Aufgaben:Aufgabe 4.09Z: Periodische AKF: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess { | + | Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess $\{x_i(t)\}$, der durch die dargestellte Musterfunktion $x(t)$ vollständig charakterisiert ist. |
+ | Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses $\{x_i(t)\}$ erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen $\tau_i$, wobei $\tau_i$ als gleichverteilt zwischen $0$ und der Periodendauer $T_0$ angenommen wird. | ||
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− | {Ermitteln Sie die Periodendauer | + | {Ermitteln Sie die Periodendauer $T_0$, normiert auf die in der Skizze definierte Zeitdauer $T$. |
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− | {Wie groß ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert) des Prozesses? | + | {Wie groß ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert) $m_x$ des beschriebenen Prozesses $\{x_i(t)\}$? |
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− | {Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Berücksichtigung | + | {Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Berücksichtigung möglicher Symmetrieen. <br>Welche Werte ergeben sich für $\tau = 3T$ und $\tau = 4T$? |
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− | {Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bezüglich aller | + | {Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bezüglich aller $\tau$-Werte. Interpretieren Sie das Ergebnis. |
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− | $E[\ | + | ${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big]\ = \ $ { 0.16 3% } $\ \rm V^2$ |
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+ | :*oben das Produkt $x(t) \cdot x(t+T)$, | ||
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+ | :$$\varphi_x (T)= \rm {1}/{5 } \cdot (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$ | ||
+ | :$$\varphi_x ( 2 T)= \rm {1}/{5 } \cdot(-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$ | ||
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+ | [[Datei:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png|right|frame|Gesuchte Autokorrelationsfunktion]] | ||
+ | '''(5)''' Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade: $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$. | ||
+ | *Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit der gleichen Periodendauer $T_0$ wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt: | ||
− | + | :$$\varphi_x ( 0) = \varphi_x (5 T) = \varphi_x (10 T) = \ \text{...} \ = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$ | |
− | :$$ | + | :$$\varphi_x (3 T) = \varphi_x (-3 T) =\varphi_x (2 T) = \ \text{...} \ \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2},$$ |
+ | :$$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = \ \text{...} \ \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6 \,V^2}.$$ | ||
− | + | *Die berechneten AKF-Werte können durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration über Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt. | |
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− | + | '''(6)''' Die fünf Intervalle $(0$ bis $T)$, $(T$ bis $2T)$, ... , $(4T$ bis $5T)$ liefern die Beiträge | |
− | [ | + | :$$(+1.3; -0.3; -1.2; -0.3; +1.3) \cdot \rm V^2.$$ |
+ | *Daraus ergibt sich der Erwartungswert (lineare Mittelwert): | ||
+ | :$${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.16 \,V^2}.$$ | ||
− | + | *Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes $m_x$ ⇒ siehe Teilaufgabe '''(2)'''. | |
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Aktuelle Version vom 19. März 2022, 17:47 Uhr
Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess $\{x_i(t)\}$, der durch die dargestellte Musterfunktion $x(t)$ vollständig charakterisiert ist.
Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses $\{x_i(t)\}$ erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen $\tau_i$, wobei $\tau_i$ als gleichverteilt zwischen $0$ und der Periodendauer $T_0$ angenommen wird.
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel Autokorrelationsfunktion.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die (normierte) Periodendauer beträgt $T_0/T \hspace{0.15cm}\underline{= 5}.$
(2) Aufgrund der Periodizität genügt die Mittelung über eine Periodendauer $T_0$:
- $$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{1}{5 T} \cdot (2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$
(3) In analoger Weise zur letzten Teilaufgabe erhält man für die mittlere Leistung:
- $$P_x = \frac{2 T}{5 T} \cdot \big[(\rm 2V)^2 +(- \rm 1V)^2 \big]\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 2 \,V^2}.$$
(4) Die nebenstehende Grafik zeigt jeweils im Bereich von $0$ bis $T_0 = 5T$
- oben das Produkt $x(t) \cdot x(t+T)$,
- unten das Produkt $x(t) \cdot x(t+2T)$.
- Zu beachten ist, dass $x(t+T)$ eine Verschiebung des Signals $x(t)$ um $T$ nach links bedeutet.
- Aus diesen Skizzen folgen die Beziehungen:
- $$\varphi_x (T)= \rm {1}/{5 } \cdot (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$
- $$\varphi_x ( 2 T)= \rm {1}/{5 } \cdot(-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$
(5) Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade: $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$.
- Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit der gleichen Periodendauer $T_0$ wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:
- $$\varphi_x ( 0) = \varphi_x (5 T) = \varphi_x (10 T) = \ \text{...} \ = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$
- $$\varphi_x (3 T) = \varphi_x (-3 T) =\varphi_x (2 T) = \ \text{...} \ \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2},$$
- $$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = \ \text{...} \ \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6 \,V^2}.$$
- Die berechneten AKF-Werte können durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration über Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.
(6) Die fünf Intervalle $(0$ bis $T)$, $(T$ bis $2T)$, ... , $(4T$ bis $5T)$ liefern die Beiträge
- $$(+1.3; -0.3; -1.2; -0.3; +1.3) \cdot \rm V^2.$$
- Daraus ergibt sich der Erwartungswert (lineare Mittelwert):
- $${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.16 \,V^2}.$$
- Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes $m_x$ ⇒ siehe Teilaufgabe (2).