Aufgaben:Aufgabe 2.5Z: Mehrwege-Szenario: Unterschied zwischen den Versionen
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− | '''(3)''' Die Dopplerfrequenz $f_{\rm D} = 50 \ \rm Hz$ rührt vom blauen Pfad her, da sich der Empfänger irgendwie auf den virtuellen Sender ${\rm S}_2$ (beim Reflexionspunkt) zubewegt, wenn auch nicht in direkter Richtung. Der Winkel $\alpha_2$ zwischen der Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie ${\rm S_2 | + | '''(3)''' Die Dopplerfrequenz $f_{\rm D} = 50 \ \rm Hz$ rührt vom blauen Pfad her, da sich der Empfänger irgendwie auf den virtuellen Sender ${\rm S}_2$ (beim Reflexionspunkt) zubewegt, wenn auch nicht in direkter Richtung. Der Winkel $\alpha_2$ zwischen der Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie ${\rm S_2 – E}$ beträgt $60°$: |
:$$\cos(\alpha_2) = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot \frac{c}{v} = \frac{50 \,{\rm Hz}\cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}\cdot 15\,{\rm m/s}} = 0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_2 | :$$\cos(\alpha_2) = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot \frac{c}{v} = \frac{50 \,{\rm Hz}\cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}\cdot 15\,{\rm m/s}} = 0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_2 | ||
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Version vom 20. November 2017, 09:28 Uhr
In Aufgabe A2.5 war die Verzögerungs–Doppler–Funktion vorgegeben. Daraus sollte man die anderen Systemfunktionen berechnen und interpretieren. Die Vorgabe für die Scatterfunktion $s(\tau_0, f_{\rm D})$ lautete:
- $$s(\tau_0, f_{\rm D}) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau_0) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz})$$
- $$\hspace{-0.2cm} \ - \ \hspace{-0.2cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz})$$
- $$\hspace{-0.2cm} \ - \ \hspace{-0.2cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D}\hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz}) \hspace{0.05cm}.$$
Hinweis: In unserem Lerntutorial wird $s(\tau_0, f_{\rm D})$ auch mit $\eta_{\rm VD}(\tau_0, f_{\rm D})$ bezeichnet.
Wir haben hier die Verzögerungsvariable $\tau$ durch $\tau_0$ ersetzt. Dabei beschreibt die neue Variable $\tau_0$ die Differenz zwischen der Laufzeit eines Pfades und der Laufzeit $\tau_1$ des Hauptpfades. Der Hauptpfad ist somit in obiger Gleichung durch $\tau_0 = 0$ gekennzeichnet.
Nun wird versucht, ein Mobilfunkszenario zu finden, bei dem tatsächlich dieses Scatterfunktion auftreten würde. Die Grundstruktur ist dabei oben als Draufsicht skizziert, und es gilt:
- Gesendet wird eine einzige Frequenz $f_{\rm S} = 2 \ \rm GHz$.
- Der mobile Empfänger (E) ist hier durch einen gelben Punkt dargestellt. Nicht bekannt ist, ob das Fahrzeugt steht, sich auf den Sender (S) zu bewegt oder sich von diesem entfernt.
- Das Signal gelangt über einen Hauptpfad (rot) und zwei Nebenpfaden (blau und grün) zum Empfänger. Reflexionen an den Hindernissen führen jeweils zu Phasendrehungen um $\pi$.
- ${\rm S}_2$ und ${\rm S}_3$ sind hier als fiktive Sender zu verstehen, aus deren Lage die Auftreffwinkel $\alpha_2$ und $\alpha_3$ der Nebenpfade ermittelt werden können.
- Für die Dopplerfrequenz gilt mit der Signalfrequenz $f_{\rm S}$, dem Winkel $\alpha$, der Geschwindigkeit $\upsilon$ und der Lichtgeschwindigkeit $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$:
- $$f_{\rm D}= {v}/{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
- Die Dämpfungsfaktoren $k_1$, $k_2$ und $k_3$ sind umgekehrt proportional zu den Pfadlängen $d_1$, $d_2$ und $d_3$. Dies entspricht dem Pfadverlustexponenten $\gamma = 2$: Die Signalleistung nimmt quadratisch mit der Distanz $d$ ab und dementsprechend die Signalamplitude linear mit $d$.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Das GWSSUS–Kanalmodell und bezieht sich auf das Pfadverlustmodell und den Dopplereffekt.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Die Gleichung für die Dopplerfrequenz lautet allgemein bzw. für den Winkel $\alpha = 0$.
- $$f_{\rm D}= \frac{v}{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}\alpha = 0 \hspace{0.05cm}{\rm :} \hspace{0.15cm}f_{\rm D}= \frac{v}{c} \cdot f_{\rm S}\hspace{0.05cm}.$$
Daraus erhält man für die Geschwindigkeit
- $$v = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot c = \frac{10^2\,{\rm Hz}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}} \cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s} = 15\,{\rm m/s} \hspace{0.1cm} \underline {= 54 \,{\rm km/h}} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Die Dopplerfrequenz $f_{\rm D} = 50 \ \rm Hz$ rührt vom blauen Pfad her, da sich der Empfänger irgendwie auf den virtuellen Sender ${\rm S}_2$ (beim Reflexionspunkt) zubewegt, wenn auch nicht in direkter Richtung. Der Winkel $\alpha_2$ zwischen der Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie ${\rm S_2 – E}$ beträgt $60°$:
- $$\cos(\alpha_2) = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot \frac{c}{v} = \frac{50 \,{\rm Hz}\cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}\cdot 15\,{\rm m/s}} = 0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_2 \hspace{0.1cm} \underline {= 60^{\circ} } \hspace{0.05cm}.$$
Richtig sind demnach die Lösungsvorschläge 1 und 4.
(4) Richtig sind die Aussagen 1 und 3. Aus $f_{\rm D} = \, –50 \ \rm Hz$ folgt $\alpha_3 = \alpha_2 ± \pi$, also $\alpha_3 \ \underline {= 240°}$.
(5) Alle Aussagen stimmen. Die beiden Diracfunktionen bei $± 50 \ \rm Hz$ haben die gleiche Laufzeit. Für beide Laufzeiten gilt $\tau_3 = \tau_2 = \tau_1 + \tau_0$. Aus der gleichen Laufzeit folgt aber auch $d_3 = d_2$ und bei gleicher Länge auch die gleichen Dämpfungsfaktoren.
(6) Die Laufzeitdifferenz ist $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$, wie aus der Gleichung für $s(\tau_0, f_{\rm D})$ hervorgeht. Damit ergibt sich die Längendifferenz $\Delta d = \tau_0 \cdot c = 10^{–6} {\rm s} \cdot 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s \ \underline {= 300 \ \rm m}$.
(7) Der Pfadverlustexponent wurde für diese Aufgabe zu $\gamma = 2$ vorausgesetzt. Dann gilt $k_1 = K/d_1$ und $k_2 = K/d_2$. Das Minuszeichn berücksichtigt hierbei die 180°–Phasendrehung auf den Nebenpfaden. Aus den Gewichten der Diracfunktionen kann man $k_1 = 2^{–0.5}$ und $k_2 = \ –0.5$ ablesen. Daraus folgt:
- $$\frac{d_2}{d_1} = \frac{k_1}{-k_2} = \frac{1/\sqrt{2}}{0.5} = \sqrt{2} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.414} \hspace{0.05cm}.$$
Die Konstante $K$ ist lediglich eine Hilfsgröße, die nicht weiter betrachtet werden muss.
(8) Aus $d_2/d_1 = 2^{–0.5}$ und $\Delta d = d_2 \, – d_1 = 300 \ \rm m$ folgt schließlich:
- $$\sqrt{2} \cdot d_1 - d_1 = 300\,{\rm m} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} d_1 = \frac{300\,{\rm m}}{\sqrt{2} - 1} \hspace{0.15cm} \underline {= 724\,{\rm m}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} d_2 = \sqrt{2} \cdot d_1 \hspace{0.15cm} \underline {= 1024\,{\rm m}} \hspace{0.05cm}. $$