Aufgaben:Aufgabe 4.1Z: Momentenberechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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{Multiple-Choice Frage
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{Wie groß ist der Maximalwert <i>A<sub>X</sub></i> der WDF <i>f<sub>X</sub></i>(<i>x</i>)?
 
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- Falsch
+
- <i>A<sub>X</sub></i> = <i>&lambda;</i>/2,
+ Richtig
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+ <i>A<sub>X</sub></i> = <i>&lambda;</i>,
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- <i>A<sub>X</sub></i> = 1/<i>&lambda;</i>.
  
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{Wie groß ist der Maximalwert <i>A<sub>Y</sub></i> der WDF <i>f<sub>Y</sub></i>(<i>y</i>)?
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+ <i>A<sub>Y</sub></i> = <i>&lambda;</i>/2,
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- <i>A<sub>Y</sub></i> = <i>&lambda;</i>,
 +
- <i>A<sub>Y</sub></i> = 1/<i>&lambda;</i>.
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 +
{Gibt es ein Argument <i>z</i>, so dass <i>f<sub>X</sub></i>(<i>z</i>) =  <i>f<sub>Y</sub></i>(<i>z</i>) gilt?
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+ Ja.
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- Nein.
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{Welche Aussagen gelten für die Kenngrößen der Exponentialverteilung?
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+ Der lineare Mittelwert ist <i>m</i><sub>1</sub> = 1/<i>&lambda;</i>.
 +
+ Der quadratische Mittelwert ist <i>m</i><sub>2</sub> = 2/<i>&lambda;</i><sup>2</sup>.
 +
+ Die Varianz ist <i>&sigma;</i><sup>2</sup> = 1/<i>&lambda;</i><sup>2</sup>.
  
{Input-Box Frage
+
{Welche Aussagen gelten für die Kenngrößen der Laplaceverteilung?
 +
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 +
- Der lineare Mittelwert ist <i>m</i><sub>1</sub> = 1/<i>&lambda;</i>.
 +
+ Der quadratische Mittelwert ist <i>m</i><sub>2</sub> = 2/<i>&lambda;</i><sup>2</sup>.
 +
- Die Varianz ist <i>&sigma;</i><sup>2</sup> = 1/<i>&lambda;</i><sup>2</sup>.
 +
 
 +
{Mit welcher Wahrscheinlichkeiten unterscheidet sich die Zufallsgröße <nobr>(<i>X</i> bzw. <i>Y</i>)</nobr> vom Mittelwert <i>m</i> betragsmäßig um mehr als die Streuung <i>&sigma;</i>?
 
|type="{}"}
 
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$\alpha$ = { 0.3 }
+
$Exponential:  Pr(|X – mX| > σX)$ = { 0.135 3% }
 
+
$Laplace:  Pr(|Y – mY| > σY)$ = { 0.243 3% }
  
  

Version vom 20. März 2017, 12:38 Uhr

P ID2863 Inf Z 4 1.png

Die Grafik zeigt oben die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der Exponentialverteilung: $$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} A_{ X} \cdot {\rm exp}(-\lambda \cdot x) \\ A_{ X}/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm}x>0, \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm}x=0, \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm}x<0. \\ \end{array}$$ Darunter gezeichnet ist die WDF der Laplaceverteilung, die für alle y–Werte wie folgt angegeben werden kann: $$f_Y(y) = A_{ Y} \cdot {\rm exp}(-\lambda \cdot |y|)\hspace{0.05cm}.$$ Die zwei wertkontinuierlichen Zufallsgrößen X und Y sollen hinsichtlich der folgenden Kenngrößen verglichen werden:

  • dem linearen Mittelwert m1 (Moment erster Ordnung),
  • dem Moment zweiter Ordnung  ⇒  m2,
  • der Varianz σ2 = m2m12 (Satz von Steiner), und
  • der Streuung σ.

Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel 4.1 des vorliegenden Buches. Sie fasst gleichzeitig die erforderlichen Vorkenntnisse von Kapitel 3 des Buches „Stochastische Signaltheorie” zusammen. Gegeben sind außerdem die beiden unbestimmten Integrale: $$\int \hspace{-0.01cm} x \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = \frac{{\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}}{(-\lambda)^2}\cdot(-\lambda \cdot x-1)\hspace{0.05cm}, $$ $$\int \hspace{-0.01cm} x^2 \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\cdot (\frac{x^2}{-\lambda} - \frac{2x}{\lambda^2} + \frac{2}{\lambda^3}) \hspace{0.05cm}. $$

Fragebogen

1

Wie groß ist der Maximalwert AX der WDF fX(x)?

AX = λ/2,
AX = λ,
AX = 1/λ.

2

Wie groß ist der Maximalwert AY der WDF fY(y)?

AY = λ/2,
AY = λ,
AY = 1/λ.

3

Gibt es ein Argument z, so dass fX(z) = fY(z) gilt?

Ja.
Nein.

4

Welche Aussagen gelten für die Kenngrößen der Exponentialverteilung?

Der lineare Mittelwert ist m1 = 1/λ.
Der quadratische Mittelwert ist m2 = 2/λ2.
Die Varianz ist σ2 = 1/λ2.

5

Welche Aussagen gelten für die Kenngrößen der Laplaceverteilung?

Der lineare Mittelwert ist m1 = 1/λ.
Der quadratische Mittelwert ist m2 = 2/λ2.
Die Varianz ist σ2 = 1/λ2.

6

Mit welcher Wahrscheinlichkeiten unterscheidet sich die Zufallsgröße <nobr>(X bzw. Y)</nobr> vom Mittelwert m betragsmäßig um mehr als die Streuung σ?

$Exponential: Pr(|X – mX| > σX)$ =

$Laplace: Pr(|Y – mY| > σY)$ =


Musterlösung

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.