Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Frequenzgang des Koaxialkabels

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Ein so genanntes Normalkoaxialkabel mit dem Kerndurchmesser 2.6 mm, dem Außendurchmesser 9.5 mm und der Länge $l$ besitzt den folgenden Frequenzgang

$$H_{\rm K}(f) \ = \ {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot

 {\rm e}^{- \alpha_1  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f}  \cdot
 {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 \sqrt{f}}  \cdot $$

$$\ \cdot \

 {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f}  \cdot
 {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 \sqrt{f}}   \hspace{0.05cm}.$$

Die Dämpfungsparameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sind in Neper (Np), die Phasenparameter $\beta_1$ und $\beta_2$ in Radian (rad) einzusetzen. Es gelten folgende Zahlenwerte:

$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}\frac Vorlage:\rm NpVorlage:\rm km \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}

 \alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm}\frac Vorlage:\rm Np{{\rm km} \cdot {\rm MHz}} \hspace{0.05cm},
 \hspace{0.2cm}
 \alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac Vorlage:\rm Np{{\rm km} \cdot \sqrtVorlage:\rm MHz} \hspace{0.05cm},$$

Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines linearen zeitinvarianten Systems

• die Dämpfungsfunktion (in Np bzw. dB):

$$a_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|

   \hspace{0.05cm},$$

• die Phasenfunktion (in rad bzw. Grad)

$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f)

   \hspace{0.05cm}.$$

In der Praxis benutzt man häufig die Näherung

$$H_{\rm K}(f) =

 {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 \sqrt{f}}  \cdot
 {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 \sqrt{f}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2  \cdot l \cdot
 \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
 \fracVorlage:\rm radVorlage:\rm Np\hspace{0.05cm}.$$

Dies ist erlaubt, da $\alpha_2$ und $\beta_2$ genau den gleichen Zahlenwert – nur unterschiedliche Pseudoeinheiten – besitzen. Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)

$$a_{\star \hspace{0.05cm}\rm (Np)} = a_{\rm K}(f = {R_{\rm B}}/{2}) = 0.1151 \cdot a_{\star \hspace{0.05cm}\rm (dB)}$$

lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate $R_B$ und Kabellänge $l$ einheitlich behandeln.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.1 dieses Buches sowie auf dasKapitel 4 des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme”.

Fragebogen

1 Multiple-Choice Frage

	Falsch
	Richtig

2 Input-Box Frage

$\alpha$ =

Musterlösung

Musterlösung

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