Aufgaben:Aufgabe 3.4: Entropie für verschiedene Wahrscheinlichkeiten: Unterschied zwischen den Versionen
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− | In der ersten Zeile der nebenstehenden Tabelle ist die im Folgenden die mit | + | In der ersten Zeile der nebenstehenden Tabelle ist die im Folgenden die mit $\rm (a)$ bezeichnete Wahrscheinlichkeitsfunktion angegeben. Für diese PMF $P_X(X) = \big [0.1, \ 0.2, \ 0.3, \ 0.4 \big ]$ soll soll in der Teilaufgabe '''(1)''' die Entropie berechnet werden: |
− | :$$H_{\rm a}(X) = {\rm E} \ | + | :$$H_{\rm a}(X) = {\rm E} \big [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{X}(X)}\big ]= - {\rm E} \big [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}{P_{X}(X)}\big ].$$ |
Da hier der Logarithmus zur Basis 2 verwendet wird, ist die Pseudo–Einheit „bit” anzufügen. | Da hier der Logarithmus zur Basis 2 verwendet wird, ist die Pseudo–Einheit „bit” anzufügen. | ||
In den weiteren Aufgaben sollen jeweils einige Wahrscheinlichkeiten variiert werden und zwar derart, dass sich jeweils die größtmögliche Entropie ergibt: | In den weiteren Aufgaben sollen jeweils einige Wahrscheinlichkeiten variiert werden und zwar derart, dass sich jeweils die größtmögliche Entropie ergibt: | ||
− | * Durch geeignete Variation von $p_3$ und $p_4$ kommt man zur maximalen Entropie $H_{\rm b}(X)$ unter der Voraussetzung $p_1 = 0.1$ und $p_2 = 0.2$ ⇒ Teilaufgabe (2). | + | * Durch geeignete Variation von $p_3$ und $p_4$ kommt man zur maximalen Entropie $H_{\rm b}(X)$ unter der Voraussetzung $p_1 = 0.1$ und $p_2 = 0.2$ ⇒ Teilaufgabe '''(2)'''. |
− | * Durch geeignete Variation von $p_2$ und $p_3$ kommt man zur maximalen Entropie $H_{\rm c}(X)$ unter der Voraussetzung $p_1 = 0.1$ und $p_4 = 0.4$ ⇒ Teilaufgabe (3). | + | * Durch geeignete Variation von $p_2$ und $p_3$ kommt man zur maximalen Entropie $H_{\rm c}(X)$ unter der Voraussetzung $p_1 = 0.1$ und $p_4 = 0.4$ ⇒ Teilaufgabe '''(3)'''. |
− | * In der Teilaufgabe (4) sind alle vier Parameter zur Variation freigegeben, die entsprechend der maximalen Entropie ⇒ $H_{\rm max}(X)$ zu bestimmen sind. | + | * In der Teilaufgabe '''(4)''' sind alle vier Parameter zur Variation freigegeben, die entsprechend der maximalen Entropie ⇒ $H_{\rm max}(X)$ zu bestimmen sind. |
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− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]]. |
− | *Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Entropie|Wahrscheinlichkeitsfunktion undEntropie]]. | + | *Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Entropie|Wahrscheinlichkeitsfunktion undEntropie]]. |
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− | {Zu welcher Entropie führt die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X) = [ 0.1, 0.2, 0.3, 0.4]$ ? | + | {Zu welcher Entropie führt die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X) = \big [ 0.1, \ 0.2, \ 0.3, \ 0.4 \big ]$ ? |
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− | {Es gelte nun allgemein $P_X(X) = [ 0.1, 0.2, p_3, p_4]$. Welche Entropie erhält man, wenn $p_3$ und $p_4$ bestmöglich gewählt werden? | + | {Es gelte nun allgemein $P_X(X) = \big [ 0.1, \ 0.2, \ p_3, \ p_4\big ]$. Welche Entropie erhält man, wenn $p_3$ und $p_4$ bestmöglich gewählt werden? |
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$H_{\rm b}(X) \ = \ $ { 1.857 0.5% } $\ \rm bit$ | $H_{\rm b}(X) \ = \ $ { 1.857 0.5% } $\ \rm bit$ | ||
− | { Nun gelte $P_X(X) = [ 0.1, p_2, p_3, 0.4]$. Welche Entropie erhält man, wenn $p_2$ und $p_3$ bestmöglich gewählt werden? | + | { Nun gelte $P_X(X) = \big [ 0.1, \ p_2, \ p_3, \ 0.4 \big ]$. Welche Entropie erhält man, wenn $p_2$ und $p_3$ bestmöglich gewählt werden? |
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$H_{\rm c}(X) \ = \ $ { 1.861 0.5% } $\ \rm bit$ | $H_{\rm c}(X) \ = \ $ { 1.861 0.5% } $\ \rm bit$ | ||
− | { Welche Entropie erhält man, wenn alle Wahrscheinlichkeiten ($p_1 | + | { Welche Entropie erhält man, wenn alle Wahrscheinlichkeiten ($p_1, \ p_2 , \ p_3, \ p_4$) bestmöglich gewählt werden Können ? |
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$H_{\rm max}(X) \ = \ $ { 2 1% } $\ \rm bit$ | $H_{\rm max}(X) \ = \ $ { 2 1% } $\ \rm bit$ |
Version vom 8. Oktober 2018, 15:25 Uhr
In der ersten Zeile der nebenstehenden Tabelle ist die im Folgenden die mit $\rm (a)$ bezeichnete Wahrscheinlichkeitsfunktion angegeben. Für diese PMF $P_X(X) = \big [0.1, \ 0.2, \ 0.3, \ 0.4 \big ]$ soll soll in der Teilaufgabe (1) die Entropie berechnet werden:
- $$H_{\rm a}(X) = {\rm E} \big [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{X}(X)}\big ]= - {\rm E} \big [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}{P_{X}(X)}\big ].$$
Da hier der Logarithmus zur Basis 2 verwendet wird, ist die Pseudo–Einheit „bit” anzufügen.
In den weiteren Aufgaben sollen jeweils einige Wahrscheinlichkeiten variiert werden und zwar derart, dass sich jeweils die größtmögliche Entropie ergibt:
- Durch geeignete Variation von $p_3$ und $p_4$ kommt man zur maximalen Entropie $H_{\rm b}(X)$ unter der Voraussetzung $p_1 = 0.1$ und $p_2 = 0.2$ ⇒ Teilaufgabe (2).
- Durch geeignete Variation von $p_2$ und $p_3$ kommt man zur maximalen Entropie $H_{\rm c}(X)$ unter der Voraussetzung $p_1 = 0.1$ und $p_4 = 0.4$ ⇒ Teilaufgabe (3).
- In der Teilaufgabe (4) sind alle vier Parameter zur Variation freigegeben, die entsprechend der maximalen Entropie ⇒ $H_{\rm max}(X)$ zu bestimmen sind.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen.
- Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite Wahrscheinlichkeitsfunktion undEntropie.
Fragebogen
Musterlösung
- $$H_{\rm a}(X) = 0.1 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} + 0.2 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.2} + 0.3 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.3} + 0.4 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.4} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.846} \hspace{0.05cm}.$$
Hier (und bei den anderen Aufgaben) ist jeweils die Pseudo–Einheit „bit” anzufügen.
(2) Die Entropie $H_{\rm b}(X)$ lässt sich als Summe zweier Anteile $H_{\rm b1}(X)$ und $H_{\rm b2}(X)$ darstellen, mit:
- $$H_{\rm b1}(X) = 0.1 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} + 0.2 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.2} = 0.797 \hspace{0.05cm},$$
- $$H_{\rm b2}(X) = p_3 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_3} + (0.7-p_3) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.7-p_3} \hspace{0.05cm}.$$
Die zweite Funktion ist maximal für $p_3 = p_4 = 0.35$. Ein ähnlicher Zusammenhang hat sich bei der binären Entropiefunktion ergeben. Damit erhält man:
- $$H_{\rm b2}(X) = 2 \cdot p_3 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_3} = 0.7 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.35} = 1.060$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm b}(X) = H_{\rm b1}(X) + H_{\rm b2}(X) = 0.797 + 1.060 \hspace{0.15cm} \underline {= 1.857} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Analog zur Teilaufgabe (2) ergibt sich mit $p_1 = 0.1$, $p_4 = 0.4$ das Maximum für $p_2 = p_3 = p_3 = 0.25$:
- $$H_{\rm c}(X) = 0.1 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} + 2 \cdot 0.25 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.25} + 0.4 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.4} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.861} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Die maximale Entropie für den Symbolumfang $M=4$ ergibt sich bei gleichen Wahrscheinlichkeiten ( $p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = 0.25$):
- $$H_{\rm max}(X) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} M \hspace{0.15cm} \underline {= 2} \hspace{0.05cm}.$$
Die Differenz der Entropien entsprechend (4) und (3) ergibt ${\it \Delta} H(X) = 0.139 \ \rm bit$. Hierbei gilt:
- $${\it \Delta} H(X) = 1- 0.1 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} - 0.4 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.4} \hspace{0.05cm}.$$
Mit der binären Entropiefunktion
$$H_{\rm bin}(p) = p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p} + (1-p) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1-p}$$
lässt sich hierfür auch schreiben:
$${\it \Delta} H(X) = 0.5 \cdot \left [ 1- H_{\rm bin}(0.2) \right ] = 0.5 \cdot \left [ 1- 0.722 \right ] = 0.139 \hspace{0.05cm}.$$