Aufgaben:Aufgabe 4.5Z: Nochmals Impulsantwort: Unterschied zwischen den Versionen
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− | [[Datei:P_ID1815__LZI_Z_4_5.png|right|]] | + | [[Datei:P_ID1815__LZI_Z_4_5.png|right|frame|Impulsantwort eines Koaxialkabels (Darstellung mit bzw. ohne Laufzeit)]] |
− | + | Wir betrachten wie in [[Aufgaben:4.5_Koaxialkabel_–_Impulsantwort|Aufgabe 4.5]] ein binäres Übertragungssystem mit der Bitrate $R$ ⇒ Symboldauer $T= 1/R$. | |
− | :$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0. | + | |
− | \hspace{0.05cm}l} | + | Als Übertragungsmedium wird ein „Normalkoaxialkabel” $\text{(2.6 mm}$ Kerndurchmesser, $\text{9.5 mm}$ Außendurchmesser$)$ der Länge $l = 1 \ \rm km$ mit folgendem Frequenzgang verwendet: |
+ | :$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f | ||
+ | \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l} | ||
\cdot {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.01cm} | \cdot {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.01cm} | ||
\sqrt{f} | \sqrt{f} | ||
\hspace{0.05cm}l} | \hspace{0.05cm}l} | ||
− | \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0. | + | \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} |
\sqrt{f} | \sqrt{f} | ||
− | \hspace{0.05cm}l} | + | \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l} |
= H_1(f) \cdot H_2(f) \cdot H_3(f)$$ | = H_1(f) \cdot H_2(f) \cdot H_3(f)$$ | ||
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− | + | Die Teilfrequenzgänge $H_1(f)$, $H_2(f)$ und $H_3(f)$ dienen hier nur als Abkürzung. Die Leitungsparameter lauten: | |
− | :$$\beta_1 = 21.78\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm}, | + | :$$\beta_1 = 21.78\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm}, $$ |
− | + | :$$ \alpha_2 = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},$$ | |
− | + | :$$ \beta_2 = 0.2722\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} | |
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | + | Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm K}(t\hspace{0.05cm}')$, wobei $t\hspace{0.05cm}' = t/T$ die normierte Zeit darstellt. Ohne Berücksichtigung der (normierten) Phasenlaufzeit $\tau\hspace{0.05cm}' = \tau/T$ kann $h_{\rm K}(t\hspace{0.05cm}')$ wie folgt geschrieben werden: | |
− | :$$h_{\rm K}(t') = \frac {1}{T} \cdot \frac { | + | :$$h_{\rm K}(t\hspace{0.05cm}') = \frac {1}{T} \cdot \frac {a_\rm \star/\pi}{ \sqrt{2 |
− | \hspace{0.05cm}t'^3}}\cdot {\rm | + | \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}'^3}}\cdot {\rm e}^{ -{a_\rm \star^2}/( {2\pi |
− | \hspace{0.05cm}t'}} | + | \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}')} } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} |
− | {\rm mit}\hspace{0.15cm}{ | + | {\rm mit}\hspace{0.15cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm} |
{\rm in}\hspace{0.15cm} | {\rm in}\hspace{0.15cm} | ||
{\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$ | {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | + | *Diese Gleichung gibt die Fourierrücktransformierte des Produkts $H_2(f) \cdot H_3(f)$ an. | |
+ | *Verwendet ist dabei die charakteristische Kabeldämpfung ${a}_{\rm \star} = \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l \hspace{0.05cm}.$ | ||
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− | : | + | ''Hinweise:'' |
− | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln|Eigenschaften von Koaxialkabeln]]. | |
− | :$${\rm Max}[T \cdot h_{\rm K}(t)] = \frac {\sqrt{13.5 \pi} \cdot {\rm e}^{-1.5} }{{ | + | |
− | \frac {1.453 }{{ | + | *Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]] benutzen. |
− | {\rm mit}\hspace{0.15cm}{ | + | *In der [[Aufgaben:4.5_Koaxialkabel_–_Impulsantwort|Aufgabe 4.5]] wurde der Maximalwert der normierten Impulsantwort wie folgt berechnet: |
+ | :$${\rm Max}\, \big[T \cdot h_{\rm K}(t)\big ] = \frac {\sqrt{13.5 \pi} \cdot {\rm e}^{-1.5} }{{a}_{\rm \star}^2} \approx | ||
+ | \frac {1.453 }{{a}_{\rm \star}^2} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} | ||
+ | {\rm mit}\hspace{0.15cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm} | ||
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− | {Welcher Teilfrequenzgang ist für die Phasenlaufzeit | + | {Welcher Teilfrequenzgang ist für die Phasenlaufzeit $\tau$ verantwortlich? |
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− | + | + | + $H_1(f)$, |
− | - | + | - $H_2(f)$, |
− | - | + | - $H_3(f)$. |
− | {Bestimmen Sie die Bitrate des Binärsystems, wenn | + | {Bestimmen Sie die Bitrate des Binärsystems, wenn $\tau\hspace{0.05cm}' = \tau/T = 694$ beträgt. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $R$ | + | $R \ = \ $ { 20 3% } $\ \rm Mbit/s$ |
− | {Geben Sie die charakteristische Kabeldämpfung zur gemeinsamen Beschreibung der Frequenzgänge | + | {Geben Sie die charakteristische Kabeldämpfung ${a}_{\rm \star}$ zur gemeinsamen Beschreibung der Frequenzgänge $H_2(f)$ und $H_3(f)$ an. |
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− | $ | + | ${a}_{\rm \star} \ = \ $ { 8.6 3% } $\ \rm Np$ |
{Bestimmen Sie den (normierten) Maximalwert der Impulsantwort. | {Bestimmen Sie den (normierten) Maximalwert der Impulsantwort. | ||
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− | $Max[T \cdot | + | ${\rm Max}\, \big[T \cdot h_{\rm K}(t)\big] \ = \ $ { 0.02 3% } |
{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend? | {Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + Verzerrungen werden ohne | + | + Verzerrungen werden ohne $H_1(f)$ richtig wiedergegeben. |
− | - Verzerrungen werden ohne | + | - Verzerrungen werden ohne $H_2(f)$ richtig wiedergegeben. |
− | - Verzerrungen werden ohne | + | - Verzerrungen werden ohne $H_3(f)$ richtig wiedergegeben. |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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− | + | '''(1)''' Richtig ist <u>nur die Aussage 1</u>: | |
+ | *Die Spektraldarstellung eines Laufzeitgliedes lautet ${\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\tau}$. | ||
+ | *Ein Vergleich mit der Angabenseite zeigt, dass $H_1(f)$ genau diesem Ansatz genügt. | ||
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+ | '''(3)''' Für die charakteristische Kabeldämpfung erhält man somit: | ||
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− | + | *Der entsprechende dB–Wert ist ${a}_{\rm \star} = 75 \ \rm dB$. | |
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− | + | '''(5)''' Richtig ist <u>nur die Aussage 1</u>: $H_1(f)$ beschreibt die frequenzunabhängige Laufzeit, die keine Verzerrung zur Folge hat. | |
− | :* | + | Dagegen sollte man zur Berechnung der Impulsantwort auf keinen Fall auf $H_2(f)$ oder $H_3(f)$ verzichten, da es sonst es zu gravierenden Fehlern kommen würde: |
+ | * Die Impulsantwort $h_2(t)$ als die Fourierrücktransformierte von $H_2(f)$ ist eine gerade Funktion mit dem Maximum bei $t = 0$ und erstreckt sich in beide Richtungen über Hunderte von Symbolen. | ||
+ | * Dagegen ist die Fourierrücktransformierte von $H_3(f)$ eine ungerade Funktion mit einer Sprungstelle bei $t = 0$. | ||
+ | *Für $t > 0$ fällt $h_3(t)$ ähnlich – aber nicht exakt – wie eine Exponentialfunktion ab. Für negative Zeiten $t$ gilt $h_3(t) = - h_3(|t|)$. | ||
+ | * Erst die Faltung $h_2(t) \star h_3(t)$ liefert die kausale Impulsantwort, allerdings ohne die Phasenlaufzeit $\tau$, die in diesem Modell durch $H_1(f)$ berücksichtigt wird. | ||
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Aktuelle Version vom 7. November 2019, 15:16 Uhr
Wir betrachten wie in Aufgabe 4.5 ein binäres Übertragungssystem mit der Bitrate $R$ ⇒ Symboldauer $T= 1/R$.
Als Übertragungsmedium wird ein „Normalkoaxialkabel” $\text{(2.6 mm}$ Kerndurchmesser, $\text{9.5 mm}$ Außendurchmesser$)$ der Länge $l = 1 \ \rm km$ mit folgendem Frequenzgang verwendet:
- $$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l} \cdot {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.01cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}l} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l} = H_1(f) \cdot H_2(f) \cdot H_3(f)$$
Die Teilfrequenzgänge $H_1(f)$, $H_2(f)$ und $H_3(f)$ dienen hier nur als Abkürzung. Die Leitungsparameter lauten:
- $$\beta_1 = 21.78\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm}, $$
- $$ \alpha_2 = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},$$
- $$ \beta_2 = 0.2722\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm K}(t\hspace{0.05cm}')$, wobei $t\hspace{0.05cm}' = t/T$ die normierte Zeit darstellt. Ohne Berücksichtigung der (normierten) Phasenlaufzeit $\tau\hspace{0.05cm}' = \tau/T$ kann $h_{\rm K}(t\hspace{0.05cm}')$ wie folgt geschrieben werden:
- $$h_{\rm K}(t\hspace{0.05cm}') = \frac {1}{T} \cdot \frac {a_\rm \star/\pi}{ \sqrt{2 \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}'^3}}\cdot {\rm e}^{ -{a_\rm \star^2}/( {2\pi \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}')} } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm} {\rm in}\hspace{0.15cm} {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$
- Diese Gleichung gibt die Fourierrücktransformierte des Produkts $H_2(f) \cdot H_3(f)$ an.
- Verwendet ist dabei die charakteristische Kabeldämpfung ${a}_{\rm \star} = \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l \hspace{0.05cm}.$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Eigenschaften von Koaxialkabeln.
- Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet Zeitverhalten von Kupferkabeln benutzen.
- In der Aufgabe 4.5 wurde der Maximalwert der normierten Impulsantwort wie folgt berechnet:
- $${\rm Max}\, \big[T \cdot h_{\rm K}(t)\big ] = \frac {\sqrt{13.5 \pi} \cdot {\rm e}^{-1.5} }{{a}_{\rm \star}^2} \approx \frac {1.453 }{{a}_{\rm \star}^2} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm} {\rm in}\hspace{0.15cm} {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- Die Spektraldarstellung eines Laufzeitgliedes lautet ${\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\tau}$.
- Ein Vergleich mit der Angabenseite zeigt, dass $H_1(f)$ genau diesem Ansatz genügt.
(2) Entsprechend dem Angabenblatt gilt:
- $$2\pi \cdot f \cdot \tau = \beta_1 \cdot f \cdot l \Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau= \frac {\beta_1 \cdot l}{2\pi} = \frac {21.78\, {\rm rad}/{({\rm km \cdot MHz})}\cdot 10\,{\rm km}}{2\pi} = 34.7\,{\rm µ s}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau '= {\tau}/{T} = 694 \Rightarrow \hspace{0.3cm} T = \frac {34.7\,{\rm µ s}}{700} \approx 0.05\,{\rm µ s}\hspace{0.05cm}.$$
- Die Bitrate ist gleich dem Kehrwert der Symboldauer:
- $$\underline{R = 20 \ \rm Mbit/s}.$$
(3) Für die charakteristische Kabeldämpfung erhält man somit:
- $${a}_{\rm \star} = \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot \sqrt {10\,{\rm MHz}} \cdot 10\,{\rm km} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 8.6\,{\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
- Der entsprechende dB–Wert ist ${a}_{\rm \star} = 75 \ \rm dB$.
(4) Mit der angegebenen Gleichung und dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) ergibt sich:
- $${\rm Max}\, \big[T \cdot h_{\rm K}(t)\big] \approx \frac {1.453 }{{a}_{\rm \star}^2} = \frac {1.453 }{8.6^2} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.02}\hspace{0.05cm}.$$
(5) Richtig ist nur die Aussage 1: $H_1(f)$ beschreibt die frequenzunabhängige Laufzeit, die keine Verzerrung zur Folge hat.
Dagegen sollte man zur Berechnung der Impulsantwort auf keinen Fall auf $H_2(f)$ oder $H_3(f)$ verzichten, da es sonst es zu gravierenden Fehlern kommen würde:
- Die Impulsantwort $h_2(t)$ als die Fourierrücktransformierte von $H_2(f)$ ist eine gerade Funktion mit dem Maximum bei $t = 0$ und erstreckt sich in beide Richtungen über Hunderte von Symbolen.
- Dagegen ist die Fourierrücktransformierte von $H_3(f)$ eine ungerade Funktion mit einer Sprungstelle bei $t = 0$.
- Für $t > 0$ fällt $h_3(t)$ ähnlich – aber nicht exakt – wie eine Exponentialfunktion ab. Für negative Zeiten $t$ gilt $h_3(t) = - h_3(|t|)$.
- Erst die Faltung $h_2(t) \star h_3(t)$ liefert die kausale Impulsantwort, allerdings ohne die Phasenlaufzeit $\tau$, die in diesem Modell durch $H_1(f)$ berücksichtigt wird.