Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: Messung der Übertragungsfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Das Betragsspektrum am Ausgang von Filter A lautet mit der Frequenz $f_0 = | + | [[Datei:P_ID788__LZI_Z_1_2.png |right|Gemessene Signalamplituden <br>und Phasen bei Filter $\rm B$|frame]] |
− | $$|Y_{\rm A} (f)| = 1.6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f | + | Zur messtechnischen Bestimmung des Filterfrequenzgangs wird ein sinusförmiges Eingangssignal mit der Amplitude $2 \hspace{0.05cm} \text{V}$ und vorgegebener Frequenz $f_0$ angelegt. Das Ausgangssignal $y(t)$ bzw. dessen Spektrum $Y(f)$ werden dann nach Betrag und Phase ermittelt. |
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+ | *Das Betragsspektrum am Ausgang von Filter $\rm A$ lautet mit der Frequenz $f_0 = 1 \ \text{kHz}$: | ||
+ | :$$|Y_{\rm A} (f)| = 1.6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f | ||
\pm f_0) + 0.4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f \pm 3 f_0) .$$ | \pm f_0) + 0.4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f \pm 3 f_0) .$$ | ||
− | Bei einem anderen Filter B ist das Ausgangssignal dagegen stets eine harmonische Schwingung mit der (einzigen) Frequenz $f_0$. Bei den in der Tabelle angegebenen Frequenzen $f_0$ werden die Amplituden $A_y(f_0)$ und die Phasen $φ_y(f_0)$ gemessen. Hierbei gilt: | + | *Bei einem anderen Filter $\rm B$ ist das Ausgangssignal dagegen stets eine harmonische Schwingung mit der (einzigen) Frequenz $f_0$. Bei den in der Tabelle angegebenen Frequenzen $f_0$ werden die Amplituden $A_y(f_0)$ und die Phasen $φ_y(f_0)$ gemessen. Hierbei gilt: |
− | $$Y_{\rm B} (f) = | + | :$$Y_{\rm B} (f) = {A_y}/{2} \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \varphi_y} |
− | \cdot {\rm \delta } (f + f_0) + | + | \cdot {\rm \delta } (f + f_0) + {A_y}/{2} \cdot {\rm e}^{ |
-{\rm j} \varphi_y} \cdot {\rm \delta } (f - f_0).$$ | -{\rm j} \varphi_y} \cdot {\rm \delta } (f - f_0).$$ | ||
− | Das Filter B soll in der Aufgabe in der Form | + | |
− | $$H_{\rm B}(f) = {\rm e}^{-a_{\rm B}(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} | + | Das Filter $\rm B$ soll in der Aufgabe in der Form |
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+ | *$b_{\rm B}(f_0)$ den Phasenverlauf. | ||
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− | {Welche der Aussagen sind hinsichtlich des Filters A zutreffend? | + | {Welche der Aussagen sind hinsichtlich des Filters $\rm A$ zutreffend? |
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− | - Es gilt $|H(f)| = | + | - Es gilt $|H(f)| = 0.8$. |
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+ Die Angabe eines Frequenzgangs ist nicht möglich. | + Die Angabe eines Frequenzgangs ist nicht möglich. | ||
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− | - Filter B ist ein Tiefpass. | + | - Filter $\rm B$ ist ein Tiefpass. |
− | - Filter B ist ein Hochpass. | + | - Filter $\rm B$ ist ein Hochpass. |
− | + Filter B ist ein Bandpass. | + | + Filter $\rm B$ ist ein Bandpass. |
− | - Filter B ist eine Bandsperre. | + | - Filter $\rm B$ ist eine Bandsperre. |
− | {Ermitteln Sie den Dämpfungswert und die Phase für $f_0 = 3$ | + | {Ermitteln Sie den Dämpfungswert und die Phase für Filter $\rm B$ und $f_0 = 3 \ \text{kHz}$. |
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− | {Welcher Dämpfungs– und Phasenwert ergibt sich für $f_0 = 2$ | + | {Welcher Dämpfungs– und Phasenwert ergibt sich für $f_0 = 2 \ \text{kHz}$? |
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− | $a_{\rm B}(f_0 = \: \rm 2 \: kHz) =$ { 0.916 5% } Np | + | $a_{\rm B}(f_0 = \: \rm 2 \: kHz) \ = \ $ { 0.916 5% } $\text{Np}$ |
− | $b_{\rm B}(f_0 = \: \rm 2 \: kHz) =$ { 20 2% } Grad | + | $b_{\rm B}(f_0 = \: \rm 2 \: kHz) \ =\ $ { 20 2% } $\text{Grad}$ |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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− | '''1 | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: |
+ | *Bei einem LZI–System gilt $Y(f) = X(f) · H(f)$. | ||
+ | *Daher ist es nicht möglich, dass im Ausgangssignal ein Anteil mit $3 f_0$ vorhanden ist, wenn ein solcher im Eingangssignal fehlt. | ||
+ | *Das heißt: Es liegt hier kein LZI–System vor und dementsprechend ist auch kein Frequenzgang angebbar. | ||
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+ | '''(2)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>: | ||
+ | *Aufgrund der angegeben Zahlenwerte für $A_y(f_0)$ kann von einem <u>Bandpass</u> ausgegangen werden. | ||
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− | '''3 | + | '''(3)''' Mit $A_x = 2 \text{ V}$ und $\varphi_x = 90^\circ$ (Sinusfunktion) erhält man für $f_0 = f_3 =3 \text{ kHz}$: |
− | $$H_{\rm B} (f_3) = \frac{A_y}{A_x} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} | + | :$$H_{\rm B} (f_3) = \frac{A_y}{A_x} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} |
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70^{\circ})} = 0.4\cdot {\rm e}^{ -{\rm j} 20^{\circ}}.$$ | 70^{\circ})} = 0.4\cdot {\rm e}^{ -{\rm j} 20^{\circ}}.$$ | ||
− | Damit | + | Damit erhält man für $f_0 = f_2 = 2 \ \text{ kHz}$: |
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+ | Bei $f_0 = -f_2 =-\hspace{-0.01cm}2 \text{ kHz}$ gilt der gleiche Dämpfungswert. Die Phase hat jedoch das umgekehrte Vorzeichen. Also ist $b_{\rm B}(–f_2) = \ –\hspace{-0.01cm}20^{\circ}.$ | ||
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Aktuelle Version vom 11. Juli 2021, 16:58 Uhr
Zur messtechnischen Bestimmung des Filterfrequenzgangs wird ein sinusförmiges Eingangssignal mit der Amplitude $2 \hspace{0.05cm} \text{V}$ und vorgegebener Frequenz $f_0$ angelegt. Das Ausgangssignal $y(t)$ bzw. dessen Spektrum $Y(f)$ werden dann nach Betrag und Phase ermittelt.
- Das Betragsspektrum am Ausgang von Filter $\rm A$ lautet mit der Frequenz $f_0 = 1 \ \text{kHz}$:
- $$|Y_{\rm A} (f)| = 1.6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f \pm f_0) + 0.4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f \pm 3 f_0) .$$
- Bei einem anderen Filter $\rm B$ ist das Ausgangssignal dagegen stets eine harmonische Schwingung mit der (einzigen) Frequenz $f_0$. Bei den in der Tabelle angegebenen Frequenzen $f_0$ werden die Amplituden $A_y(f_0)$ und die Phasen $φ_y(f_0)$ gemessen. Hierbei gilt:
- $$Y_{\rm B} (f) = {A_y}/{2} \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \varphi_y} \cdot {\rm \delta } (f + f_0) + {A_y}/{2} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} \varphi_y} \cdot {\rm \delta } (f - f_0).$$
Das Filter $\rm B$ soll in der Aufgabe in der Form
- $$H_{\rm B}(f) = {\rm e}^{-a_{\rm B}(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_{\rm B}(f)}$$
dargestellt werden. Hierbei bezeichnet
- $a_{\rm B}(f_0)$ den Dämpfungsverlauf, und
- $b_{\rm B}(f_0)$ den Phasenverlauf.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Systembeschreibung im Frequenzbereich.
Fragebogen
Musterlösung
- Bei einem LZI–System gilt $Y(f) = X(f) · H(f)$.
- Daher ist es nicht möglich, dass im Ausgangssignal ein Anteil mit $3 f_0$ vorhanden ist, wenn ein solcher im Eingangssignal fehlt.
- Das heißt: Es liegt hier kein LZI–System vor und dementsprechend ist auch kein Frequenzgang angebbar.
(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:
- Aufgrund der angegeben Zahlenwerte für $A_y(f_0)$ kann von einem Bandpass ausgegangen werden.
(3) Mit $A_x = 2 \text{ V}$ und $\varphi_x = 90^\circ$ (Sinusfunktion) erhält man für $f_0 = f_3 =3 \text{ kHz}$:
- $$H_{\rm B} (f_3) = \frac{A_y}{A_x} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (\varphi_x - \varphi_y)} = \frac{1\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2\hspace{0.05cm}{\rm V}} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (90^{\circ} - 90^{\circ})} = 0.5.$$
Somit ergeben sich für $f_0 = f_3 = 3 \text{ kHz}$ die Werte
- $a_{\rm B} (f_3)\rm \underline{\: ≈ \: 0.693 \: Np}$,
- $b_{\rm B}(f_3) \rm \underline{\: = \: 0 \: (Grad)}$.
(4) In analoger Weise kann der Frequenzgang bei $f_0 = f_2 =2 \text{ kHz}$ ermittelt werden:
- $$H_{\rm B} ( f_2) = \frac{0.8\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2\hspace{0.05cm}{\rm V}} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (90^{\circ} - 70^{\circ})} = 0.4\cdot {\rm e}^{ -{\rm j} 20^{\circ}}.$$
Damit erhält man für $f_0 = f_2 = 2 \ \text{ kHz}$:
- $a_{\rm B}(f_2) \rm \underline{\: ≈ \: 0.916 \: Np}$,
- $b_{\rm B}(f_2) \rm \underline{\: = \: 20°}$.
Bei $f_0 = -f_2 =-\hspace{-0.01cm}2 \text{ kHz}$ gilt der gleiche Dämpfungswert. Die Phase hat jedoch das umgekehrte Vorzeichen. Also ist $b_{\rm B}(–f_2) = \ –\hspace{-0.01cm}20^{\circ}.$