Aufgaben:Aufgabe 1.2: Koaxialkabel: Unterschied zwischen den Versionen
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− | [[Datei: P_ID787__LZI_A_1_2.png | Verschiedene Koaxialkabel | + | |
− | Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels (mit 2.6 mm Durchmesser des Innenleiters und 9.5 mm Außendurchmesser) | + | [[Datei: P_ID787__LZI_A_1_2.png | Verschiedene Koaxialkabel|right|frame]] |
− | $$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} | + | Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels der Länge $l$ (mit $2.6 \ \text{mm}$ Durchmesser des Innenleiters und $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser) lautet für Frequenzen $f > 0$: |
+ | :$$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} | ||
\cdot {\rm e}^{-(\alpha_1 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot | \cdot {\rm e}^{-(\alpha_1 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot | ||
\hspace{0.05cm} \beta_1)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f | \hspace{0.05cm} \beta_1)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f | ||
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\hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}.$$ | \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}.$$ | ||
− | *Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$ beschrieben. | + | *Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$ beschrieben. |
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+ | *Der frequenzproportionale Dämpfungsanteil ⇒ $α_1 · f · l$ mit $α_1 = 0.000435 \,\text{Np/(km · MHz)}$ geht auf die Querverluste zurück. Dieser macht sich erst bei sehr hohen Frequenzen bemerkbar und wird im Folgenden vernachlässigt. | ||
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+ | *Auch die frequenzproportionale Phase $β_1 · f · l$ mit $β_1 = 21.78 \,\text{rad/(km · MHz)}$ wird außer Acht gelassen werden, da diese nur eine für alle Frequenzen gleiche Laufzeit zur Folge hat. | ||
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+ | Der Koaxialkabel–Frequenzgang wird deshalb für Frequenzen zwischen $200 \ \text{kHz}$ und $400 \ \text{MHz}$ vorwiegend durch den Einfluss | ||
+ | *der Dämpfungskonstanten $α_2 = 0.2722 \,\text{Np/(km · MHz}^{0.5})$, und | ||
+ | *der Phasenkonstanten $β_2 = 0.2722 \,\text{rad/(km · MHz}^{0.5})$ | ||
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+ | bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind. Für positive Frequenzen gilt: | ||
+ | :$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$ | ||
+ | Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von $α_2$ und $β_2$ kann hierfür auch geschrieben werden: | ||
+ | :$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} },$$ | ||
+ | wobei der Parameter $f_0$ die beiden Konstanten $α_2$ und $β_2$ sowie die Kabellänge $l$ gleichermaßen berücksichtigt. | ||
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− | {Wie groß ist die Frequenzgang–Konstante $K$ für die Kabellänge $l = | + | {Wie groß ist die Frequenzgang–Konstante $K$ für die Kabellänge $l = 5\,\text{ km}$? |
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− | $K =$ { 0.992 5% } | + | $K \ = \ $ { 0.992 5% } |
− | {Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als 3% gedämpft wird? | + | {Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als $3\%$ gedämpft wird? |
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− | $l_{\rm max} =$ { 18.8 5% } km | + | $l_{\rm max} \ = \ $ { 18.8 5% } $\text{ km}$ |
− | {Wie groß ist die charakteristische Frequenz $f_0$ für die Kabellänge $l = | + | {Wie groß ist die charakteristische Frequenz $f_0$ für die Kabellänge $l = 5\,\text{ km}$. Berücksichtigen Sie die Beziehung $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$. |
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− | $f_0 =$ { 0.54 5% } MHz | + | $f_0\ = \ $ { 0.54 5% } $\text{ MHz}$ |
− | { | + | {Am Kabeleingang liegt ein Cosinussignal der Frequenz $f_x = f_0$ mit Leistung $P_x = \,\text{1 W}$ an. Wie groß ist die Ausgangsleistung $P_y$? |
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− | $P_y | + | $P_y \ = \ $ { 135 5% } $\text{ mW}$ |
− | {Welche Ausgangsleistung erhält man mit der Signalfrequenz $f_x = | + | {Welche Ausgangsleistung erhält man mit der Signalfrequenz $f_x = 10 \ \rm MHz$? |
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− | $P_y | + | $P_y \ = \ $ { 0.184 5% } $\text{ mW}$ |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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− | '''1 | + | '''(1)''' Für den Gleichsignalübertragungsfaktor gilt: |
− | $$K = H(f=0) = {\rm e}^{-\alpha_0 \hspace{0.05cm}\cdot | + | :$$K = H(f=0) = {\rm e}^{-\alpha_0 \hspace{0.05cm}\cdot |
\hspace{0.05cm} l} = {\rm e}^{-0.00162 \hspace{0.05cm} \cdot | \hspace{0.05cm} l} = {\rm e}^{-0.00162 \hspace{0.05cm} \cdot | ||
\hspace{0.05cm} 5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.992}.$$ | \hspace{0.05cm} 5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.992}.$$ | ||
− | '''2 | + | |
− | $${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97 | + | '''(2)''' Mit ${\rm a_0 } = α_0 · l$ müsste folgende Gleichung erfüllt sein: |
+ | :$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97 | ||
\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97 | \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97 | ||
} \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$ | } \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$ | ||
− | Damit erhält man für die maximale Länge $l_{\rm max} = | + | *Damit erhält man für die maximale Länge $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$. |
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− | '''3 | + | '''(3)''' Wegen $β_2 = α_2$ und der angegebenen Beziehung $\rm 1 + j = \sqrt{2j}$ kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden: |
− | $$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot | + | :$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot |
+ | \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot | ||
\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\alpha_2}^2 | \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\alpha_2}^2 | ||
\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2} }= K \cdot {\rm e}^{- | \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2} }= K \cdot {\rm e}^{- | ||
− | \sqrt{2{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$ | + | \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot |
− | Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man: | + | \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$ |
− | $$ | + | *Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man: |
+ | :$${1}/{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = \big ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} }\big )^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 = \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}.$$ | ||
+ | |||
− | '''4 | + | '''(4)''' Für den Frequenzgang gilt: |
− | $$\begin{align*}H(f) & = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot | + | :$$\begin{align*}H(f) & = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot |
+ | \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot | ||
\hspace{0.05cm} f/f_0} } = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{ f/f_0} } | \hspace{0.05cm} f/f_0} } = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{ f/f_0} } | ||
− | \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\sqrt{ f/f_0} } \ | + | \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot |
− | {\rm e}^{- 2\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$ | + | \hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} } \hspace{0.05 cm} \Rightarrow \hspace{0.05 cm} |H(f)|^2 = K^2 \cdot |
− | Für $f = f_0$ erhält man hierfür $\rm e^{–2} | + | {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot |
− | $$P_y = P_x \cdot |H(f = f_0)|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$ | + | \hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$ |
+ | *Für $f = f_0$ erhält man hierfür $K^2 \cdot \rm e^{–2} ≈ 0.135$. Daraus folgt weiter: | ||
+ | :$$P_y = P_x \cdot |H(f = f_0)|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$ | ||
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− | '''5 | + | '''(5)''' Mit der höheren Frequenz $f_x = 10\:\text{MHz}$ ist die Ausgangsleistung gegenüber $f_x = 0.54\:\text{MHz}$ signifikant kleiner: |
− | $$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$ | + | :$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot |
+ | \hspace{0.05cm}\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$ | ||
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Aktuelle Version vom 9. Juli 2021, 16:28 Uhr
Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels der Länge $l$ (mit $2.6 \ \text{mm}$ Durchmesser des Innenleiters und $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser) lautet für Frequenzen $f > 0$:
- $$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot {\rm e}^{-(\alpha_1 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_1)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f \cdot \hspace{0.05cm} l}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\beta_2) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
- Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$ beschrieben.
- Der frequenzproportionale Dämpfungsanteil ⇒ $α_1 · f · l$ mit $α_1 = 0.000435 \,\text{Np/(km · MHz)}$ geht auf die Querverluste zurück. Dieser macht sich erst bei sehr hohen Frequenzen bemerkbar und wird im Folgenden vernachlässigt.
- Auch die frequenzproportionale Phase $β_1 · f · l$ mit $β_1 = 21.78 \,\text{rad/(km · MHz)}$ wird außer Acht gelassen werden, da diese nur eine für alle Frequenzen gleiche Laufzeit zur Folge hat.
Der Koaxialkabel–Frequenzgang wird deshalb für Frequenzen zwischen $200 \ \text{kHz}$ und $400 \ \text{MHz}$ vorwiegend durch den Einfluss
- der Dämpfungskonstanten $α_2 = 0.2722 \,\text{Np/(km · MHz}^{0.5})$, und
- der Phasenkonstanten $β_2 = 0.2722 \,\text{rad/(km · MHz}^{0.5})$
bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind. Für positive Frequenzen gilt:
- $$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von $α_2$ und $β_2$ kann hierfür auch geschrieben werden:
- $$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} },$$
wobei der Parameter $f_0$ die beiden Konstanten $α_2$ und $β_2$ sowie die Kabellänge $l$ gleichermaßen berücksichtigt.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Systembeschreibung im Frequenzbereich.
Fragebogen
Musterlösung
- $$K = H(f=0) = {\rm e}^{-\alpha_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l} = {\rm e}^{-0.00162 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.992}.$$
(2) Mit ${\rm a_0 } = α_0 · l$ müsste folgende Gleichung erfüllt sein:
- $${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97 } \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$
- Damit erhält man für die maximale Länge $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.
(3) Wegen $β_2 = α_2$ und der angegebenen Beziehung $\rm 1 + j = \sqrt{2j}$ kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:
- $$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\alpha_2}^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2} }= K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$
- Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:
- $${1}/{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = \big ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} }\big )^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 = \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}.$$
(4) Für den Frequenzgang gilt:
- $$\begin{align*}H(f) & = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} } = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{ f/f_0} } \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} } \hspace{0.05 cm} \Rightarrow \hspace{0.05 cm} |H(f)|^2 = K^2 \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$
- Für $f = f_0$ erhält man hierfür $K^2 \cdot \rm e^{–2} ≈ 0.135$. Daraus folgt weiter:
- $$P_y = P_x \cdot |H(f = f_0)|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$
(5) Mit der höheren Frequenz $f_x = 10\:\text{MHz}$ ist die Ausgangsleistung gegenüber $f_x = 0.54\:\text{MHz}$ signifikant kleiner:
- $$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$