Aufgaben:Aufgabe 5.1Z: Abtastung harmonischer Schwingungen: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten drei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude:
 
Wir betrachten drei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude:
 
:$$x_1(t)  =  A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$
 
:$$x_1(t)  =  A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$
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Die Schwingungsparameter $f_0$ und $A$ können Sie der Grafik entnehnen.
 
Die Schwingungsparameter $f_0$ und $A$ können Sie der Grafik entnehnen.
  
Angenommen wird, dass die Signale äquidistant zu den Zeitpunkten $\nu \cdot T_{\rm A}$ abgetastet werden, wobei die Parameterwerte $T_{\rm A} = 80 \ \mu \text{s}$ und $T_{\rm A} = 100 \ \mu \text{s}$ analysiert werden sollen.
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Angenommen wird, dass die Signale äquidistant zu den Zeitpunkten $\nu \cdot T_{\rm A}$ abgetastet werden, wobei die Parameterwerte $T_{\rm A} = 80 \ &micro; \text{s}$ und $T_{\rm A} = 100 \ &micro; \text{s}$ analysiert werden sollen.
  
 
Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ das Signal $y(t)$ formt. Es gelte:
 
Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ das Signal $y(t)$ formt. Es gelte:
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*Die Abtastrate ist hier $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 12.5 \ \text{kHz}$.  
 
*Die Abtastrate ist hier $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 12.5 \ \text{kHz}$.  
 
*Dieser Wert ist größer als $2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.  
 
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'''(3)'''&nbsp; Die Abtastrate beträgt nun $f_{\rm A} = 2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$. Nur im Sonderfall des Cosinussignals ist nun das Abtasttheorem erfüllt und es gilt:
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&nbsp; $y_1(t) = x_1(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $A_1 \; \underline{=2 \ \text{V}}$ und $\varphi_1 \; \underline{= 0}.$
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'''(3)'''&nbsp; Die Abtastrate beträgt nun $f_{\rm A} = 2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.  
 
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*Nur im Sonderfall des Cosinussignals ist nun das Abtasttheorem erfüllt und es gilt:
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:$$y_1(t) = x_1(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $A_1 \; \underline{=2 \ \text{V}} \text{ und }\varphi_1 \; \underline{= 0}.$$
  
 
Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase $\varphi$ im Eingangssignal berücksichtigt wird:
 
Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase $\varphi$ im Eingangssignal berücksichtigt wird:
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:$$y(t) =  A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t )
 
:$$y(t) =  A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t )
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
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Es ergibt sich also unabhängig von der Eingangsphase $\varphi$ ein cosinusförmiger Verlauf. Ist $\varphi = 0$ wie beim Signal $x_1(t)$, so ist auch die Amplitude des Ausgangssignals gleich $A$.
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*Es ergibt sich also unabhängig von der Eingangsphase $\varphi$ ein cosinusförmiger Verlauf.  
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*Ist $\varphi = 0$ wie beim Signal $x_1(t)$, so ist auch die Amplitude des Ausgangssignals gleich $A$.
  
  
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'''(4)'''&nbsp; Das Sinussignal hat die Phase $90^\circ$. Daraus folgt direkt $y_2(t) = 0$  &nbsp; &rArr; &nbsp;    Amplitude $\underline{A_2 = 0}$.  
 
'''(4)'''&nbsp; Das Sinussignal hat die Phase $90^\circ$. Daraus folgt direkt $y_2(t) = 0$  &nbsp; &rArr; &nbsp;    Amplitude $\underline{A_2 = 0}$.  
  
Dieses Ergebnis wird verständlich, wenn man sich die Abtastwerte in der Grafik betrachtet. Alle Abtastwerte (rote Kreise) sind $0$, so dass auch nach dem Filter kein Signal vorhanden sein kann.
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*Dieses Ergebnis wird verständlich, wenn man sich die Abtastwerte in der Grafik betrachtet.  
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*Alle Abtastwerte (rote Kreise) sind $0$, so dass auch nach dem Filter kein Signal vorhanden sein kann.
 
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[[Datei:P_ID1133__Sig_Z_5_1_e.png|right|frame|Rekonstruktion einer harmonischen Schwingung mit $60^\circ$ Phase]]
 
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'''(5)'''&nbsp; Trotz $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; das rekonstruierte Signal $y_3(t)$ ist ebenfalls cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich
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'''(5)'''&nbsp; Trotz $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; auch das rekonstruierte Signal $y_3(t)$ ist cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich
 
:$$A_3 =  A \cdot \cos (60^{\circ})= {A}/{2} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm V}}
 
:$$A_3 =  A \cdot \cos (60^{\circ})= {A}/{2} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm V}}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
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Wenn Sie die rot eingezeichneten Abtastwerte in der Grafik betrachten, so werden Sie zugeben, dass Sie als „Signalrekonstrukteur” keine andere Entscheidung treffen würden als der Tiefpass, da Sie ja den türkisfarbenen Verlauf nicht kennen.
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*Wenn Sie die rot eingezeichneten Abtastwerte in der Grafik betrachten, so werden Sie zugeben, dass Sie als „Signalrekonstrukteur” keine andere Entscheidung treffen würden als der Tiefpass.
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*Sie kennen ja den türkisfarbenen Verlauf nicht.
 
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Version vom 27. Juli 2018, 12:51 Uhr

Drei harmonische Schwingungen gleicher Frequenz $f_0$ und gleicher Amplitude $A$

Wir betrachten drei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude:

$$x_1(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$
$$ x_2(t) = A \cdot \sin (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$
$$ x_3(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - 60^{\circ}) \hspace{0.05cm}.$$

Die Schwingungsparameter $f_0$ und $A$ können Sie der Grafik entnehnen.

Angenommen wird, dass die Signale äquidistant zu den Zeitpunkten $\nu \cdot T_{\rm A}$ abgetastet werden, wobei die Parameterwerte $T_{\rm A} = 80 \ µ \text{s}$ und $T_{\rm A} = 100 \ µ \text{s}$ analysiert werden sollen.

Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ das Signal $y(t)$ formt. Es gelte:

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |f| < f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\ |f| = f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\ |f| > f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$

Hierbei gibt $f_{\rm G}$ die Grenzfrequenz des rechteckförmigen Tiefpassfilters an. Für diese soll gelten:

$$f_{\rm G} = \frac{1}{ 2 \cdot T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$

Das Abtasttheorem ist erfüllt, wenn $y(t) = x(t)$ gilt.




Hinweise:


Fragebogen

1

Wie groß sind Amplitude und Frequenz der Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$?

$A \hspace{0.25cm} = \ $

 $\text{V}$
$f_0\hspace{0.2cm} = \ $

 $\text{kHz}$

2

Bei welchen Eingangssignalen ist das Abtasttheorem erfüllt   ⇒   $y(t) = x(t)$, wenn $\underline{T_{\rm A} = 80 \ {\rm µ} \text{s}}$ beträgt?

$x_1(t)$,
$x_2(t)$,
$x_3(t)$.

3

Wie lautet das rekonstruierte Signal $y_1(t) = A_1 \cdot \cos (2\pi f_0 t – \varphi_1)$ mit dem Abtastabstand $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$? Interpretieren Sie das Ergebnis.

$A_1\hspace{0.2cm} = \ $

 $\text{V}$
$\varphi_1\hspace{0.2cm} = \ $

 $\text{Grad}$

4

Welche Amplitude $A_2$ besitzt das rekonstruierte Signal $y_2(t)$, wenn das Sinussignal $x_2(t)$ anliegt? Es gelte weiterhin $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$.

$A_2\hspace{0.2cm} = \ $

 $\text{V}$

5

Welche Amplitude $A_3$ besitzt das rekonstruierte Signal $y_3(t)$, wenn das Sinussignal $x_3(t)$ anliegt? Es gelte weiterhin $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$.

$A_3\hspace{0.2cm} = \ $

 $\text{V}$


Musterlösung

(1)  Aus der Grafik erkennt man die Amplitude $\underline{A = 2\ \text{V}}$ sowie die Periodendauer $T_0 = 0.2 \ \text{ms}$. Daraus ergibt sich die Signalfrequenz $f_0 = 1/T_0 \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$.


(2)  Richtig sind alle Löungsvorschläge:

  • Die Abtastrate ist hier $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 12.5 \ \text{kHz}$.
  • Dieser Wert ist größer als $2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.
  • Damit ist das Abtasttheorem unabhängig von der Phase erfüllt, und es gilt stets $y(t) = x(t)$.


Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals – Realteil und Imaginärteil

(3)  Die Abtastrate beträgt nun $f_{\rm A} = 2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.

  • Nur im Sonderfall des Cosinussignals ist nun das Abtasttheorem erfüllt und es gilt:
$$y_1(t) = x_1(t)$   ⇒   $A_1 \; \underline{=2 \ \text{V}} \text{ und }\varphi_1 \; \underline{= 0}.$$

Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase $\varphi$ im Eingangssignal berücksichtigt wird:

$$x(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - \varphi) \hspace{0.05cm}.$$

Dann gilt für die Spektralfunktion, die in der oberen Grafik skizziert ist:

$$X(f) = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta (f+ f_{\rm 0} ) + {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta (f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$

Mit den Abkürzungen

$$R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \cos(\varphi) \hspace{0.5cm}{\rm und} \hspace{0.5cm}I ={A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin(\varphi)$$

kann hierfür auch geschrieben werden:

$$X(f) = (R + {\rm j} \cdot I) \cdot \delta (f+ f_{\rm 0} ) + (R - {\rm j} \cdot I) \cdot \delta (f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$

Das Spektrum des mit $f_{\rm A} = 2f_0$ abgetasteten Signals $x_{\rm A}(t)$ lautet somit:

$$X_{\rm A}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A} )= \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- 2\mu \cdot f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$
  • Die untere Grafik zeigt, dass $X_{\rm A}(f)$ aus Diracfunktionen bei $\pm f_0$, $\pm 3f_0$, $\pm 5f_0$, usw. besteht.
  • Alle Gewichte sind rein reell und gleich $2 \cdot R$.
  • Die Imaginärteile des periodisch fortgesetzten Spektrums heben sich auf.


Berücksichtigt man weiter den rechteckförmigen Tiefpass, dessen Grenzfrequenz exakt bei $f_{\rm G} = f_0$ liegt, sowie $H(f_{\rm G}) = 0.5$, so erhält man für das Spektrum nach der Signalrekonstruktion:

$$Y(f) = R \cdot \delta (f+ f_{\rm 0} ) + R \cdot \delta (f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \cos(\varphi)\hspace{0.05cm}.$$

Die Fourierrücktransformation führt auf

$$y(t) = A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$
  • Es ergibt sich also unabhängig von der Eingangsphase $\varphi$ ein cosinusförmiger Verlauf.
  • Ist $\varphi = 0$ wie beim Signal $x_1(t)$, so ist auch die Amplitude des Ausgangssignals gleich $A$.


Rekonstruktion eines abgetasteten Sinussignals

(4)  Das Sinussignal hat die Phase $90^\circ$. Daraus folgt direkt $y_2(t) = 0$   ⇒   Amplitude $\underline{A_2 = 0}$.

  • Dieses Ergebnis wird verständlich, wenn man sich die Abtastwerte in der Grafik betrachtet.
  • Alle Abtastwerte (rote Kreise) sind $0$, so dass auch nach dem Filter kein Signal vorhanden sein kann.


Rekonstruktion einer harmonischen Schwingung mit $60^\circ$ Phase

(5)  Trotz $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$   ⇒   auch das rekonstruierte Signal $y_3(t)$ ist cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich

$$A_3 = A \cdot \cos (60^{\circ})= {A}/{2} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Wenn Sie die rot eingezeichneten Abtastwerte in der Grafik betrachten, so werden Sie zugeben, dass Sie als „Signalrekonstrukteur” keine andere Entscheidung treffen würden als der Tiefpass.
  • Sie kennen ja den türkisfarbenen Verlauf nicht.