Aufgaben:Aufgabe 1.2: Koaxialkabel: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(21 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 2: Zeile 2:
 
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}
  
[[Datei: P_ID787__LZI_A_1_2.png | Verschiedene Koaxialkabel (Aufgabe A1.2) | right]]
+
 
Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels (mit 2.6 mm Durchmesser des Innenleiters und  9.5 mm Außendurchmesser) der Länge $l$ lautet für Frequenzen $f$ > 0:  
+
[[Datei: P_ID787__LZI_A_1_2.png | Verschiedene Koaxialkabel|right|frame]]
$$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}
+
Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels der Länge  $l$  (mit  $2.6 \ \text{mm}$  Durchmesser des Innenleiters und  $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser)  lautet für Frequenzen  $f > 0$:  
 +
:$$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}
 
\cdot {\rm e}^{-(\alpha_1  + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
 
\cdot {\rm e}^{-(\alpha_1  + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
 
\hspace{0.05cm} \beta_1)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f
 
\hspace{0.05cm} \beta_1)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f
Zeile 11: Zeile 12:
 
\hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
 
\hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
  
*Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$ beschrieben.  
+
*Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung  $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$  beschrieben.  
 +
 
 +
 
 +
*Der frequenzproportionale Dämpfungsanteil   ⇒   $α_1 · f · l$  mit  $α_1 = 0.000435 \,\text{Np/(km · MHz)}$  geht auf die Querverluste zurück. Dieser macht sich erst bei sehr hohen Frequenzen bemerkbar und wird im Folgenden vernachlässigt.
 +
 
 +
 
 +
*Auch die frequenzproportionale Phase  $β_1 · f · l$  mit  $β_1 = 21.78 \,\text{rad/(km · MHz)}$  wird außer Acht gelassen werden, da diese nur eine für alle Frequenzen gleiche Laufzeit zur Folge hat.
 +
 
 +
 
 +
Der Koaxialkabel–Frequenzgang wird deshalb für Frequenzen zwischen  $200 \ \text{kHz}$  und  $400 \ \text{MHz}$  vorwiegend durch den Einfluss
 +
*der Dämpfungskonstanten  $α_2 = 0.2722 \,\text{Np/(km · MHz}^{0.5})$, und
 +
*der Phasenkonstanten  $β_2 = 0.2722 \,\text{rad/(km · MHz}^{0.5})$
 +
 
 +
 
 +
bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind.  Für positive Frequenzen gilt:
 +
:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2  + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
 +
Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von  $α_2$  und  $β_2$  kann hierfür auch geschrieben werden:
 +
:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} },$$
 +
wobei der Parameter  $f_0$  die beiden Konstanten  $α_2$  und  $β_2$  sowie die Kabellänge  $l$  gleichermaßen berücksichtigt.
 +
 
 +
 
 +
 
  
*Der frequenzproportionale Dämpfungsanteil  ⇒  $α_1 · f · l$ mit $α_1 = 0.000435 \,\text{Np/(km · MHz)}$ geht auf die Querverluste zurück. Dieser macht sich erst bei sehr hohen Frequenzen bemerkbar und wird im Folgenden vernachlässigt.
 
  
*Auch die frequenzproportionale Phase $β_1 · f · l$ mit $β_1 = 21.78 \,\text{rad/(km · MHz)}$ wird außer Acht gelassen werden, da diese nur eine für alle Frequenzen gleiche Laufzeit zur Folge hat.
 
  
  
Der Koaxialkabel–Frequenzgang wird deshalb für Frequenzen zwischen 200 kHz und 400 MHz im Wesentlichen durch den Einfluss der Dämpfungskonstanten $α_2 = 0.2722 \,\text{Np/(km · MHz}^{0.5})$ und der Phasenkonstanten $β_2 = 0.2722 \,\text{rad/(km · MHz}^{0.5})$ bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind. Für positive Frequenzen gilt:  
+
''Hinweis:''
$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
+
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von $α_2$ und $β_2$ kann hierfür auch geschrieben werden:
+
$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} },$$
 
wobei der Parameter $f_0$ die beiden Konstanten $α_2$ und $β_2$ sowie die Kabellänge $l$ gleichermaßen berücksichtigt.
 
  
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
 
  
  
Zeile 31: Zeile 48:
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
  
{Wie groß ist die Frequenzgang–Konstante $K$ für die Kabellänge $l =$ 5 km?  
+
{Wie groß ist die Frequenzgang–Konstante&nbsp; $K$&nbsp; für die Kabellänge&nbsp; $l = 5\,\text{ km}$?  
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$K =$ { 0.992 5%  }
+
$K \ = \ $ { 0.992 5%  }
  
  
{Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als 3% gedämpft wird?  
+
{Welche Länge&nbsp; $l_{\rm max}$&nbsp; könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als&nbsp; $3\%$&nbsp; gedämpft wird?  
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$l_{\rm max} =$ { 18.8 5%  } km
+
$l_{\rm max} \ = \ $ { 18.8 5%  } &nbsp;$\text{ km}$
  
  
{Wie groß ist die charakteristische Frequenz $f_0$ für die Kabellänge $l =$ 5 km. Berücksichtigen Sie die Beziehung $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.  
+
{Wie groß ist die charakteristische Frequenz&nbsp; $f_0$&nbsp; für die Kabellänge&nbsp; $l = 5\,\text{ km}$.&nbsp; Berücksichtigen Sie die Beziehung&nbsp; $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.  
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$f_0 =$ { 0.54 5%  } MHz
+
$f_0\ = \ $ { 0.54 5%  } &nbsp;$\text{ MHz}$
  
  
{Wie groß ist die Leistung $P_y$ am Ausgang, wenn man am Kabeleingang ein Cosinussignal der Frequenz $f_0$ und der Leistung $P_x =$ 1 W anlegt?  
+
{Am Kabeleingang liegt ein Cosinussignal der Frequenz&nbsp; $f_x = f_0$&nbsp; mit Leistung&nbsp; $P_x = \,\text{1 W}$ an.&nbsp; Wie groß ist die Ausgangsleistung&nbsp; $P_y$?  
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$P_y(f = f_0) =$ { 135 5%  } mW
+
$P_y \ = \ $ { 135 5%  } &nbsp;$\text{ mW}$
  
  
{Welche Ausgangsleistung erhält man mit der Signalfrequenz $f_x =$ 10 MHz?
+
{Welche Ausgangsleistung erhält man mit der Signalfrequenz&nbsp; $f_x = 10 \ \rm MHz$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$P_y(f = 10 \: \rm MHz) =$ { 0.184 5%  } mW
+
$P_y \ = \ $ { 0.184 5%  } &nbsp;$\text{ mW}$
  
  
Zeile 60: Zeile 77:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.''' Für den Gleichsignalübertragungsfaktor gilt:  
+
'''(1)'''&nbsp; Für den Gleichsignalübertragungsfaktor gilt:  
$$K = H(f=0) = {\rm e}^{-\alpha_0 \hspace{0.05cm}\cdot
+
:$$K = H(f=0) = {\rm e}^{-\alpha_0 \hspace{0.05cm}\cdot
 
\hspace{0.05cm} l} = {\rm e}^{-0.00162 \hspace{0.05cm} \cdot
 
\hspace{0.05cm} l} = {\rm e}^{-0.00162 \hspace{0.05cm} \cdot
 
\hspace{0.05cm} 5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.992}.$$
 
\hspace{0.05cm} 5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.992}.$$
  
  
'''2.''' Mit $a_0 = α_0 · l$ müsste folgende Gleichung erfüllt sein:
+
 
$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97
+
'''(2)'''&nbsp; Mit&nbsp; ${\rm a_0 } = α_0 · l$&nbsp; müsste folgende Gleichung erfüllt sein:
 +
:$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97
 
\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97
 
\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97
 
} \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$
 
} \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$
Damit erhält man für die maximale Länge $l_{\rm max} =$ 0.0305 Np/0.00162 Np/km $\rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.  
+
*Damit erhält man für die maximale Länge&nbsp; $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.  
 +
 
  
  
'''3.''' Wegen $β_2 = α_2$ und der angegebenen Beziehung $\rm 1 + j = (2j)^{0.5}$ kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:
+
'''(3)'''&nbsp; Wegen&nbsp; $β_2 = α_2$&nbsp; und der angegebenen Beziehung&nbsp; $\rm 1 + j = \sqrt{2j}$&nbsp; kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:
$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
+
:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot
 +
\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
 
\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\alpha_2}^2
 
\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\alpha_2}^2
 
\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2} }= K \cdot {\rm e}^{-
 
\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2} }= K \cdot {\rm e}^{-
\sqrt{2{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$
+
\sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot
Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:  
+
\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$
$$\frac{1}{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} })^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 =  \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}$$
+
*Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:  
 +
:$${1}/{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = \big ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} }\big )^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 =  \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}.$$
 +
 
  
  
'''4.''' Für den Frequenzgang gilt:  
+
'''(4)'''&nbsp; Für den Frequenzgang gilt:  
$$\begin{align*}H(f) & = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
+
:$$\begin{align*}H(f) & = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot
 +
\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
 
\hspace{0.05cm} f/f_0} } = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{ f/f_0} }
 
\hspace{0.05cm} f/f_0} } = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{ f/f_0} }
\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\sqrt{ f/f_0} } \\ & \Rightarrow \hspace{0.05 cm}  |H(f)|^2 = K^2 \cdot
+
\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
{\rm e}^{- 2\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$
+
\hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} } \hspace{0.05 cm} \Rightarrow \hspace{0.05 cm}  |H(f)|^2 = K^2 \cdot
Für $f = f_0$ erhält man hierfür $\rm e^{–2}$ ≈ 0.135. Daraus folgt weiter:  
+
{\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot
$$P_y = P_x \cdot |H(f = f_0)|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$
+
\hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$
 +
*Für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; erhält man hierfür&nbsp; $K^2 \cdot \rm e^{–2} ≈ 0.135$. Daraus folgt weiter:  
 +
:$$P_y = P_x \cdot |H(f = f_0)|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$
 +
 
  
  
'''5.''' In diesem Fall gilt:  
+
'''(5)'''&nbsp; Mit der höheren Frequenz&nbsp; $f_x = 10\:\text{MHz}$&nbsp; ist die Ausgangsleistung gegenüber&nbsp; $f_x = 0.54\:\text{MHz}$&nbsp; signifikant kleiner:  
$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$
+
:$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot
 +
\hspace{0.05cm}\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$
  
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}

Aktuelle Version vom 9. Juli 2021, 16:28 Uhr


Verschiedene Koaxialkabel

Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels der Länge  $l$  (mit  $2.6 \ \text{mm}$  Durchmesser des Innenleiters und  $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser)  lautet für Frequenzen  $f > 0$:

$$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot {\rm e}^{-(\alpha_1 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_1)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f \cdot \hspace{0.05cm} l}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\beta_2) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
  • Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung  $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$  beschrieben.


  • Der frequenzproportionale Dämpfungsanteil   ⇒   $α_1 · f · l$  mit  $α_1 = 0.000435 \,\text{Np/(km · MHz)}$  geht auf die Querverluste zurück. Dieser macht sich erst bei sehr hohen Frequenzen bemerkbar und wird im Folgenden vernachlässigt.


  • Auch die frequenzproportionale Phase  $β_1 · f · l$  mit  $β_1 = 21.78 \,\text{rad/(km · MHz)}$  wird außer Acht gelassen werden, da diese nur eine für alle Frequenzen gleiche Laufzeit zur Folge hat.


Der Koaxialkabel–Frequenzgang wird deshalb für Frequenzen zwischen  $200 \ \text{kHz}$  und  $400 \ \text{MHz}$  vorwiegend durch den Einfluss

  • der Dämpfungskonstanten  $α_2 = 0.2722 \,\text{Np/(km · MHz}^{0.5})$, und
  • der Phasenkonstanten  $β_2 = 0.2722 \,\text{rad/(km · MHz}^{0.5})$


bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind.  Für positive Frequenzen gilt:

$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$

Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von  $α_2$  und  $β_2$  kann hierfür auch geschrieben werden:

$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} },$$

wobei der Parameter  $f_0$  die beiden Konstanten  $α_2$  und  $β_2$  sowie die Kabellänge  $l$  gleichermaßen berücksichtigt.




Hinweis:



Fragebogen

1

Wie groß ist die Frequenzgang–Konstante  $K$  für die Kabellänge  $l = 5\,\text{ km}$?

$K \ = \ $

2

Welche Länge  $l_{\rm max}$  könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als  $3\%$  gedämpft wird?

$l_{\rm max} \ = \ $

 $\text{ km}$

3

Wie groß ist die charakteristische Frequenz  $f_0$  für die Kabellänge  $l = 5\,\text{ km}$.  Berücksichtigen Sie die Beziehung  $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.

$f_0\ = \ $

 $\text{ MHz}$

4

Am Kabeleingang liegt ein Cosinussignal der Frequenz  $f_x = f_0$  mit Leistung  $P_x = \,\text{1 W}$ an.  Wie groß ist die Ausgangsleistung  $P_y$?

$P_y \ = \ $

 $\text{ mW}$

5

Welche Ausgangsleistung erhält man mit der Signalfrequenz  $f_x = 10 \ \rm MHz$?

$P_y \ = \ $

 $\text{ mW}$


Musterlösung

(1)  Für den Gleichsignalübertragungsfaktor gilt:

$$K = H(f=0) = {\rm e}^{-\alpha_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l} = {\rm e}^{-0.00162 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.992}.$$


(2)  Mit  ${\rm a_0 } = α_0 · l$  müsste folgende Gleichung erfüllt sein:

$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97 } \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$
  • Damit erhält man für die maximale Länge  $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.


(3)  Wegen  $β_2 = α_2$  und der angegebenen Beziehung  $\rm 1 + j = \sqrt{2j}$  kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:

$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\alpha_2}^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2} }= K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$
  • Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:
$${1}/{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = \big ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} }\big )^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 = \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}.$$


(4)  Für den Frequenzgang gilt:

$$\begin{align*}H(f) & = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} } = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{ f/f_0} } \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} } \hspace{0.05 cm} \Rightarrow \hspace{0.05 cm} |H(f)|^2 = K^2 \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$
  • Für  $f = f_0$  erhält man hierfür  $K^2 \cdot \rm e^{–2} ≈ 0.135$. Daraus folgt weiter:
$$P_y = P_x \cdot |H(f = f_0)|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$


(5)  Mit der höheren Frequenz  $f_x = 10\:\text{MHz}$  ist die Ausgangsleistung gegenüber  $f_x = 0.54\:\text{MHz}$  signifikant kleiner:

$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$