die Koeffizienten $\varphi_2$, $C_2$ und $D_2$?
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{Welche Werte besitzen die Koeffizienten $\varphi_3$ und $C_3$?
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{Welche Werte besitzen die Koeffizienten&nbsp; $\varphi_3$&nbsp; und&nbsp; $C_3$?
 
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$\varphi_3\ = \ $  { -91--89 } &nbsp;$\text{Grad}$
 
$\varphi_3\ = \ $  { -91--89 } &nbsp;$\text{Grad}$
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{Wie groß ist der komplexe Fourierkoeffizient $D_\text{–3}$?
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{Wie groß ist der komplexe Fourierkoeffizient&nbsp; $D_\text{–3}$?
 
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$\text{Re}[D_{-3}]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
 
$\text{Re}[D_{-3}]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$

Version vom 3. September 2019, 16:47 Uhr

Zu analysierendes Signal  $x(t)$

Es soll der Zusammenhang aufgezeigt werden zwischen

  • den reellen Fourierkoeffizienten  $A_n$  und  $B_n$,
  • den komplexen Koeffizienten  $D_n$, sowie
  • den Betrags– bzw. Phasenkoeffizienten  $(C_n$,  $\varphi_n)$.


Dazu betrachten wir das periodische Signal

$$x(t)=1{\rm V+2V}\cdot\cos(\omega_0 t) +{\rm 2V}\cdot\cos(2\omega_0 t)- \ {\rm 1V}\cdot\sin(2\omega_0 t)-{\rm 1V}\cdot\sin(3\omega_0 t).$$

Dieses Signal ist in der Grafik im Bereich von  $–2T_0$  bis  $+2T_0$  dargestellt.




Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Fourierreihe.
  • Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos
Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten,
Eigenschaften der Fourierreihendarstellung.


Fragebogen

1

Welche Werte besitzen die Koeffizienten  $A_0$,  $D_0$,  $C_0$ und  $\varphi_0$?

$A_0\ = \ $

 $\text{V}$
$D_0\ = \ $

 $\text{V}$
$C_0\ = \ $

 $\text{V}$
$\varphi_0\ = \ $

 $\text{Grad}$

2

Welche der Cosinus– und Sinuskoeffizienten sind ungleich Null?

$\ A_1$,
$\ B_1$,
$\ A_2$,
$\ B_2$,
$\ A_3$,
$\ B_3$.

3

Welche Werte besitzen die Koeffizienten  $\varphi_1$,  $C_1$  und  $D_1$?

$\varphi_1\ = \ $

 $\text{Grad}$
$C_1\ = \ $

 $\text{V}$
$\text{Re}[D_1]\ = \ $

 $\text{V}$
$\text{Im}[D_1] \ = \ $

 $\text{V}$

4

Welche Werte besitzen die Koeffizienten  $\varphi_2$,  $C_2$  und  $D_2$?

$\varphi_2\ = \ $

 $\text{Grad}$
$C_2\ = \ $

 $\text{V}$
$\text{Re}[D_2]\ = \ $

 $\text{V}$
$\text{Im}[D_2]\ = \ $

 $\text{V}$

5

Welche Werte besitzen die Koeffizienten  $\varphi_3$  und  $C_3$?

$\varphi_3\ = \ $

 $\text{Grad}$
$C_3\ = \ $

 $\text{V}$

6

Wie groß ist der komplexe Fourierkoeffizient  $D_\text{–3}$?

$\text{Re}[D_{-3}]\ = \ $

 $\text{V}$
$\text{Im}[D_{-3}]\ = \ $

 $\text{V}$


Musterlösung

(1)  Der Gleichsignalkoeffizient beträgt $A_0 = 1\,{\rm V}$. Gleichzeitig gilt $C_0 = D_0 = A_0 \hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm} C_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 1\,{\rm V}}, \varphi_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0}$.


(2)  Richtig sind die Antworten 1, 3, 4 und 6:

  • Es gibt keine Anteile mit $\sin(\omega_0t)$ und $\cos(3\omega_0t)$.
  • Daraus folgt direkt $B_1 = A_3 = 0$.
  • Alle anderen hier aufgeführten Koeffizienten sind ungleich Null.


(3)  Allgemein gilt:

$$\varphi_n=\arctan\left({B_n}/{A_n}\right),\hspace{0.5cm}C_n=\sqrt{A_n^2+B_n^2},\hspace{0.5cm}D_n={1}/{2} \cdot (A_n-{\rm j}\cdot B_n).$$

Wegen $B_1 = 0$ erhält man $\varphi_1 \hspace{0.1cm}\underline{= 0}, C_1 = A_1 \hspace{0.1cm}\underline{= 2 \,{\rm V}}$ und $D_1 = A_1/2 \hspace{0.1cm}\underline{= 1 \,{\rm V}}$.


(4)  Mit $A_2 = 2\,{\rm V}$ und $B_2 = -1\,{\rm V}$ erhält man:

$$\varphi_2=\arctan(-0.5)\hspace{0.15cm}\underline{=-26.56^{\circ}},\hspace{0.5cm}C_2=\sqrt{A_2^2+B_2^2}\hspace{0.15cm}\underline{=2.236 \; \rm V},$$
$$D_2={1}/{2} \cdot (A_2-{\rm j}\cdot B_2)=1\;\rm V+{\rm j}\cdot 0.5\, {\rm V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re}[D_2]\hspace{0.15cm}\underline{ = 1 \,{\rm V}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}[D_2]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5\, {\rm V}} .$$


(5)  Es ist $\varphi_3 \hspace{0.15cm}\underline{=\hspace{0.1cm}-90^{\circ}}$ und $C_3 = |B_3| \hspace{0.15cm}\underline{ = 1 \,{\rm V}}$.


(6)  Es gilt $D_3 = -{\rm j} · B_3/2 ={\rm j}· 0.5 \,{\rm V}$ und $D_\text{–3} = D_3^{\star} ={\rm j}· B_3/2 = {- {\rm j} · 0.5 \,{\rm V}}$.

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \text{Re}[D_{-3}]\hspace{0.15cm}\underline{=0}, \hspace{0.5cm}\text{Im}[D_{-3}]\hspace{0.15cm}\underline{=\hspace{0.1cm}- 0.5 \,{\rm V}}.$$