Aufgabe 2.1Z: 2D-Frequenz- und 2D-Zeitdarstellung

• Zurück zum Buch

Zweidimensionale Übertragungsfunktion

Zur Beschreibung eines zeitvarianten Kanals mit mehreren Pfaden verwendet man die zweidimensionale Impulsantwort

$$h(\tau,\hspace{0.05cm}t) = \sum_{m = 1}^{M} z_m(t) \cdot {\rm \delta} (\tau - \tau_m)\hspace{0.05cm}.$$

Der erste Parameter ($\tau$) kennzeichnet die Verzögerungszeit, der zweite ($t$) macht Aussagen über die Zeitvarianz. Durch die Fouriertransformation von $h(\tau, t)$ kommt man schließlich zur zeitvarianten Übertragungsfunktion

$$H(f,\hspace{0.05cm} t)

\hspace{0.2cm}  \stackrel {f,\hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.05cm}t)  
\hspace{0.05cm}.$$

In der Grafik ist $H(f, t)$ in Abhängigkeit der Frequenz dargestellt, und zwar für verschiedene Werte der absoluten Zeit $t$ im Bereich von $0 \ ... \ 10 \ \rm ms$.

Im Allgemeinen ist $H(f, t)$ komplex. Der Realteil ist oben und der Imaginärteil unten separat gezeichnet.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme.
• In obiger Gleichung wird ein echofreier Kanal mit dem Paramter $M = 1$ dargestellt.
• Hier noch einige Zahlenwerte der vorgegebene zeitvarianten Übertragungsfunktion:

$$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0\, {\rm ms}) \approx 0.3 - {\rm j} \cdot 0.4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}

H(f,\hspace{0.05cm} t = 2\, {\rm ms}) \approx 0.0 - {\rm j} \cdot 1.3  \hspace{0.05cm},$$

$$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 4\, {\rm ms}) \approx 0.1 - {\rm j} \cdot 1.5 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}

H(f,\hspace{0.05cm} t = 6\, {\rm ms}) \approx 0.5 - {\rm j} \cdot 0.8  \hspace{0.05cm},$$

$$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 8\, {\rm ms}) \approx 0.9 - {\rm j} \cdot 0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}

H(f,\hspace{0.05cm} t = 10\, {\rm ms}) \approx 1.4   \hspace{0.05cm}.$$

• Wie schon aus der obigen Grafik zu erahnen ist, sind weder der Realteil noch der Imaginärteil der zweidimensionalen Übertragungsfunktion $H(f, t)$ mittelwertfrei.

Fragebogen

1 Liegt hier ein zeitvarianter Kanal vor?

	Ja,
	Nein.

2 Treten bei diesem Kanal Echos auf?

	Ja,
	Nein.

3 Wie kann hier die 2D‐Impulsantwort beschrieben werden?

	$h(\tau, t) = A \cdot \delat(\tau) + B \cdot \delta(\tau \, –5 \, \rm \mu s)$.
	$h(\tau, t) = A \cdot \delta(\tau)$.
	$h(\tau, t) = z(t) \cdot \delta(\tau)$.

4 Schätzen Sie, für welchen Kanal die Daten aufgenommen wurden.

	AWGN–Kanal,
	Zweiwege–Kanal,
	Rayleigh–Kanal,
	Rice–Kanal.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)