Aufgaben:Aufgabe 4.06: Optimale Entscheidungsgrenzen: Unterschied zwischen den Versionen
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− | [[Datei:P_ID2015__Dig_A_4_6.png|right|frame|Signalraumkonstellation<br> $N = 2, \ M = 2$]] | + | [[Datei:P_ID2015__Dig_A_4_6.png|right|frame|Signalraumkonstellation mit<br> $N = 2, \ M = 2$]] |
− | Wie betrachten ein binäres Nachrichtensystem $(M = 2)$, das durch die gezeichnete 2D–Signalraumkonstellation $(N = 2)$ festliegt. Für die beiden möglichen Sendevektoren, die mit den Nachrichten $m_0$ und $m_1$ direkt gekoppelt sind, gilt: | + | Wie betrachten ein binäres Nachrichtensystem $(M = 2)$, das durch die gezeichnete 2D–Signalraumkonstellation $(N = 2)$ festliegt. Für die beiden möglichen Sendevektoren, die mit den Nachrichten $m_0$ und $m_1$ direkt gekoppelt sind, gilt: |
:$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm} \sqrt {E} \cdot (1,\hspace{0.1cm} 5) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0 \hspace{0.05cm},$$ | :$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm} \sqrt {E} \cdot (1,\hspace{0.1cm} 5) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0 \hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm} \sqrt {E} \cdot (4, \hspace{0.1cm}1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1 \hspace{0.05cm}.$$ | :$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm} \sqrt {E} \cdot (4, \hspace{0.1cm}1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Gesucht ist jeweils die optimale Entscheidungsgrenze zwischen den Regionen $I_0 ⇔ m_0$ und $I_1 ⇔ m_1$, wobei von folgenden Voraussetzungen ausgegangen wird: | + | Gesucht ist jeweils die optimale Entscheidungsgrenze zwischen den Regionen $I_0 ⇔ m_0$ und $I_1 ⇔ m_1$, wobei von folgenden Voraussetzungen ausgegangen wird: |
− | * Für die Teilaufgaben (1) bis (3) gilt | + | * Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(3)''' gilt |
:$${\rm Pr}(m_0 ) = {\rm Pr}(m_1 ) = 0.5 | :$${\rm Pr}(m_0 ) = {\rm Pr}(m_1 ) = 0.5 | ||
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− | * Für die Teilaufgaben (4) und (5) soll dagegen gelten: | + | * Für die Teilaufgaben '''(4)''' und '''(5)''' soll dagegen gelten: |
:$${\rm Pr}(m_0 ) = 0.817 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(m_1 ) = 0.183\hspace{0.3cm} | :$${\rm Pr}(m_0 ) = 0.817 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(m_1 ) = 0.183\hspace{0.3cm} | ||
\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = | \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = | ||
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− | Bei AWGN–Rauschen mit Varianz $\sigma_n^2$ ist die Entscheidungsgrenze die Lösung folgender vektoriellen Gleichung hinsichtlich des Vektors ( | + | Bei AWGN–Rauschen mit Varianz $\sigma_n^2$ ist die Entscheidungsgrenze die Lösung folgender vektoriellen Gleichung hinsichtlich des Vektors $(\rho_1, \rho_2)$: |
:$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = | :$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = | ||
2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} | 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} | ||
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:$$\boldsymbol{ A }= \sqrt {E} \cdot (1.5, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B }= \sqrt {E} \cdot (3, \hspace{0.1cm}3.5) $$ | :$$\boldsymbol{ A }= \sqrt {E} \cdot (1.5, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B }= \sqrt {E} \cdot (3, \hspace{0.1cm}3.5) $$ | ||
− | eingezeichnet. Es ist zu überprüfen, ob diese bei den entsprechenden Randbedingungen den Regionen $I_0$ (und damit der Nachricht $m_0$ | + | eingezeichnet. Es ist zu überprüfen, ob diese bei den entsprechenden Randbedingungen den Regionen $I_0$ $($und damit der Nachricht $m_0)$ oder $I_1$ $($Nachricht $m_1)$ zugeordnet werden sollten. |
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− | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]]. | + | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]]. |
− | * Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie $E = 1$ gesetzt werden. | + | * Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie $E = 1$ gesetzt werden. |
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- $\rho_2 = 3$. | - $\rho_2 = 3$. | ||
− | {Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert $A = (1.5, \ \, 2)$? | + | {Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert $A = (1.5, \ \, 2)$? |
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− | - Zum Entscheidungsgebiet $I_0$, | + | - Zum Entscheidungsgebiet $I_0$, |
− | + zum Entscheidungsgebiet $I_1$. | + | + zum Entscheidungsgebiet $I_1$. |
− | {Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert $B = (3, \ \, 3.5)$? | + | {Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert $B = (3, \ \, 3.5)$? |
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− | + Zum Entscheidungsgebiet $I_0$, | + | + Zum Entscheidungsgebiet $I_0$, |
− | - zum Entscheidungsgebiet $I_1$. | + | - zum Entscheidungsgebiet $I_1$. |
− | {Wie lautet die Gleichung der Entscheidungsgeraden für ${\rm Pr}(m_0) = 0.817, \sigma_n = 1$? | + | {Wie lautet die Gleichung der Entscheidungsgeraden für ${\rm Pr}(m_0) = 0.817, \sigma_n = 1$? |
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- $\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8$, | - $\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8$, | ||
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- $\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1$. | - $\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1$. | ||
− | {Welche Entscheidungen werden mit diesen neuen Regionen $I_0$ und $I_1$ getroffen? | + | {Welche Entscheidungen werden mit diesen neuen Regionen $I_0$ und $I_1$ getroffen? |
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− | + Der Empfangsvektor $A$ wird als Nachricht $m_0$ interpretiert. | + | + Der Empfangsvektor $A$ wird als Nachricht $m_0$ interpretiert. |
− | - Der Empfangsvektor $A$ wird als Nachricht $m_1$ interpretiert. | + | - Der Empfangsvektor $A$ wird als Nachricht $m_1$ interpretiert. |
− | + Der Empfangsvektor $B$ wird als Nachricht $m_0$ interpretiert. | + | + Der Empfangsvektor $B$ wird als Nachricht $m_0$ interpretiert. |
− | - Der Empfangsvektor $B$ wird als Nachricht $m_1$ interpretiert. | + | - Der Empfangsvektor $B$ wird als Nachricht $m_1$ interpretiert. |
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Version vom 12. März 2019, 18:14 Uhr
Wie betrachten ein binäres Nachrichtensystem $(M = 2)$, das durch die gezeichnete 2D–Signalraumkonstellation $(N = 2)$ festliegt. Für die beiden möglichen Sendevektoren, die mit den Nachrichten $m_0$ und $m_1$ direkt gekoppelt sind, gilt:
- $$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm} \sqrt {E} \cdot (1,\hspace{0.1cm} 5) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0 \hspace{0.05cm},$$
- $$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm} \sqrt {E} \cdot (4, \hspace{0.1cm}1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1 \hspace{0.05cm}.$$
Gesucht ist jeweils die optimale Entscheidungsgrenze zwischen den Regionen $I_0 ⇔ m_0$ und $I_1 ⇔ m_1$, wobei von folgenden Voraussetzungen ausgegangen wird:
- Für die Teilaufgaben (1) bis (3) gilt
- $${\rm Pr}(m_0 ) = {\rm Pr}(m_1 ) = 0.5 \hspace{0.05cm}. $$
- Für die Teilaufgaben (4) und (5) soll dagegen gelten:
- $${\rm Pr}(m_0 ) = 0.817 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(m_1 ) = 0.183\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 1.5 \hspace{0.05cm}.$$
Bei AWGN–Rauschen mit Varianz $\sigma_n^2$ ist die Entscheidungsgrenze die Lösung folgender vektoriellen Gleichung hinsichtlich des Vektors $(\rho_1, \rho_2)$:
- $$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \boldsymbol{ \rho } = (\rho_1 , \hspace{0.1cm}\rho_2 )\hspace{0.05cm}.$$
Zusätzlich sind in der Grafik zwei Empfangswerte
- $$\boldsymbol{ A }= \sqrt {E} \cdot (1.5, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B }= \sqrt {E} \cdot (3, \hspace{0.1cm}3.5) $$
eingezeichnet. Es ist zu überprüfen, ob diese bei den entsprechenden Randbedingungen den Regionen $I_0$ $($und damit der Nachricht $m_0)$ oder $I_1$ $($Nachricht $m_1)$ zugeordnet werden sollten.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit.
- Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie $E = 1$ gesetzt werden.
Fragebogen
Musterlösung
- $$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$
Mit den gegebenen Vektorwerten, also den Zahlenwerten
- $$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 = 4^2 + 1^2 = 17\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} || \boldsymbol{ s }_0||^2 = 1^2 + 5^2 = 26\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0 = (3,\hspace{0.1cm}-4) \hspace{0.05cm}$$
erhält man folgende Gleichung für die Entscheidungsgrenzen:
- $$3 \cdot \rho_1 - 4 \cdot \rho_2 = ({17-26})/{2} = - {9}/{2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8 \hspace{0.05cm}.$$
Die Entscheidungsgrenze liegt in der Mitte zwischen $s_0$ und $s_1$ und verläuft um $90^\circ$ gedreht gegenüber der Verbindungslinie zwischen den beiden Symbolen. Sie geht durch den Punkt $(2.5, \ \, 3)$. Richtig ist also der erste Lösungsvorschlag.
Der Vorschlag 2 beschreibt dagegen die Verbindungsgerade selbst und $\rho_2 = 3$ ist eine Horizontale.
(2) Das Entscheidungsgebiet $I_1$ sollte natürlich den Punkt $s_1$ beinhalten ⇒ Gebiet unterhalb der Entscheidungsgeraden. Punkt $A = (1.5, \ \, 2)$ gehört zu diesem Entscheidungsgebiet, wie aus der Grafik hervorgeht. Rechnerisch lässt sich dies zeigen, da die Entscheidungsgerade zum Beispiel durch den Punkt $(1.5, \ \, 2.25)$ geht und somit $(1.5, \ \, 2)$ unterhalb der Entscheidungsgeraden liegt. Richtig ist also der Lösungsvorschlag 2.
(3) Die Entscheidungsgerade geht auch durch den Punkt $(3, \ \, 3.375)$. $B = (3, \ \, 3.5)$ liegt oberhalb und gehört somit zum Entscheidungsgebiet $I_0$ entsprechend Lösungsvorschlag 1.
(4) Entsprechend der Gleichung auf dem Angabenblatt und den Berechnungen zur Teilaufgabe (1) gilt nun:
- $$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$
Mit $|| \boldsymbol{ s }_1||^2 = 17$, $|| \boldsymbol{ s }_0||^2 = 26$, $ \boldsymbol{ s }_1 \, –\boldsymbol{ s }_0 = (3, \ \, –4)$ erhält man:
- $$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8 - K /8 \hspace{0.05cm}.$$
Hierbei ist folgende Abkürzung verwendet worden:
- $$K = 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 2 \cdot 1^2 \cdot 1.5 = 3 \hspace{0.05cm}.$$
Daraus folgt weiter:
- $$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8 - 3 /8 = 3/4 \cdot \rho_1 + 3/4 \hspace{0.05cm}.$$
Die Entscheidungsgerade ist um $3/8$ nach unten verschoben (schwarze Kurve, mit „$K = 3$” bezeichnet in der Grafik). Richtig ist also der Lösungsvorschlag 2.
- Die erste Gleichung beschreibt die optimale Entscheidungsgrenze für gleichwahrscheinliche Symbole ($K = 0$, grau gestrichelt).
- Die dritte Gleichung gilt für $K = \, –3$. Diese ergibt sich mit $\sigma_n^2 = 1$ für die Symbolwahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(m_1) \approx 0.817$ und ${\rm Pr}(m_0) \approx 0.138$ (grüne Kurve).
- Die violette Gerade ergibt sich mit $K = 9$, also zum Beispiel bei gleichen Wahrscheinlichkeiten wie für die schwarze Kurve, aber nun mit der Varianz $\sigma_n^2 = 3$.
(5) Bereits aus obiger Grafik erkennt man, dass nun sowohl $A$ als auch $B$ zur Entscheidungsregion $I_0$ gehören. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 3.