Aufgaben:Aufgabe 2.3: cos- und sin-Anteil: Unterschied zwischen den Versionen
K (Guenter verschob die Seite 2.3 cos- und sin-Anteil nach Aufgabe 2.3: cos- und sin-Anteil) |
|||
Zeile 3: | Zeile 3: | ||
}} | }} | ||
− | [[Datei: P_ID278_Sig_A_2_3neu.png|right|Spektrum von Cosinus- und Sinusanteilen]] | + | [[Datei: P_ID278_Sig_A_2_3neu.png|right|frame|Spektrum von Cosinus- und Sinusanteilen]] |
− | Gegeben ist das Amplitudenspektrum $X(f)$ eines Signals $x(t)$ entsprechend der | + | Gegeben ist das Amplitudenspektrum $X(f)$ eines Signals $x(t)$ entsprechend der Grafik. |
Die Normierungsfrequenz sei $f_1 = 4\,\text{kHz}$ . Damit liegen die tatsächlichen Frequenzen der Signalanteile bei $0\,\text{kHz}$, $4\,\text{kHz}$ und $10\,\text{kHz}$ . | Die Normierungsfrequenz sei $f_1 = 4\,\text{kHz}$ . Damit liegen die tatsächlichen Frequenzen der Signalanteile bei $0\,\text{kHz}$, $4\,\text{kHz}$ und $10\,\text{kHz}$ . | ||
Zeile 11: | Zeile 11: | ||
$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{\rm d \it x(t)}{\rm d \it t}.$$ | $$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{\rm d \it x(t)}{\rm d \it t}.$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
Zeile 24: | Zeile 27: | ||
{Geben Sie $x(t)$ analytisch an. Wie groß ist der Signalwert bei $t = 0$? | {Geben Sie $x(t)$ analytisch an. Wie groß ist der Signalwert bei $t = 0$? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $x(t=0)$ | + | $x(t=0)\ = \ $ { 1 3% } ${\rm V}$ |
{Wie groß ist die Periodendauer des Signals $x(t)$? | {Wie groß ist die Periodendauer des Signals $x(t)$? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $T_0$ | + | $T_0\ = \ $ { 0.5 3% } ${\rm ms}$ |
{Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 0$? | {Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 0$? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $y(t=0)$ | + | $y(t=0)\ = \ $ { 10 3% } ${\rm V}$ |
− | {Welche der | + | {Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich des Signals $y(t)$ bzw. seines Spektrums $Y(f)$ zutreffend? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
+ $y(t)$ hat die gleiche Periodendauer wie das Signal $x(t)$. | + $y(t)$ hat die gleiche Periodendauer wie das Signal $x(t)$. | ||
Zeile 46: | Zeile 49: | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''1 | + | '''(1)''' Das Zeitsignal hat die folgende Form: |
$$x(t)={\rm 3V}-{\rm 2V}\cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)+{\rm 4V} \cdot \sin(2.5 \cdot \omega_{\rm 1} \cdot t).$$ | $$x(t)={\rm 3V}-{\rm 2V}\cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)+{\rm 4V} \cdot \sin(2.5 \cdot \omega_{\rm 1} \cdot t).$$ | ||
Zeile 52: | Zeile 55: | ||
Hierbei bezeichnet $\omega_1 = 2\pi f_1$ die Kreisfrequenz des Cosinusanteils. Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat das Signal den Wert $\underline{1\,\rm V}$. | Hierbei bezeichnet $\omega_1 = 2\pi f_1$ die Kreisfrequenz des Cosinusanteils. Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat das Signal den Wert $\underline{1\,\rm V}$. | ||
− | [[Datei:P_ID293__Sig_A_2_3_a.png|Summensignal aus Cosinus- und Sinusanteilen]] | + | [[Datei:P_ID293__Sig_A_2_3_a.png|frame|Summensignal aus Cosinus- und Sinusanteilen]] |
− | '''2 | + | '''(2)''' Die Grundfrequenz $f_0$ ist der kleinste gemeinsame Teiler von $f_1 = 4{\,\rm kHz}$ und $2.5 · f_1 = 10{\,\rm kHz}$ $2.5 · f_1$. Daraus folgt $f_1 = 4{\,\rm kHz}$ ⇒ Periodendauer $T_0 = 1/f_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.5 {\,\rm ms}}$. |
− | [[Datei:P_ID294__Sig_A_2_3_d_neu.png|right|300px|Spektrum mit diskreten Anteilen]] | + | [[Datei:P_ID294__Sig_A_2_3_d_neu.png|right|300px|frame|Spektrum mit diskreten Anteilen]] |
− | '''3 | + | '''(3)''' Für das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers gilt: |
$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}x(t)}{{\rm d}t}=\frac{ {\rm -2V}}{\omega_1}\cdot\omega_1 \cdot (-\sin(\omega_1 t))+\frac{\rm 4V}{\omega_1}\cdot 2.5\omega_1\cdot {\rm cos}(2.5\omega_1t).$$ | $$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}x(t)}{{\rm d}t}=\frac{ {\rm -2V}}{\omega_1}\cdot\omega_1 \cdot (-\sin(\omega_1 t))+\frac{\rm 4V}{\omega_1}\cdot 2.5\omega_1\cdot {\rm cos}(2.5\omega_1t).$$ | ||
Zeile 69: | Zeile 72: | ||
Rechts sehen Sie das Spektrum $Y(f)$. | Rechts sehen Sie das Spektrum $Y(f)$. | ||
− | '''4 | + | '''(4)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>: |
*Die Periodendauer $T_0$ wird durch die Amplitude und die Phase der beiden Anteile nicht verändert. Das bedeutet, dass weiterhin $T_0 = 0.5 {\,\rm ms}$ gilt. | *Die Periodendauer $T_0$ wird durch die Amplitude und die Phase der beiden Anteile nicht verändert. Das bedeutet, dass weiterhin $T_0 = 0.5 {\,\rm ms}$ gilt. | ||
*Der Gleichanteil verschwindet aufgrund der Differentiation. | *Der Gleichanteil verschwindet aufgrund der Differentiation. |
Version vom 20. Dezember 2017, 10:52 Uhr
Gegeben ist das Amplitudenspektrum $X(f)$ eines Signals $x(t)$ entsprechend der Grafik. Die Normierungsfrequenz sei $f_1 = 4\,\text{kHz}$ . Damit liegen die tatsächlichen Frequenzen der Signalanteile bei $0\,\text{kHz}$, $4\,\text{kHz}$ und $10\,\text{kHz}$ .
Dieses Signal $x(t)$ liegt am Eingang eines linearen Differenzierers, dessen Ausgang mit $\omega_1 = 2\pi f_1$ wie folgt dargestellt werden kann:
$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{\rm d \it x(t)}{\rm d \it t}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Harmonische Schwingung.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
$$x(t)={\rm 3V}-{\rm 2V}\cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)+{\rm 4V} \cdot \sin(2.5 \cdot \omega_{\rm 1} \cdot t).$$
Hierbei bezeichnet $\omega_1 = 2\pi f_1$ die Kreisfrequenz des Cosinusanteils. Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat das Signal den Wert $\underline{1\,\rm V}$.
(2) Die Grundfrequenz $f_0$ ist der kleinste gemeinsame Teiler von $f_1 = 4{\,\rm kHz}$ und $2.5 · f_1 = 10{\,\rm kHz}$ $2.5 · f_1$. Daraus folgt $f_1 = 4{\,\rm kHz}$ ⇒ Periodendauer $T_0 = 1/f_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.5 {\,\rm ms}}$.
(3) Für das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers gilt:
$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}x(t)}{{\rm d}t}=\frac{ {\rm -2V}}{\omega_1}\cdot\omega_1 \cdot (-\sin(\omega_1 t))+\frac{\rm 4V}{\omega_1}\cdot 2.5\omega_1\cdot {\rm cos}(2.5\omega_1t).$$
Dies führt zum Ergebnis:
$$y(t)={\rm 2V}\cdot\sin(\omega_1 t)+{\rm 10V}\cdot\cos(2.5\omega_1 t).$$
Für $t = 0$ ergibt sich der Wert $\underline{10\,\rm V}$. Rechts sehen Sie das Spektrum $Y(f)$.
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:
- Die Periodendauer $T_0$ wird durch die Amplitude und die Phase der beiden Anteile nicht verändert. Das bedeutet, dass weiterhin $T_0 = 0.5 {\,\rm ms}$ gilt.
- Der Gleichanteil verschwindet aufgrund der Differentiation.
- Der Anteil bei $f_1$ ist sinusförmig. Somit hat $X(f)$ einen (imaginären) Dirac bei $f = f_1$, jedoch mit negativem Vorzeichen.
- Der Cosinusanteil mit der Amplitude ${10\,\rm V}$ hat die beiden Diracfunktionen bei $\pm 2.5 \cdot f_1$ zur Folge, jeweils mit dem Gewicht ${5\,\rm V}$ .