Aufgaben:Aufgabe 2.10: Fehlererkennung bei Reed–Solomon: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei: P_ID2524__KC_A_2_10.png|right|frame|Distanzspektren zweier Reed–Solomon–Codes]]
 
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Bei einem linearen Blockcode können bis zu $e = d_{\rm min} - 1$ Fehler erkannt werden. Bei allen Reed–Solomon–Codes beträgt dabei die minimale Distanz
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:$$d_{\rm min} = n-k+1  \hspace{0.05cm}.$$
  
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Man muss folgende Fälle unterscheiden:
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* Treten nicht mehr als $e = n - k$ Symbolfehler auf, so wird der Block als fehlerhaft erkannt.
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* Die Fehlererkennung kann auch bei mehr als $n - k$ Symbolfehlern noch funktionieren, und zwar dann, wenn das Empfangswort kein gültiges Codewort des Reed–Solomon–Codes ist:
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:$$\underline {y} \notin C_{\rm RS} = \{ \underline {c}_{\hspace{0.05cm}0}, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}, \underline {c}_i,  \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm},  \underline {c}_{\hspace{0.05cm}n -1} \}
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\hspace{0.05cm}. $$
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* Ist aber das verfälschte Empfangswort $(\underline{y} ≠ \underline{c})$ ein gültiges Codewort  ⇒  $\underline{y}$, so bleibt bei der Decodierung der fehlerhafte Block unentdeckt. Wir definieren als Blockfehlerwahrscheinlichkeit.
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:$${\rm Pr}({\rm Blockfehler}) = {\rm Pr}(\underline {y} \ne \underline {c})
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\hspace{0.05cm}.$$
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In dieser Aufgabe soll diese Wahrscheinlichkeit für folgende Codes ermittelt werden:
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* Reed–Solomon–Code $(7, \, 3, \, 5)_8 \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 5$,
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* Reed–Solomon–Code $(7, \, 5, \, 3)_8 \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 3$.
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Weiterhin soll gelten:
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* Jedes Symbol wird mit der Wahrscheinlichkeit $\epsilon_{\rm S} = 0.1$ in ein anderes Symbol verfälscht und mit der Wahrscheinlichkeit $1 - \epsilon_{\rm S} = 0.9$ richtig übertragen.
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* Für das Distanzspektrum eines Reed–Solomon–Codes der Länge $n$ gilt mit $d = d_{\rm min}$:
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:$$W_i =  {n \choose i} \cdot \sum_{j = 0}^{i-d}\hspace{0.15cm}(-1)^j \cdot {i \choose j} \cdot \big  [\hspace{0.03cm}q^{i\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}j\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}d\hspace{0.03cm}+\hspace{0.03cm}1}-1 \hspace{0.03cm} \big ]\hspace{0.05cm}.$$
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Daneben sollen zwei Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit betrachtet und bewertet werden:
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* Ist allein die minimale Distanz bekannt, so kann man daraus eine <i>obere Schranke</i> ableiten. Die Gewichtsfaktoren $W_i$ sind dabei so zu wählen, dass sicher (&#8658; bei allen Konstellationen) gilt:
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:$${\rm Pr}({\rm Obere\hspace{0.15cm} Schranke}) \ge {\rm Pr}({\rm Blockfehler})
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\hspace{0.05cm}. $$
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* Eine <i>untere Schranke</i> erfordert zusätzlich die Kenntnis der Gewichtsfunktion $W_i$ für $i = d_{\rm min}$. Damit kann folgende Bedingung erfüllt werden:
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:$${\rm Pr}({\rm Untere\hspace{0.15cm} Schranke}) \le {\rm Pr}({\rm Blockfehler})
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\hspace{0.05cm}.$$
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''Hinweise:''
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes|Definition und Eigenschaften von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes]].
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* Zu berechnen sind die in der obigen Grafik rot markierten Gewichte $W_i$.
  
  

Version vom 16. Dezember 2017, 17:53 Uhr

Distanzspektren zweier Reed–Solomon–Codes

Bei einem linearen Blockcode können bis zu $e = d_{\rm min} - 1$ Fehler erkannt werden. Bei allen Reed–Solomon–Codes beträgt dabei die minimale Distanz

$$d_{\rm min} = n-k+1 \hspace{0.05cm}.$$

Man muss folgende Fälle unterscheiden:

  • Treten nicht mehr als $e = n - k$ Symbolfehler auf, so wird der Block als fehlerhaft erkannt.
  • Die Fehlererkennung kann auch bei mehr als $n - k$ Symbolfehlern noch funktionieren, und zwar dann, wenn das Empfangswort kein gültiges Codewort des Reed–Solomon–Codes ist:
$$\underline {y} \notin C_{\rm RS} = \{ \underline {c}_{\hspace{0.05cm}0}, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}, \underline {c}_i, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}, \underline {c}_{\hspace{0.05cm}n -1} \} \hspace{0.05cm}. $$
  • Ist aber das verfälschte Empfangswort $(\underline{y} ≠ \underline{c})$ ein gültiges Codewort  ⇒  $\underline{y}$, so bleibt bei der Decodierung der fehlerhafte Block unentdeckt. Wir definieren als Blockfehlerwahrscheinlichkeit.
$${\rm Pr}({\rm Blockfehler}) = {\rm Pr}(\underline {y} \ne \underline {c}) \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe soll diese Wahrscheinlichkeit für folgende Codes ermittelt werden:

  • Reed–Solomon–Code $(7, \, 3, \, 5)_8 \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 5$,
  • Reed–Solomon–Code $(7, \, 5, \, 3)_8 \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 3$.


Weiterhin soll gelten:

  • Jedes Symbol wird mit der Wahrscheinlichkeit $\epsilon_{\rm S} = 0.1$ in ein anderes Symbol verfälscht und mit der Wahrscheinlichkeit $1 - \epsilon_{\rm S} = 0.9$ richtig übertragen.
  • Für das Distanzspektrum eines Reed–Solomon–Codes der Länge $n$ gilt mit $d = d_{\rm min}$:
$$W_i = {n \choose i} \cdot \sum_{j = 0}^{i-d}\hspace{0.15cm}(-1)^j \cdot {i \choose j} \cdot \big [\hspace{0.03cm}q^{i\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}j\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}d\hspace{0.03cm}+\hspace{0.03cm}1}-1 \hspace{0.03cm} \big ]\hspace{0.05cm}.$$

Daneben sollen zwei Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit betrachtet und bewertet werden:

  • Ist allein die minimale Distanz bekannt, so kann man daraus eine obere Schranke ableiten. Die Gewichtsfaktoren $W_i$ sind dabei so zu wählen, dass sicher (⇒ bei allen Konstellationen) gilt:
$${\rm Pr}({\rm Obere\hspace{0.15cm} Schranke}) \ge {\rm Pr}({\rm Blockfehler}) \hspace{0.05cm}. $$
  • Eine untere Schranke erfordert zusätzlich die Kenntnis der Gewichtsfunktion $W_i$ für $i = d_{\rm min}$. Damit kann folgende Bedingung erfüllt werden:
$${\rm Pr}({\rm Untere\hspace{0.15cm} Schranke}) \le {\rm Pr}({\rm Blockfehler}) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:


Fragebogen

1

Multiple-Choice

correct
false

2

Input-Box Frage

$xyz \ = \ $

$ab$


Musterlösung

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)