Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: Messung der Übertragungsfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}
 
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[[Datei:P_ID788__LZI_Z_1_2.png |right|Gemessene Signalamplituden und Phasen bei Filter B (Aufgabe Z1.2)]]
 
Zur messtechnischen Bestimmung des Frequenzgangs von Filtern wird ein sinusförmiges Eingangssignal mit der Amplitude 2 V und vorgegebener Frequenz $f_0$ angelegt. Das Ausgangssignal $y(t)$ bzw. dessen Spektrum $Y(f)$ werden dann nach Betrag und Phase ermittelt.
 
  
Das Betragsspektrum am Ausgang von Filter A lautet mit der Frequenz $f_0 =$ 1 kHz:  
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[[Datei:P_ID788__LZI_Z_1_2.png |right|Gemessene Signalamplituden <br>und Phasen bei Filter&nbsp; $\rm B$|frame]]
$$|Y_{\rm A} (f)| = 1.6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f
+
Zur messtechnischen Bestimmung des Filterfrequenzgangs wird ein sinusförmiges Eingangssignal mit der Amplitude&nbsp; $2 \hspace{0.05cm} \text{V}$&nbsp; und vorgegebener Frequenz&nbsp; $f_0$&nbsp; angelegt.&nbsp; Das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; bzw. dessen Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; werden dann nach Betrag und Phase ermittelt.
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*Das Betragsspektrum am Ausgang von Filter&nbsp; $\rm A$&nbsp; lautet mit der Frequenz&nbsp; $f_0 = 1 \ \text{kHz}$:  
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:$$|Y_{\rm A} (f)| = 1.6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f
 
\pm f_0) + 0.4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta }  (f \pm 3 f_0) .$$
 
\pm f_0) + 0.4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta }  (f \pm 3 f_0) .$$
Bei einem anderen Filter B ist das Ausgangssignal dagegen stets eine harmonische Schwingung mit der (einzigen) Frequenz $f_0$. Bei den in der Tabelle angegebenen Frequenzen $f_0$ werden die Amplituden $A_y(f_0)$ und die Phasen $φ_y(f_0)$ gemessen. Hierbei gilt:  
+
*Bei einem anderen Filter&nbsp; $\rm B$&nbsp; ist das Ausgangssignal dagegen stets eine harmonische Schwingung mit der (einzigen) Frequenz&nbsp; $f_0$.&nbsp; Bei den in der Tabelle angegebenen Frequenzen&nbsp; $f_0$&nbsp; werden die Amplituden&nbsp; $A_y(f_0)$&nbsp; und die Phasen&nbsp; $φ_y(f_0)$&nbsp; gemessen.&nbsp; Hierbei gilt:  
$$Y_{\rm B} (f) = \frac{A_y}{2} \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \varphi_y}
+
:$$Y_{\rm B} (f) = {A_y}/{2} \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \varphi_y}
\cdot {\rm \delta } (f + f_0) +  \frac{A_y}{2} \cdot {\rm e}^{
+
\cdot {\rm \delta } (f + f_0) +  {A_y}/{2} \cdot {\rm e}^{
 
-{\rm j} \varphi_y} \cdot {\rm \delta } (f - f_0).$$
 
-{\rm j} \varphi_y} \cdot {\rm \delta } (f - f_0).$$
Das Filter B soll in der Aufgabe in der Form  
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$$H_{\rm B}(f) =  {\rm e}^{-a_{\rm B}(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}
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Das Filter&nbsp; $\rm B$ &nbsp;soll in der Aufgabe in der Form  
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:$$H_{\rm B}(f) =  {\rm e}^{-a_{\rm B}(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}
 
\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_{\rm B}(f)}$$
 
\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_{\rm B}(f)}$$
  
dargestellt werden; $a_{\rm B}(f)$ wird als Dämpfungsverlauf und $b_{\rm B}(f)$ als Phasenverlauf bezeichnet.  
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dargestellt werden. Hierbei bezeichnet
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*$a_{\rm B}(f_0)$&nbsp; den Dämpfungsverlauf, und  
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*$b_{\rm B}(f_0)$&nbsp; den Phasenverlauf.  
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'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Kapitel 1.1]].  
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''Hinweis:''  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
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{Welche der Aussagen sind hinsichtlich des Filters A zutreffend?  
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{Welche der Aussagen sind hinsichtlich des Filters&nbsp; $\rm A$&nbsp; zutreffend?  
 
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- Es gilt $|H(f)| =$ 0.8.
+
- Es gilt&nbsp; $|H(f)| = 0.8$.
+ Das Filter A stellt kein LZI–System dar.  
+
+ Das Filter&nbsp; $\rm A$&nbsp; stellt kein LZI–System dar.  
 
+ Die Angabe eines Frequenzgangs ist nicht möglich.  
 
+ Die Angabe eines Frequenzgangs ist nicht möglich.  
  
  
  
{Welche der Aussagen sind hinsichtlich des Filters B zutreffend?  
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{Welche der Aussagen sind hinsichtlich des Filters&nbsp; $\rm B$&nbsp; zutreffend?  
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- Filter B ist ein Tiefpass.  
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- Filter&nbsp; $\rm B$&nbsp; ist ein Tiefpass.  
- Filter B ist ein Hochpass.  
+
- Filter&nbsp; $\rm B$&nbsp; ist ein Hochpass.  
+ Filter B ist ein Bandpass.  
+
+ Filter&nbsp; $\rm B$&nbsp; ist ein Bandpass.  
- Filter B ist eine Bandsperre.  
+
- Filter&nbsp; $\rm B$&nbsp; ist eine Bandsperre.  
  
  
  
{Ermitteln Sie den Dämpfungswert und die Phase für $f_0 = 3$ kHz.  
+
{Ermitteln Sie den Dämpfungswert und die Phase für Filter&nbsp; $\rm B$&nbsp; und&nbsp; $f_0 = 3 \ \text{kHz}$.  
 
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$a_{\rm B}(f_0 = \: \rm 3 \: kHz) =$ { 0.693 5%  } Np
+
$a_{\rm B}(f_0 = \: \rm 3 \: kHz) \ = \ $ { 0.693 5%  } &nbsp;$\text{Np}$
$b_{\rm B}(f_0 = \: \rm 3 \: kHz) =$ { 0 } Grad
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$b_{\rm B}(f_0 = \: \rm 3 \: kHz) \ =\ $ { 0. } &nbsp;$\text{Grad}$
  
  
  
{Welcher Dämpfungs– und Phasenwert ergibt sich für $f_0 = 2$ kHz?
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{Welcher Dämpfungs– und Phasenwert ergibt sich für&nbsp; $f_0 = 2 \ \text{kHz}$?
 
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$a_{\rm B}(f_0 = \: \rm 2 \: kHz) =$ { 0.916 5%  } Np
+
$a_{\rm B}(f_0 = \: \rm 2 \: kHz) \ = \ $ { 0.916 5%  } &nbsp;$\text{Np}$
$b_{\rm B}(f_0 = \: \rm 2 \: kHz) =$ { 20 2%  } Grad
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$b_{\rm B}(f_0 = \: \rm 2 \: kHz) \ =\ $ { 20 2%  } &nbsp;$\text{Grad}$
  
  
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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'''1.''' Bei einem LZI–System gilt $Y(f) = X(f) · H(f)$. Daher ist es nicht möglich, dass im Ausgangssignal ein Anteil mit $3 f_0$ vorhanden ist, wenn ein solcher im Eingangssignal fehlt. Das heißt: Es liegt hier kein LZI–System vor und dementsprechend ist auch kein Frequenzgang angebbar. Richtig sind demnach die $\rm \underline{Lösungsvorschläge \: 2 \: und \: 3}$.
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind  die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
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*Bei einem LZI–System gilt&nbsp; $Y(f) = X(f) · H(f)$.  
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*Daher ist es nicht möglich, dass im Ausgangssignal ein Anteil mit&nbsp; $3 f_0$&nbsp; vorhanden ist, wenn ein solcher im Eingangssignal fehlt.  
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*Das heißt: &nbsp; Es liegt hier kein LZI–System vor und dementsprechend ist auch kein Frequenzgang angebbar.  
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'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
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*Aufgrund der angegeben Zahlenwerte für&nbsp; $A_y(f_0)$&nbsp; kann von einem <u>Bandpass</u> ausgegangen werden.
  
'''2.''' Aufgrund der angegeben Zahlenwerte für $A_y(f_0)$ kann von einem $\rm \underline{Bandpass}$ ausgegangen werden.
 
  
  
'''3.''' Mit $A_x =$ 2 V und $φ_x =$ 90° (Sinusfunktion) erhält man für $f_0 = f_3 =$ 3 kHz:  
+
'''(3)'''&nbsp; Mit&nbsp; $A_x = 2 \text{ V}$&nbsp;  und&nbsp; $\varphi_x = 90^\circ$&nbsp;  (Sinusfunktion) erhält man für&nbsp; $f_0 = f_3 =3 \text{ kHz}$:  
$$H_{\rm B} (f_3) = \frac{A_y}{A_x} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j}
+
:$$H_{\rm B} (f_3) = \frac{A_y}{A_x} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j}
 
(\varphi_x - \varphi_y)} =  \frac{1\hspace{0.05cm}{\rm
 
(\varphi_x - \varphi_y)} =  \frac{1\hspace{0.05cm}{\rm
 
V}}{2\hspace{0.05cm}{\rm V}} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (90^{\circ} -
 
V}}{2\hspace{0.05cm}{\rm V}} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (90^{\circ} -
 
90^{\circ})} = 0.5.$$
 
90^{\circ})} = 0.5.$$
Somit ergeben sich für $f_0 =$ 3 kHz die Werte $a_{\rm B} \rm \underline{\: ≈ \: 0.693 \: Np}$ und $b_{\rm B} \rm \underline{\: = \: 0 \: (Grad)}$.  
+
Somit ergeben sich für&nbsp; $f_0 = f_3 = 3 \text{ kHz}$&nbsp; die Werte  
 +
*$a_{\rm B} (f_3)\rm \underline{\: ≈ \: 0.693 \: Np}$,
 +
*$b_{\rm B}(f_3) \rm \underline{\: = \: 0 \: (Grad)}$.  
  
  
'''4.''' In analoger Weise kann der Frequenzgang bei $f_0 = f_2 =$ 2 kHz ermittelt werden:  
+
'''(4)'''&nbsp; In analoger Weise kann der Frequenzgang bei&nbsp; $f_0 = f_2 =2 \text{ kHz}$&nbsp; ermittelt werden:  
$$H_{\rm B} ( f_2)  =  \frac{0.8\hspace{0.05cm}{\rm
+
:$$H_{\rm B} ( f_2)  =  \frac{0.8\hspace{0.05cm}{\rm
 
V}}{2\hspace{0.05cm}{\rm V}} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (90^{\circ} -
 
V}}{2\hspace{0.05cm}{\rm V}} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (90^{\circ} -
 
70^{\circ})} = 0.4\cdot {\rm e}^{ -{\rm j} 20^{\circ}}.$$
 
70^{\circ})} = 0.4\cdot {\rm e}^{ -{\rm j} 20^{\circ}}.$$
Damit gilt für $f_0 = f_2 =$ 2 kHz: $a_{\rm B}(f_2) \rm \underline{\: ≈ \: 0.916 \: Np}$ und $b_{\rm B}(f_2) \rm \underline{\: = \: 20°}$.  
+
Damit erhält man  für&nbsp; $f_0 = f_2 = 2 \ \text{ kHz}$:  
Bei $f =$ –2 kHz gilt der gleiche Dämpfungswert. Die Phase hat jedoch das umgekehrte Vorzeichen. Also ist $b_{\rm B}(–f_2) =$ –20°.
+
*$a_{\rm B}(f_2) \rm \underline{\: ≈ \: 0.916 \: Np}$,
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* $b_{\rm B}(f_2) \rm \underline{\: = \: 20°}$.  
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Bei&nbsp; $f_0 = -f_2 =-\hspace{-0.01cm}2  \text{ kHz}$&nbsp; gilt der gleiche Dämpfungswert.&nbsp; Die Phase hat jedoch das umgekehrte Vorzeichen. Also ist&nbsp; $b_{\rm B}(–f_2) = \ –\hspace{-0.01cm}20^{\circ}.$  
  
 
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Aktuelle Version vom 11. Juli 2021, 16:58 Uhr


Gemessene Signalamplituden
und Phasen bei Filter  $\rm B$

Zur messtechnischen Bestimmung des Filterfrequenzgangs wird ein sinusförmiges Eingangssignal mit der Amplitude  $2 \hspace{0.05cm} \text{V}$  und vorgegebener Frequenz  $f_0$  angelegt.  Das Ausgangssignal  $y(t)$  bzw. dessen Spektrum  $Y(f)$  werden dann nach Betrag und Phase ermittelt.

  • Das Betragsspektrum am Ausgang von Filter  $\rm A$  lautet mit der Frequenz  $f_0 = 1 \ \text{kHz}$:
$$|Y_{\rm A} (f)| = 1.6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f \pm f_0) + 0.4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f \pm 3 f_0) .$$
  • Bei einem anderen Filter  $\rm B$  ist das Ausgangssignal dagegen stets eine harmonische Schwingung mit der (einzigen) Frequenz  $f_0$.  Bei den in der Tabelle angegebenen Frequenzen  $f_0$  werden die Amplituden  $A_y(f_0)$  und die Phasen  $φ_y(f_0)$  gemessen.  Hierbei gilt:
$$Y_{\rm B} (f) = {A_y}/{2} \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \varphi_y} \cdot {\rm \delta } (f + f_0) + {A_y}/{2} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} \varphi_y} \cdot {\rm \delta } (f - f_0).$$

Das Filter  $\rm B$  soll in der Aufgabe in der Form

$$H_{\rm B}(f) = {\rm e}^{-a_{\rm B}(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_{\rm B}(f)}$$

dargestellt werden. Hierbei bezeichnet

  • $a_{\rm B}(f_0)$  den Dämpfungsverlauf, und
  • $b_{\rm B}(f_0)$  den Phasenverlauf.




Hinweis:


Fragebogen

1

Welche der Aussagen sind hinsichtlich des Filters  $\rm A$  zutreffend?

Es gilt  $|H(f)| = 0.8$.
Das Filter  $\rm A$  stellt kein LZI–System dar.
Die Angabe eines Frequenzgangs ist nicht möglich.

2

Welche der Aussagen sind hinsichtlich des Filters  $\rm B$  zutreffend?

Filter  $\rm B$  ist ein Tiefpass.
Filter  $\rm B$  ist ein Hochpass.
Filter  $\rm B$  ist ein Bandpass.
Filter  $\rm B$  ist eine Bandsperre.

3

Ermitteln Sie den Dämpfungswert und die Phase für Filter  $\rm B$  und  $f_0 = 3 \ \text{kHz}$.

$a_{\rm B}(f_0 = \: \rm 3 \: kHz) \ = \ $

 $\text{Np}$
$b_{\rm B}(f_0 = \: \rm 3 \: kHz) \ =\ $

 $\text{Grad}$

4

Welcher Dämpfungs– und Phasenwert ergibt sich für  $f_0 = 2 \ \text{kHz}$?

$a_{\rm B}(f_0 = \: \rm 2 \: kHz) \ = \ $

 $\text{Np}$
$b_{\rm B}(f_0 = \: \rm 2 \: kHz) \ =\ $

 $\text{Grad}$


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Bei einem LZI–System gilt  $Y(f) = X(f) · H(f)$.
  • Daher ist es nicht möglich, dass im Ausgangssignal ein Anteil mit  $3 f_0$  vorhanden ist, wenn ein solcher im Eingangssignal fehlt.
  • Das heißt:   Es liegt hier kein LZI–System vor und dementsprechend ist auch kein Frequenzgang angebbar.


(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

  • Aufgrund der angegeben Zahlenwerte für  $A_y(f_0)$  kann von einem Bandpass ausgegangen werden.


(3)  Mit  $A_x = 2 \text{ V}$  und  $\varphi_x = 90^\circ$  (Sinusfunktion) erhält man für  $f_0 = f_3 =3 \text{ kHz}$:

$$H_{\rm B} (f_3) = \frac{A_y}{A_x} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (\varphi_x - \varphi_y)} = \frac{1\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2\hspace{0.05cm}{\rm V}} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (90^{\circ} - 90^{\circ})} = 0.5.$$

Somit ergeben sich für  $f_0 = f_3 = 3 \text{ kHz}$  die Werte

  • $a_{\rm B} (f_3)\rm \underline{\: ≈ \: 0.693 \: Np}$,
  • $b_{\rm B}(f_3) \rm \underline{\: = \: 0 \: (Grad)}$.


(4)  In analoger Weise kann der Frequenzgang bei  $f_0 = f_2 =2 \text{ kHz}$  ermittelt werden:

$$H_{\rm B} ( f_2) = \frac{0.8\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2\hspace{0.05cm}{\rm V}} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (90^{\circ} - 70^{\circ})} = 0.4\cdot {\rm e}^{ -{\rm j} 20^{\circ}}.$$

Damit erhält man für  $f_0 = f_2 = 2 \ \text{ kHz}$:

  • $a_{\rm B}(f_2) \rm \underline{\: ≈ \: 0.916 \: Np}$,
  • $b_{\rm B}(f_2) \rm \underline{\: = \: 20°}$.


Bei  $f_0 = -f_2 =-\hspace{-0.01cm}2 \text{ kHz}$  gilt der gleiche Dämpfungswert.  Die Phase hat jedoch das umgekehrte Vorzeichen. Also ist  $b_{\rm B}(–f_2) = \ –\hspace{-0.01cm}20^{\circ}.$