Aufgaben:Aufgabe 3.6Z: Komplexe Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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'''1.'''  $G(f)$ ist die Spektralfunktion eines Cosinussignals mit der Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \, \mu\text {s}$:
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'''(1)'''  $G(f)$ ist die Spektralfunktion eines Cosinussignals mit der Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \, \mu\text {s}$:
 
:$$g( t ) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
 
:$$g( t ) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
 
Bei $t = 1 \, \mu\text {s}$ ist der Signalwert gleich $A \cdot \cos(\pi /4)$:
 
Bei $t = 1 \, \mu\text {s}$ ist der Signalwert gleich $A \cdot \cos(\pi /4)$:
*Realteil $\text{Re}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$,  
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*Der Realteil ist $\text{Re}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$,  
*Imaginärteil $\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.}$.
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*der Imaginärteil ist $\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.}$
  
  
'''2.''' Ausgehend von der Fourierkorrespondenz
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:$$A \cdot {\rm \delta} ( f )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, A$$
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'''(2)'''  Ausgehend von der Fourierkorrespondenz
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:$$A \cdot {\rm \delta} ( f )\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ A$$
 
erhält man durch zweimalige Anwendung des Verschiebungssatzes (im Frequenzbereich):
 
erhält man durch zweimalige Anwendung des Verschiebungssatzes (im Frequenzbereich):
:$$U( f ) = {A}/{2} \cdot \delta ( {f - f_0 } ) - {A}/{2} \cdot \delta ( {f + f_0 } )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, u( t ) = {A}/{2} \cdot \left( {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t}  - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} } \right).$$
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:$$U( f ) = {A}/{2} \cdot \delta ( {f - f_0 } ) - {A}/{2} \cdot \delta ( {f + f_0 } )\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ u( t ) = {A}/{2} \cdot \left( {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t}  - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} } \right).$$
 
Nach dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]] kann hierfür auch geschrieben werden:
 
Nach dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]] kann hierfür auch geschrieben werden:
 
:$$u( t ) = {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
 
:$$u( t ) = {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
*Der <u>Realteil dieses Signals ist stets $0$</u>.  
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*Der <u>Realteil dieses Signals ist stets Null</u>.  
 
*Bei $t = 1 \, \mu\text {s}$ gilt für den Imaginärteil: $\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$.
 
*Bei $t = 1 \, \mu\text {s}$ gilt für den Imaginärteil: $\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$.
  
  
'''3.'''  Wegen $X(f) = G(f)  + U(f)$ gilt auch:
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'''(3)'''&nbsp; Wegen $X(f) = G(f)  + U(f)$ gilt auch:
 
:$$x(t) = g(t) + u(t) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ) + {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
 
:$$x(t) = g(t) + u(t) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ) + {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
 
Dieses Ergebnis kann mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]  wie folgt zusammengefasst werden:
 
Dieses Ergebnis kann mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]  wie folgt zusammengefasst werden:
 
:$$x(t) = A \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} .$$
 
:$$x(t) = A \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} .$$
Richtig sind die vorgegebenen <u>Alternativen 1 und 3</u>.
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Richtig sind die vorgegebenen <u>Alternativen 1 und 3</u>:
 
*Das Signal dreht in der komplexen Ebene in mathematisch positiver Richtung, also entgegen dem Uhrzeigersinn.  
 
*Das Signal dreht in der komplexen Ebene in mathematisch positiver Richtung, also entgegen dem Uhrzeigersinn.  
 
*Für eine Umdrehung benötigt der „Zeiger” die Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \, \mu\text {s}$.  
 
*Für eine Umdrehung benötigt der „Zeiger” die Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \, \mu\text {s}$.  

Version vom 17. Januar 2018, 16:50 Uhr

komplexe Exponentialfunktion, Cosinus und Sinus (alle im Spektralbereich)

In Zusammenhang mit den Bandpass-Systemen wird oft mit einseitigen Spektren gearbeitet. In der Abbildung sehen Sie eine solche einseitige Spektralfunktion ${X(f)}$, die ein komplexes Zeitsignal ${x(t)}$ zur Folge hat.

In der unteren Skizze ist ${X(f)}$ in einen – bezüglich der Frequenz – geraden Anteil ${G(f)}$ sowie einen ungeraden Anteil ${U(f)}$ aufgespaltet.



Hinweise:


Fragebogen

1

Wie lautet die zu $G(f)$ passende Zeitfunktion $g(t)$? Wie groß ist $g(t = 1 \, \mu \text {s})$?

$\text{Re}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] \ = \ $

 $\text{V}$
$\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})]\ = \ $

 $\text{V}$

2

Wie lautet die zu $U(f)$ passende Zeitfunktion $u(t)$? Wie groß ist $u(t = 1 \, \mu \text {s})$?

$\text{Re}[u(t = 1 \, \mu \text {s})]\ = \ $

 $\text{V}$
$\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})]\ = \ $

 $\text{V}$

3

Welche der Aussagen sind bezüglich des Signals $x(t)$ zutreffend?

Das Signal lautet $x(t) = A \cdot {\rm e}^{{\rm j}2\pi f_0 t}$.
In der komplexen Ebene dreht $x(t)$ im Uhrzeigersinn.
In der komplexen Ebene dreht $x(t)$ entgegen dem Uhrzeigersinn.
Für eine Umdrehung wird eine Mikrosekunde benötigt.


Musterlösung

(1)  $G(f)$ ist die Spektralfunktion eines Cosinussignals mit der Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \, \mu\text {s}$:

$$g( t ) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$

Bei $t = 1 \, \mu\text {s}$ ist der Signalwert gleich $A \cdot \cos(\pi /4)$:

  • Der Realteil ist $\text{Re}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$,
  • der Imaginärteil ist $\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.}$


(2)  Ausgehend von der Fourierkorrespondenz

$$A \cdot {\rm \delta} ( f )\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ A$$

erhält man durch zweimalige Anwendung des Verschiebungssatzes (im Frequenzbereich):

$$U( f ) = {A}/{2} \cdot \delta ( {f - f_0 } ) - {A}/{2} \cdot \delta ( {f + f_0 } )\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ u( t ) = {A}/{2} \cdot \left( {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} } \right).$$

Nach dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:

$$u( t ) = {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
  • Der Realteil dieses Signals ist stets Null.
  • Bei $t = 1 \, \mu\text {s}$ gilt für den Imaginärteil: $\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$.


(3)  Wegen $X(f) = G(f) + U(f)$ gilt auch:

$$x(t) = g(t) + u(t) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ) + {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$

Dieses Ergebnis kann mit dem Satz von Euler wie folgt zusammengefasst werden:

$$x(t) = A \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} .$$

Richtig sind die vorgegebenen Alternativen 1 und 3:

  • Das Signal dreht in der komplexen Ebene in mathematisch positiver Richtung, also entgegen dem Uhrzeigersinn.
  • Für eine Umdrehung benötigt der „Zeiger” die Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \, \mu\text {s}$.