Aufgaben:Aufgabe 4.14: Phasenverlauf der MSK: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine Realisierungsmöglichkeit für ''Minimum Shift Keying'' (MSK) bietet die Offset–QPSK, wie aus dem [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Blockschaltbild]] im Theorieteil hervorgeht.  
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Eine Realisierungsmöglichkeit für ''Minimum Shift Keying'' (MSK) bietet die Offset–QPSK, wie aus dem &nbsp;[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Blockschaltbild]]&nbsp; im Theorieteil hervorgeht.  
*Hierzu ist zunächst eine Umcodierung der Quellensymbole $q_k ∈ \{+1, –1\}$ in die ebenfalls binären Amplitudenkoeffizienten $a_k ∈ \{+1, –1\}$ vorzunehmen.  
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*Hierzu ist zunächst eine Umcodierung der Quellensymbole &nbsp;$q_k ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; in die ebenfalls binären Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_k ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; vorzunehmen.  
*Diese Umcodierung wird in der  [[Aufgaben:4.14Z_Offset–QPSK_vs._MSK|Zusatzaufgabe 4.14Z]] eingehend behandelt.
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*Diese Umcodierung wird in der  &nbsp;[[Aufgaben:4.14Z_Offset–QPSK_vs._MSK|Aufgabe 4.14Z]]&nbsp; eingehend behandelt.
  
  
Die Grafik zeigt unten die beiden äquivalenten Tiefpass–Signale $s_{\rm I}(t)$ und $s_{\rm Q}(t)$ in den beiden Zweigen, die sich nach der Umcodierung $a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $ aus dem oben skizzierten Quellensignal $q(t)$ für den Inphase– und den Quadraturzweig ergeben. Berücksichtigt ist hierbei der MSK–Grundimpuls
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Die Grafik zeigt unten die beiden äquivalenten Tiefpass–Signale &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp; in den beiden Zweigen, die sich nach der Umcodierung &nbsp;$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $&nbsp; aus dem oben skizzierten Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; für den Inphase– und den Quadraturzweig ergeben. Berücksichtigt ist hierbei der MSK–Grundimpuls
 
:$$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
 
:$$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
Dieser ist ebenso wie die Signale $s_{\rm I}(t)$ und $s_{\rm Q}(t)$ auf $1$ normiert. Für das äquivalente Tiefpass–Signal gilt entsprechend dem  Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]] im Buch „Signaldarstellung”:
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Dieser ist ebenso wie die Signale &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp; auf &nbsp;$1$&nbsp; normiert.  
:$$ s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}$$
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Für das äquivalente Tiefpass–Signal gilt entsprechend dem  Kapitel &nbsp;[[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]]&nbsp; im Buch „Signaldarstellung”:
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:$$ s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}\hspace{0.05cm},$$
 
mit dem Betrag
 
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:$$|s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{s_{\rm I}^2(t) + s_{\rm Q}^2(t)} $$
 
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Das physikalische MSK–Sendesignal ergibt sich dann zu
 
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:$$ s(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \hspace{0.05cm}.$$
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]].
 
   
 
   
*Gehen Sie davon aus, dass $ϕ(t = 0) = ϕ_0 = 0$ ist.
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*Gehen Sie davon aus, dass &nbsp;$ϕ(t = 0) = ϕ_0 = 0$&nbsp; ist.
  
  
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- Die Hüllkurve schwankt cosinusförmig.
 
- Die Hüllkurve schwankt cosinusförmig.
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+ Die Hüllkurve ist unabhängig von der gesendeten Folge.
 
+ Die Hüllkurve ist unabhängig von der gesendeten Folge.
  
{Es gelte $T = 1 \ \rm μs$. Berechnen Sie den Phasenverlauf im Intervall $0 ≤ t ≤ T$.  
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$ϕ(t = T/2)\ = \ $ { 45 3%  } $\ \rm Grad$  
 
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$ϕ(t = T) \hspace{0.63cm}  = \ ${ 90 3% } $\ \rm Grad$
 
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{Bestimmen Sie die Phasenwerte bei $t = 2T$, $t = 3T$ und $t = 4T$.
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$ϕ(t = 4T) \ = \ $ { -185.4--174.6 } $\ \rm Grad$
 
$ϕ(t = 4T) \ = \ $ { -185.4--174.6 } $\ \rm Grad$
  
{Skizzieren und interpretieren Sie den Phasenverlauf $ϕ(t)$ im Bereich von $0$ bis $8T$. Welche Phasenwerte ergeben sich zu den folgenden Zeiten?
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{Skizzieren und interpretieren Sie den Phasenverlauf &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; im Bereich von &nbsp;$0$ &nbsp;bis&nbsp; $8T$. <br>Welche Phasenwerte ergeben sich zu den folgenden Zeiten?
 
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$ϕ(t = 5T) \ = \ $ { -92.7--87.3 } $\ \rm Grad$
 
$ϕ(t = 5T) \ = \ $ { -92.7--87.3 } $\ \rm Grad$

Version vom 13. Januar 2019, 15:33 Uhr

Quellensignal und Tiefpass–Signale
in den beiden Zweigen der MSK

Eine Realisierungsmöglichkeit für Minimum Shift Keying (MSK) bietet die Offset–QPSK, wie aus dem  Blockschaltbild  im Theorieteil hervorgeht.

  • Hierzu ist zunächst eine Umcodierung der Quellensymbole  $q_k ∈ \{+1, –1\}$  in die ebenfalls binären Amplitudenkoeffizienten  $a_k ∈ \{+1, –1\}$  vorzunehmen.
  • Diese Umcodierung wird in der  Aufgabe 4.14Z  eingehend behandelt.


Die Grafik zeigt unten die beiden äquivalenten Tiefpass–Signale  $s_{\rm I}(t)$  und  $s_{\rm Q}(t)$  in den beiden Zweigen, die sich nach der Umcodierung  $a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $  aus dem oben skizzierten Quellensignal  $q(t)$  für den Inphase– und den Quadraturzweig ergeben. Berücksichtigt ist hierbei der MSK–Grundimpuls

$$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Dieser ist ebenso wie die Signale  $s_{\rm I}(t)$  und  $s_{\rm Q}(t)$  auf  $1$  normiert.

Für das äquivalente Tiefpass–Signal gilt entsprechend dem Kapitel  Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion  im Buch „Signaldarstellung”:

$$ s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}\hspace{0.05cm},$$

mit dem Betrag

$$|s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{s_{\rm I}^2(t) + s_{\rm Q}^2(t)} $$

und der Phase

$$ \phi(t) = {\rm arc} \hspace{0.15cm}s_{\rm TP}(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} \hspace{0.05cm}.$$

Das physikalische MSK–Sendesignal ergibt sich dann zu

$$ s(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \hspace{0.05cm}.$$



Hinweise:

  • Gehen Sie davon aus, dass  $ϕ(t = 0) = ϕ_0 = 0$  ist.


Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die Hüllkurve  $|s_{\rm TP}(t)|$  der MSK?

Die Hüllkurve schwankt cosinusförmig.
Die Hüllkurve ist konstant.
Die Hüllkurve ist unabhängig von der gesendeten Folge.

2

Es gelte  $T = 1 \ \rm µs$. Berechnen Sie den Phasenverlauf im Intervall  $0 ≤ t ≤ T$.
Welche Phasenwerte ergeben sich für  $t = T/2$  und  $t = T$?

$ϕ(t = T/2)\ = \ $

$\ \rm Grad$
$ϕ(t = T) \hspace{0.63cm} = \ $

$\ \rm Grad$

3

Bestimmen Sie die Phasenwerte bei  $t = 2T$,  $t = 3T$  und  $t = 4T$.

$ϕ(t = 2T) \ = \ $

$\ \rm Grad$
$ϕ(t = 3T) \ = \ $

$\ \rm Grad$
$ϕ(t = 4T) \ = \ $

$\ \rm Grad$

4

Skizzieren und interpretieren Sie den Phasenverlauf  $ϕ(t)$  im Bereich von  $0$  bis  $8T$.
Welche Phasenwerte ergeben sich zu den folgenden Zeiten?

$ϕ(t = 5T) \ = \ $

$\ \rm Grad$
$ϕ(t = 6T) \ = \ $

$\ \rm Grad$
$ϕ(t = 7T) \ = \ $

$\ \rm Grad$
$ϕ(t = 8T) \ = \ $

$\ \rm Grad$


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Beispielsweise gilt im Bereich $0 ≤ t ≤ T$, wenn man berücksichtigt, dass $a_0^2 = a_1^2 = 1$ ist:
$$ |s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{a_0^2 \cdot \cos^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) + a_1^2 \cdot \sin^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})} = 1 \hspace{0.05cm}.$$
  • Richtig ist damit die Aussage 2, während die Aussage 1 falsch.
  • Dieses Ergebnis gilt für jedes Wertepaar $a_0$ ∈ {+1, –1} und $a_1 ∈ {+1, –1}$.
  • Daraus kann weiter geschlossen werden, dass die Hüllkurve unabhängig von der gesendeten Folge ist.


(2)  Mit der angegebenen Gleichung gilt:

$$\phi(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{a_1 \cdot \sin (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})}{a_0 \cdot \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})}= {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\left [ \frac{a_1}{a_0}\cdot \tan \hspace{0.1cm}(\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})\right ] \hspace{0.05cm}.$$

Der Quotient $a_1/a_0$ ist stets $+1$ oder $-1$. Damit kann dieser Quotient vorgezogen werden und man erhält:

$$\phi(t) = \frac{a_1}{a_0}\cdot {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\left [ \tan \hspace{0.1cm}(\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})\right ]= \frac{a_1}{a_0}\cdot \frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T} \hspace{0.05cm}.$$

Durch die Anfangsphase $ϕ_0 = 0$ können Mehrdeutigkeiten ausgeschlossen werden. Insbesondere gilt mit $a_0 = a_1 = +1$:

$$\phi(t = T/2 = 0.5\,{\rm \mu s}) = {\pi}/{4}\hspace{0.15cm}\underline { = +45^\circ},\hspace{0.2cm}\phi(t = T= 1\,{\rm \mu s}) = {\pi}/{2}\hspace{0.15cm}\underline {= +90^\circ} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Am einfachsten löst man diese Aufgabe unter Zuhilfenahme des Einheitskreises:

$$ {\rm Re} = s_{\rm I}(2T) = +1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(2T) = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = 2T= 2\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ},$$
$$ {\rm Re} = s_{\rm I}(3T) = 0, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(3T) = -1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = 3T= 3\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= -90^\circ},$$
$${\rm Re} = s_{\rm I}(4T) = -1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(4T) = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = 4T= 4\,{\rm \mu s})= \pm 180^\circ \hspace{0.05cm}.$$

Aus der unteren Skizze erkennt man, dass $\phi(t = 4T= 4\,{\rm \mu s})\hspace{0.15cm}\underline { = - 180^\circ}\hspace{0.05cm}$ richtig ist.


Quellensignal und Phasenverlauf bei MSK

(4)  Die Grafik zeigt die MSK–Phase $ϕ(t)$ zusammen mit dem Quellensignal $q(t)$. Man erkennt:

  • Beim Quellensymbol $a_\nu =+1$ steigt die Phase innerhalb der Symboldauer $T$ linear um $90^\circ \ (π/2)$ an.
  • Beim Quellensymbol $a_\nu =-1$ fällt die Phase innerhalb der Symboldauer $T$ linear um $90^\circ \ (π/2)$ ab.

Die weiteren Phasenwerte sind somit:

$$\phi(5T) \hspace{0.15cm}\underline { = -90^\circ},\hspace{0.2cm}\phi(t = 6T) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
$$ \phi(7T)\hspace{0.15cm}\underline { = -90^\circ},\hspace{0.2cm} \phi(t = 8T) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ} \hspace{0.05cm}.$$