Aufgaben:Aufgabe 4.09Z: Periodische AKF: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess {$x_i(t)$}, der durch die dargestellte Musterfunktion $x(t)$ vollständig charakterisiert ist.
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Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess   $\{x_i(t)\}$,   der durch die dargestellte Musterfunktion  $x(t)$  vollständig charakterisiert ist.
  
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Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses  $\{x_i(t)\}$  erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen  $\tau_i$,  wobei  $\tau_i$  als gleichverteilt zwischen  $0$  und der Periodendauer  $T_0$  angenommen wird.
  
Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses {$x_i(t)$} erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen $\tau_i$, wobei $\tau_i$ als gleichverteilt zwischen 0 und der Periodendauer $T_0$ angenommen wird.
 
  
:<b>Hinweis</b>: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.4.
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'''Hinweis:'''&nbsp; Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
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{Ermitteln Sie die Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub>, normiert auf die Zeitdauer <i>T</i>.
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{Ermitteln Sie die Periodendauer&nbsp; $T_0$,&nbsp; normiert auf die in der Skizze definierte Zeitdauer&nbsp; $T$.
 
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$T_0/T$ = { 5 3% }
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$T_0/T \ = \ $ { 5 3% }
  
  
{Wie gro&szlig; ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert) des Prozesses?
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{Wie gro&szlig; ist der Gleichsignalanteil&nbsp; (lineare Mittelwert)&nbsp; $m_x$&nbsp; des beschriebenen Prozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$?
 
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$m_x$ = { 0.4 3% } V
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{Wie gro&szlig; ist die&nbsp; (auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm \Omega$&nbsp; bezogene)&nbsp; Prozessleistung?
 
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$P_x$ = { 2 3% } $V^2$
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$P_x \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$
  
  
{Berechnen Sie die AKF-Werte f&uuml;r <i>&tau;</i> = <i>T</i> und <i>&tau;</i> = 2<i>T</i>.
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{Berechnen Sie die AKF-Werte f&uuml;r&nbsp; $\tau = T$&nbsp; und&nbsp; $\tau = 2T$.
 
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$\phi_x(\tau = T)$ = { 0.6 3% } $V^2$
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$\varphi_x(\tau = 2T) \ = \ $ { -1.236--1.164 } $\ \rm V^2$
  
  
{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Ber&uuml;cksichtigung von Symmetrieen. Welche Werte ergeben sich f&uuml;r <i>&tau;</i> = 3<i>T</i> und <i>&tau;</i> = 4<i>T</i>?
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{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Ber&uuml;cksichtigung möglicher Symmetrieen.&nbsp; <br>Welche Werte ergeben sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 3T$&nbsp; und&nbsp; $\tau = 4T$?
 
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$\phi_x(\tau = 3T)$ = - { 1.2 3% } $V^2$
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$\varphi_x(\tau = 3T) \ = \ $ { -1.236--1.164 } $\ \rm V^2$
$\phi_x(\tau = 4T)$ = { 0.6 3% } $V^2$
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$\varphi_x(\tau = 4T)\ = \ $ { 0.6 3% } $\ \rm V^2$
  
  
{Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bez&uuml;glich aller <i>&tau;</i>-Werte.<br>Interpretieren Sie das Ergebnis.
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{Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bez&uuml;glich aller&nbsp; $\tau$-Werte.&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis.
 
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$E[\phi_x(\tau)]$ = { 0.16 3% } $V^2$
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${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big]\ = \ $ { 0.16 3% } $\ \rm V^2$
  
  
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===Musterlösung===
 
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[[Datei:P_ID382__Sto_Z_4_9_d.png|right|frame|Zur AKF&ndash;Berechnung]]
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Die Periodendauer betr&auml;gt <u><i>T</i><sub>0</sub> = 5<i>T</i></u>.
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'''(1)'''&nbsp; Die&nbsp; (normierte)&nbsp; Periodendauer betr&auml;gt&nbsp; $T_0/T \hspace{0.15cm}\underline{= 5}.$
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'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der Periodizit&auml;t gen&uuml;gt die Mittelung &uuml;ber eine Periodendauer&nbsp; $T_0$:
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:$$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}{\rm d}  t  =  \frac{1}{5  T} \cdot  (2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2  T - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$
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'''(3)'''&nbsp; In analoger Weise zur letzten Teilaufgabe  erh&auml;lt man f&uuml;r die mittlere Leistung:
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:$$P_x = \frac{2  T}{5 T} \cdot \big[(\rm 2V)^2  +(- \rm 1V)^2 \big]\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 2 \,V^2}.$$
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'''(4)'''&nbsp; Die nebenstehende Grafik zeigt jeweils im Bereich von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $T_0  = 5T$
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:*oben das Produkt&nbsp; $x(t) \cdot x(t+T)$,
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:*unten das Produkt&nbsp; $x(t) \cdot x(t+2T)$. 
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*Zu beachten ist,&nbsp; dass&nbsp; $x(t+T)$&nbsp; eine Verschiebung des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; um&nbsp; $T$&nbsp; nach links bedeutet.
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*Aus diesen Skizzen folgen die Beziehungen:
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:$$\varphi_x (T)=  \rm {1}/{5 } \cdot (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$
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:$$\varphi_x ( 2 T)=  \rm {1}/{5 } \cdot(-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$
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[[Datei:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png|right|frame|Gesuchte Autokorrelationsfunktion]]
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'''(5)'''&nbsp; Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade: &nbsp; $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$.&nbsp;
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*Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit der gleichen Periodendauer&nbsp; $T_0$&nbsp; wie die einzelnen Musterfunktionen.&nbsp; Daraus folgt:
  
:<b>2.</b>&nbsp;Aufgrund der Periodizit&auml;t gen&uuml;gt die Mittelung &uuml;ber eine Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub>:
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:$$\varphi_x ( 0) = \varphi_x (5 T) = \varphi_x (10 T) = \ \text{...} \ = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$
:$$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}\rm d \it t \\ = \rm \frac{1}{5 \it T} (\rm 2V \cdot 2 \it T - \rm 1V \cdot 2 \it T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$
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:$$\varphi_x (3 T) = \varphi_x (-3 T) =\varphi_x (2 T) = \ \text{...} \  \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2},$$
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:$$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = \ \text{...} \ \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6 \,V^2}.$$
  
:<b>3.</b>&nbsp;In analoger Weise zu Aufgabe 2) erh&auml;lt man f&uuml;r die mittlere Leistung:
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*Die berechneten AKF-Werte k&ouml;nnen durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden,&nbsp; da die Integration &uuml;ber Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.
:$$P_x =  \rm \frac{2 \it T}{5 \it T} ((\rm 2V)^2  +(- \rm 1V)^2 )\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 2 \,V^2}.$$
 
  
:<b>4.</b>&nbsp;Die Bilder zeigen das Produkt <i>x</i>(<i>t</i>) &middot; <i>x</i>(<i>t</i> + <i>T</i>) bzw. <i>x</i>(<i>t</i>) &middot; <i>x</i>(<i>t</i> + 2<i>T</i>), jeweils im Bereich von 0 bis <i>T</i><sub>0</sub> = 5<i>T</i>.
 
  
:Zu beachten ist, dass <i>x</i>(<i>t</i> + <i>T</i>) eine Verschiebung des Signals <i>x</i>(<i>t</i>) um <i>T</i> nach links bedeutet. Aus den beiden Grafiken folgen die Beziehungen:
 
:$$\varphi_x (T)=  \rm \frac{1}{5 } (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$
 
:$$\varphi_x (\rm 2\it T)=  \rm \frac{1}{5 } (-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$
 
  
:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade: <i>&phi;<sub>x</sub></i>(&ndash;<i>&tau;</i>) = <i>&phi;<sub>x</sub></i>(<i>&tau;</i>). Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit genau der gleichen Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub> wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:
 
:$$\varphi_x (\rm 0) =  \varphi_x (\rm 5\it T) = \varphi_x (\rm 10\it T) = .... = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$
 
:$$\varphi_x (\rm 3\it T) = \varphi_x (\rm -3\it T) =\varphi_x (\rm 2\it T) = .... \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2},$$
 
:$$\varphi_x (\rm 4\it T) = \varphi_x (\rm -4\it T) =\varphi_x (\rm \it T) = .... \hspace{0.15cm}\underline{=  \rm 0.6 \,V^2}.$$
 
  
:Die berechneten AKF-Werte k&ouml;nnen durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration &uuml;ber Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.
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'''(6)'''&nbsp; Die fünf Intervalle&nbsp; $(0$ bis $T)$,&nbsp; $(T$ bis $2T)$, ... ,&nbsp; $(4T$ bis $5T)$&nbsp; liefern die Beiträge
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:$$(+1.3;  -0.3;    -1.2;  -0.3;  +1.3) \cdot \rm V^2.$$
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*Daraus ergibt sich der Erwartungswert&nbsp; (lineare Mittelwert):
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:$${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{=  \rm 0.16 \,V^2}.$$
  
:<b>6.</b>&nbsp;&nbsp;Die Mittelung &uuml;ber die 5 Intervalle 0 bis <i>T</i>, <i>T</i> bis 2<i>T</i>, ... , 4<i>T</i> bis 5<i>T</i> liefern (jeweils mit der Einheit V<sup>2</sup>): 1.3; &ndash;0.3, &ndash;1.2, &ndash;0.3, 1.3. Daraus ergibt sich der Erwartungswert <u>E[<i>&phi;<sub>x</sub></i>(<i>&tau;</i>)] = 0.16 V<sup>2</sup></u>. Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes <i>m<sub>x</sub></i> (siehe Teilaufgabe 2).
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*Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes&nbsp; $m_x$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''.
  
 
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Aktuelle Version vom 19. März 2022, 17:47 Uhr

Rechtecksignal, periodisch, mehrstufig

Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess  $\{x_i(t)\}$,  der durch die dargestellte Musterfunktion  $x(t)$  vollständig charakterisiert ist.

Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses  $\{x_i(t)\}$  erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen  $\tau_i$,  wobei  $\tau_i$  als gleichverteilt zwischen  $0$  und der Periodendauer  $T_0$  angenommen wird.



Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Autokorrelationsfunktion.


Fragebogen

1

Ermitteln Sie die Periodendauer  $T_0$,  normiert auf die in der Skizze definierte Zeitdauer  $T$.

$T_0/T \ = \ $

2

Wie groß ist der Gleichsignalanteil  (lineare Mittelwert)  $m_x$  des beschriebenen Prozesses  $\{x_i(t)\}$?

$m_x \ = \ $

$\ \rm V$

3

Wie groß ist die  (auf den Widerstand  $1 \hspace{0.05cm} \rm \Omega$  bezogene)  Prozessleistung?

$P_x \ = \ $

$\ \rm V^2$

4

Berechnen Sie die AKF-Werte für  $\tau = T$  und  $\tau = 2T$.

$\varphi_x(\tau = T) \ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_x(\tau = 2T) \ = \ $

$\ \rm V^2$

5

Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Berücksichtigung möglicher Symmetrieen. 
Welche Werte ergeben sich für  $\tau = 3T$  und  $\tau = 4T$?

$\varphi_x(\tau = 3T) \ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_x(\tau = 4T)\ = \ $

$\ \rm V^2$

6

Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bezüglich aller  $\tau$-Werte.  Interpretieren Sie das Ergebnis.

${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big]\ = \ $

$\ \rm V^2$


Musterlösung

Zur AKF–Berechnung

(1)  Die  (normierte)  Periodendauer beträgt  $T_0/T \hspace{0.15cm}\underline{= 5}.$


(2)  Aufgrund der Periodizität genügt die Mittelung über eine Periodendauer  $T_0$:

$$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{1}{5 T} \cdot (2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$


(3)  In analoger Weise zur letzten Teilaufgabe erhält man für die mittlere Leistung:

$$P_x = \frac{2 T}{5 T} \cdot \big[(\rm 2V)^2 +(- \rm 1V)^2 \big]\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 2 \,V^2}.$$


(4)  Die nebenstehende Grafik zeigt jeweils im Bereich von  $0$  bis  $T_0 = 5T$

  • oben das Produkt  $x(t) \cdot x(t+T)$,
  • unten das Produkt  $x(t) \cdot x(t+2T)$.


  • Zu beachten ist,  dass  $x(t+T)$  eine Verschiebung des Signals  $x(t)$  um  $T$  nach links bedeutet.
  • Aus diesen Skizzen folgen die Beziehungen:
$$\varphi_x (T)= \rm {1}/{5 } \cdot (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$
$$\varphi_x ( 2 T)= \rm {1}/{5 } \cdot(-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$


Gesuchte Autokorrelationsfunktion

(5)  Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade:   $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$. 

  • Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit der gleichen Periodendauer  $T_0$  wie die einzelnen Musterfunktionen.  Daraus folgt:
$$\varphi_x ( 0) = \varphi_x (5 T) = \varphi_x (10 T) = \ \text{...} \ = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$
$$\varphi_x (3 T) = \varphi_x (-3 T) =\varphi_x (2 T) = \ \text{...} \ \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2},$$
$$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = \ \text{...} \ \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6 \,V^2}.$$
  • Die berechneten AKF-Werte können durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden,  da die Integration über Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.



(6)  Die fünf Intervalle  $(0$ bis $T)$,  $(T$ bis $2T)$, ... ,  $(4T$ bis $5T)$  liefern die Beiträge

$$(+1.3; -0.3; -1.2; -0.3; +1.3) \cdot \rm V^2.$$
  • Daraus ergibt sich der Erwartungswert  (lineare Mittelwert):
$${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.16 \,V^2}.$$
  • Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes  $m_x$   ⇒   siehe Teilaufgabe  (2).