Aufgaben:Aufgabe 4.06: Optimale Entscheidungsgrenzen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
K (Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “)
Zeile 2: Zeile 2:
 
{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}
  
[[Datei:P_ID2015__Dig_A_4_6.png|right|frame|Signalraumkonstellation<br> $N = 2, \ M = 2$]]
+
[[Datei:P_ID2015__Dig_A_4_6.png|right|frame|Signalraumkonstellation mit<br> $N = 2, \ M = 2$]]
Wie betrachten ein binäres Nachrichtensystem $(M = 2)$, das durch die gezeichnete 2D&ndash;Signalraumkonstellation  $(N = 2)$ festliegt. Für die beiden möglichen Sendevektoren, die mit den Nachrichten $m_0$ und $m_1$ direkt gekoppelt sind, gilt:
+
Wie betrachten ein binäres Nachrichtensystem &nbsp;$(M = 2)$, das durch die gezeichnete 2D&ndash;Signalraumkonstellation  &nbsp;$(N = 2)$&nbsp; festliegt. Für die beiden möglichen Sendevektoren, die mit den Nachrichten&nbsp; $m_0$&nbsp; und&nbsp; $m_1$&nbsp; direkt gekoppelt sind, gilt:
 
:$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm}  \sqrt {E} \cdot (1,\hspace{0.1cm} 5) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0  \hspace{0.05cm},$$
 
:$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm}  \sqrt {E} \cdot (1,\hspace{0.1cm} 5) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0  \hspace{0.05cm},$$
 
:$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm}  \sqrt {E} \cdot (4, \hspace{0.1cm}1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1  \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm}  \sqrt {E} \cdot (4, \hspace{0.1cm}1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1  \hspace{0.05cm}.$$
  
Gesucht ist jeweils die optimale Entscheidungsgrenze zwischen den Regionen $I_0 &#8660; m_0$ und $I_1 &#8660; m_1$, wobei von folgenden Voraussetzungen ausgegangen wird:
+
Gesucht ist jeweils die optimale Entscheidungsgrenze zwischen den Regionen&nbsp; $I_0 &#8660; m_0$&nbsp; und&nbsp; $I_1 &#8660; m_1$, wobei von folgenden Voraussetzungen ausgegangen wird:
* Für die Teilaufgaben (1) bis (3) gilt
+
* Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(3)''' gilt
 
:$${\rm Pr}(m_0 ) = {\rm Pr}(m_1 ) = 0.5
 
:$${\rm Pr}(m_0 ) = {\rm Pr}(m_1 ) = 0.5
 
  \hspace{0.05cm}. $$
 
  \hspace{0.05cm}. $$
* Für die Teilaufgaben (4) und (5) soll dagegen gelten:
+
* Für die Teilaufgaben '''(4)''' und '''(5)''' soll dagegen gelten:
 
:$${\rm Pr}(m_0 ) = 0.817 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(m_1 ) = 0.183\hspace{0.3cm}
 
:$${\rm Pr}(m_0 ) = 0.817 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(m_1 ) = 0.183\hspace{0.3cm}
 
  \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} =
 
  \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} =
Zeile 17: Zeile 17:
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Bei AWGN&ndash;Rauschen mit Varianz $\sigma_n^2$ ist die Entscheidungsgrenze die Lösung folgender vektoriellen Gleichung hinsichtlich des Vektors ($\rho_1, \rho_2$):
+
Bei AWGN&ndash;Rauschen mit Varianz&nbsp; $\sigma_n^2$&nbsp; ist die Entscheidungsgrenze die Lösung folgender vektoriellen Gleichung hinsichtlich des Vektors&nbsp; $(\rho_1, \rho_2)$:
 
:$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot  {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} =
 
:$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot  {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} =
 
2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 
2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
Zeile 25: Zeile 25:
 
:$$\boldsymbol{ A }= \sqrt {E} \cdot (1.5, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B }= \sqrt {E} \cdot (3, \hspace{0.1cm}3.5)  $$
 
:$$\boldsymbol{ A }= \sqrt {E} \cdot (1.5, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B }= \sqrt {E} \cdot (3, \hspace{0.1cm}3.5)  $$
  
eingezeichnet. Es ist zu überprüfen, ob diese bei den entsprechenden Randbedingungen den Regionen $I_0$ (und damit der Nachricht $m_0$) oder $I_1$ (Nachricht $m_1$) zugeordnet werden sollten.
+
eingezeichnet. Es ist zu überprüfen, ob diese bei den entsprechenden Randbedingungen den Regionen&nbsp; $I_0$&nbsp; $($und damit der Nachricht $m_0)$&nbsp; oder&nbsp; $I_1$&nbsp; $($Nachricht $m_1)$&nbsp; zugeordnet werden sollten.
 +
 
 +
 
 +
 
  
  
 
''Hinweise:''
 
''Hinweise:''
* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].  
+
* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].  
* Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie $E = 1$ gesetzt werden.
+
* Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie&nbsp; $E = 1$&nbsp; gesetzt werden.
 
   
 
   
  
Zeile 43: Zeile 46:
 
- $\rho_2 = 3$.
 
- $\rho_2 = 3$.
  
{Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert $A = (1.5, \ \, 2)$?
+
{Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert&nbsp; $A = (1.5, \ \, 2)$?
 
|type="()"}
 
|type="()"}
- Zum Entscheidungsgebiet $I_0$,
+
- Zum Entscheidungsgebiet&nbsp; $I_0$,
+ zum Entscheidungsgebiet $I_1$.
+
+ zum Entscheidungsgebiet&nbsp; $I_1$.
  
{Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert $B = (3, \ \, 3.5)$?
+
{Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert&nbsp; $B = (3, \ \, 3.5)$?
 
|type="()"}
 
|type="()"}
+ Zum Entscheidungsgebiet $I_0$,
+
+ Zum Entscheidungsgebiet&nbsp; $I_0$,
- zum Entscheidungsgebiet $I_1$.
+
- zum Entscheidungsgebiet&nbsp; $I_1$.
  
{Wie lautet die Gleichung der Entscheidungsgeraden für ${\rm Pr}(m_0) = 0.817, \sigma_n = 1$?
+
{Wie lautet die Gleichung der Entscheidungsgeraden für&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = 0.817, \sigma_n = 1$?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
 
- $\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8$,
 
- $\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8$,
Zeile 60: Zeile 63:
 
- $\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1$.
 
- $\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1$.
  
{Welche Entscheidungen werden mit diesen neuen Regionen $I_0$ und $I_1$ getroffen?
+
{Welche Entscheidungen werden mit diesen neuen Regionen&nbsp; $I_0$&nbsp; und&nbsp; $I_1$&nbsp; getroffen?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Der Empfangsvektor $A$ wird als Nachricht $m_0$ interpretiert.
+
+ Der Empfangsvektor&nbsp; $A$&nbsp; wird als Nachricht &nbsp;$m_0$&nbsp; interpretiert.
- Der Empfangsvektor $A$ wird als Nachricht $m_1$ interpretiert.
+
- Der Empfangsvektor &nbsp;$A$&nbsp; wird als Nachricht &nbsp;$m_1$&nbsp; interpretiert.
+ Der Empfangsvektor $B$ wird als Nachricht $m_0$ interpretiert.
+
+ Der Empfangsvektor &nbsp;$B$&nbsp; wird als Nachricht &nbsp;$m_0$&nbsp; interpretiert.
- Der Empfangsvektor $B$ wird als Nachricht $m_1$ interpretiert.
+
- Der Empfangsvektor &nbsp;$B$&nbsp; wird als Nachricht &nbsp;$m_1$&nbsp; interpretiert.
 
</quiz>
 
</quiz>
  

Version vom 12. März 2019, 18:14 Uhr

Signalraumkonstellation mit
$N = 2, \ M = 2$

Wie betrachten ein binäres Nachrichtensystem  $(M = 2)$, das durch die gezeichnete 2D–Signalraumkonstellation  $(N = 2)$  festliegt. Für die beiden möglichen Sendevektoren, die mit den Nachrichten  $m_0$  und  $m_1$  direkt gekoppelt sind, gilt:

$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm} \sqrt {E} \cdot (1,\hspace{0.1cm} 5) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0 \hspace{0.05cm},$$
$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm} \sqrt {E} \cdot (4, \hspace{0.1cm}1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1 \hspace{0.05cm}.$$

Gesucht ist jeweils die optimale Entscheidungsgrenze zwischen den Regionen  $I_0 ⇔ m_0$  und  $I_1 ⇔ m_1$, wobei von folgenden Voraussetzungen ausgegangen wird:

  • Für die Teilaufgaben (1) bis (3) gilt
$${\rm Pr}(m_0 ) = {\rm Pr}(m_1 ) = 0.5 \hspace{0.05cm}. $$
  • Für die Teilaufgaben (4) und (5) soll dagegen gelten:
$${\rm Pr}(m_0 ) = 0.817 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(m_1 ) = 0.183\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 1.5 \hspace{0.05cm}.$$

Bei AWGN–Rauschen mit Varianz  $\sigma_n^2$  ist die Entscheidungsgrenze die Lösung folgender vektoriellen Gleichung hinsichtlich des Vektors  $(\rho_1, \rho_2)$:

$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \boldsymbol{ \rho } = (\rho_1 , \hspace{0.1cm}\rho_2 )\hspace{0.05cm}.$$

Zusätzlich sind in der Grafik zwei Empfangswerte

$$\boldsymbol{ A }= \sqrt {E} \cdot (1.5, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B }= \sqrt {E} \cdot (3, \hspace{0.1cm}3.5) $$

eingezeichnet. Es ist zu überprüfen, ob diese bei den entsprechenden Randbedingungen den Regionen  $I_0$  $($und damit der Nachricht $m_0)$  oder  $I_1$  $($Nachricht $m_1)$  zugeordnet werden sollten.



Hinweise:


Fragebogen

1

Wo liegt die optimale Entscheidergrenze bei gleichwahrscheinlichen Symbolen? Bei

$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8$,
$\rho_2 = \, –4/3 \cdot \rho_1 + 19/3$,
$\rho_2 = 3$.

2

Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert  $A = (1.5, \ \, 2)$?

Zum Entscheidungsgebiet  $I_0$,
zum Entscheidungsgebiet  $I_1$.

3

Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert  $B = (3, \ \, 3.5)$?

Zum Entscheidungsgebiet  $I_0$,
zum Entscheidungsgebiet  $I_1$.

4

Wie lautet die Gleichung der Entscheidungsgeraden für  ${\rm Pr}(m_0) = 0.817, \sigma_n = 1$?

$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8$,
$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 3/4$,
$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 3/2$,
$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1$.

5

Welche Entscheidungen werden mit diesen neuen Regionen  $I_0$  und  $I_1$  getroffen?

Der Empfangsvektor  $A$  wird als Nachricht  $m_0$  interpretiert.
Der Empfangsvektor  $A$  wird als Nachricht  $m_1$  interpretiert.
Der Empfangsvektor  $B$  wird als Nachricht  $m_0$  interpretiert.
Der Empfangsvektor  $B$  wird als Nachricht  $m_1$  interpretiert.


Musterlösung

(1)  Mit ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die Gleichung der Begrenzungsgeraden zwischen den Entscheidungsgebieten $I_0$ und $I_1$:

$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$

Mit den gegebenen Vektorwerten, also den Zahlenwerten

$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 = 4^2 + 1^2 = 17\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} || \boldsymbol{ s }_0||^2 = 1^2 + 5^2 = 26\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0 = (3,\hspace{0.1cm}-4) \hspace{0.05cm}$$

erhält man folgende Gleichung für die Entscheidungsgrenzen:

$$3 \cdot \rho_1 - 4 \cdot \rho_2 = ({17-26})/{2} = - {9}/{2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8 \hspace{0.05cm}.$$
Entscheidungsgerade und Entscheidungsregionen

Die Entscheidungsgrenze liegt in der Mitte zwischen $s_0$ und $s_1$ und verläuft um $90^\circ$ gedreht gegenüber der Verbindungslinie zwischen den beiden Symbolen. Sie geht durch den Punkt $(2.5, \ \, 3)$. Richtig ist also der erste Lösungsvorschlag.

Der Vorschlag 2 beschreibt dagegen die Verbindungsgerade selbst und $\rho_2 = 3$ ist eine Horizontale.


(2)  Das Entscheidungsgebiet $I_1$ sollte natürlich den Punkt $s_1$ beinhalten  ⇒  Gebiet unterhalb der Entscheidungsgeraden. Punkt $A = (1.5, \ \, 2)$ gehört zu diesem Entscheidungsgebiet, wie aus der Grafik hervorgeht. Rechnerisch lässt sich dies zeigen, da die Entscheidungsgerade zum Beispiel durch den Punkt $(1.5, \ \, 2.25)$ geht und somit $(1.5, \ \, 2)$ unterhalb der Entscheidungsgeraden liegt. Richtig ist also der Lösungsvorschlag 2.


(3)  Die Entscheidungsgerade geht auch durch den Punkt $(3, \ \, 3.375)$. $B = (3, \ \, 3.5)$ liegt oberhalb und gehört somit zum Entscheidungsgebiet $I_0$ entsprechend Lösungsvorschlag 1.


(4)  Entsprechend der Gleichung auf dem Angabenblatt und den Berechnungen zur Teilaufgabe (1) gilt nun:

Entscheidungsgebiete für verschiedene Randbedingungen
$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$

Mit $|| \boldsymbol{ s }_1||^2 = 17$, $|| \boldsymbol{ s }_0||^2 = 26$, $ \boldsymbol{ s }_1 \, –\boldsymbol{ s }_0 = (3, \ \, –4)$ erhält man:

$$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8 - K /8 \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist folgende Abkürzung verwendet worden:

$$K = 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 2 \cdot 1^2 \cdot 1.5 = 3 \hspace{0.05cm}.$$

Daraus folgt weiter:

$$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8 - 3 /8 = 3/4 \cdot \rho_1 + 3/4 \hspace{0.05cm}.$$

Die Entscheidungsgerade ist um $3/8$ nach unten verschoben (schwarze Kurve, mit „$K = 3$” bezeichnet in der Grafik). Richtig ist also der Lösungsvorschlag 2.

  • Die erste Gleichung beschreibt die optimale Entscheidungsgrenze für gleichwahrscheinliche Symbole ($K = 0$, grau gestrichelt).
  • Die dritte Gleichung gilt für $K = \, –3$. Diese ergibt sich mit $\sigma_n^2 = 1$ für die Symbolwahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(m_1) \approx 0.817$ und ${\rm Pr}(m_0) \approx 0.138$ (grüne Kurve).
  • Die violette Gerade ergibt sich mit $K = 9$, also zum Beispiel bei gleichen Wahrscheinlichkeiten wie für die schwarze Kurve, aber nun mit der Varianz $\sigma_n^2 = 3$.


(5)  Bereits aus obiger Grafik erkennt man, dass nun sowohl $A$ als auch $B$ zur Entscheidungsregion $I_0$ gehören. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 3.