Aufgaben:Aufgabe 4.5Z: Nochmals Impulsantwort: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID1815__LZI_Z_4_5.png|right|]]
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[[Datei:P_ID1815__LZI_Z_4_5.png|right|frame|Impulsantwort eines Koaxialkabels (Darstellung mit bzw. ohne Laufzeit)]]
:Wir betrachten wieder wie in der Aufgabe A4.5 ein binäres Übertragungssystem mit der Bitrate <i>R</i> und der Symboldauer <i>T</i> = 1/<i>R</i>. Als Übertragungsmedium wird ein Normalkoaxialkabel (Innendurchmesser: 2.6 mm, Außendurchmesser: 9.5 mm) mit dem Frequenzgang
+
Wir betrachten wie in &nbsp;[[Aufgaben:4.5_Koaxialkabel_–_Impulsantwort|Aufgabe 4.5]]&nbsp; ein binäres Übertragungssystem mit der Bitrate &nbsp;$R$&nbsp; &rArr; &nbsp; Symboldauer &nbsp;$T= 1/R$.  
:$$H_{\rm K}(f)    =  {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.01cm}  f
+
 
   \hspace{0.05cm}l}
+
Als Übertragungsmedium wird ein &bdquo;Normalkoaxialkabel&rdquo;&nbsp; $\text{(2.6 mm}$&nbsp; Kerndurchmesser,&nbsp; $\text{9.5 mm}$&nbsp; Außendurchmesser$)$&nbsp; der Länge &nbsp;$l = 1 \ \rm km$&nbsp; mit folgendem Frequenzgang verwendet:
 +
:$$H_{\rm K}(f)    =  {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}  f
 +
   \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l}
 
  \cdot {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.01cm}
 
  \cdot {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.01cm}
 
  \sqrt{f}
 
  \sqrt{f}
 
   \hspace{0.05cm}l}
 
   \hspace{0.05cm}l}
  \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.01cm}
+
  \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}
 
  \sqrt{f}
 
  \sqrt{f}
   \hspace{0.05cm}l}\\
+
   \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l}
 
  =  H_1(f) \cdot H_2(f) \cdot H_3(f)$$
 
  =  H_1(f) \cdot H_2(f) \cdot H_3(f)$$
:verwendet. Die Kabellänge beträgt <i>l</i> = 1 Kilometer.
 
  
:Die Teilfrequenzgänge <i>H</i><sub>1</sub>(<i>f</i>), <i>H</i><sub>2</sub>(<i>f</i>), <i>H</i><sub>3</sub>(<i>f</i>) dienen hier nur als Abkürzung. Die Leitungsparameter lauten:
+
Die Teilfrequenzgänge &nbsp;$H_1(f)$, &nbsp;$H_2(f)$&nbsp; und &nbsp;$H_3(f)$&nbsp; dienen hier nur als Abkürzung.&nbsp; Die Leitungsparameter lauten:
:$$\beta_1 = 21.78\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
+
:$$\beta_1 = 21.78\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm}, $$
\alpha_2 = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
+
:$$ \alpha_2 = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},$$
\beta_2 = 0.2722\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}
+
:$$ \beta_2 = 0.2722\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
:Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort <i>h</i><sub>K</sub>(<i>t</i>'), wobei <i>t</i>' = <i>t</i>/<i>T</i> die normierte Zeit darstellt. Ohne Berücksichtigung der (normierten) Phasenlaufzeit <i>&tau;</i>' = <i>&tau;</i>/<i>T</i> kann <i>h</i><sub>K</sub>(<i>t</i>') wie folgt geschrieben werden:
+
Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm K}(t\hspace{0.05cm}')$, wobei &nbsp;$t\hspace{0.05cm}' = t/T$&nbsp; die normierte Zeit darstellt. Ohne Berücksichtigung der (normierten) Phasenlaufzeit &nbsp;$\tau\hspace{0.05cm}' = \tau/T$&nbsp; kann &nbsp;$h_{\rm K}(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; wie folgt geschrieben werden:
:$$h_{\rm K}(t')  = \frac {1}{T} \cdot \frac {\rm a_\rm \star/\pi}{ \sqrt{2
+
:$$h_{\rm K}(t\hspace{0.05cm}')  = \frac {1}{T} \cdot \frac {a_\rm \star/\pi}{ \sqrt{2
   \hspace{0.05cm}t'^3}}\cdot {\rm exp} \left [ -\frac {\rm a_\rm \star^2}{ {2\pi
+
   \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}'^3}}\cdot {\rm e}^{ -{a_\rm \star^2}/( {2\pi
  \hspace{0.05cm}t'}} \right ] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm}
+
  \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}')} } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm}
  {\rm mit}\hspace{0.15cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm}
+
  {\rm mit}\hspace{0.15cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm}
 
  {\rm in}\hspace{0.15cm}
 
  {\rm in}\hspace{0.15cm}
 
  {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$
 
  {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$
:Diese Gleichung gibt die Fourierrücktransformierte des Produkts <i>H</i><sub>2</sub>(<i>f</i>) &middot; <i>H</i><sub>3</sub>(<i>f</i>) an. Verwendet ist dabei die charakteristische Kabeldämpfung
+
*Diese Gleichung gibt die Fourierrücktransformierte des Produkts &nbsp;$H_2(f) \cdot H_3(f)$&nbsp; an.  
 +
*Verwendet ist dabei die charakteristische Kabeldämpfung &nbsp;${a}_{\rm \star} =  \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l \hspace{0.05cm}.$
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:$${\rm a}_{\rm \star} =  \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l \hspace{0.05cm}.$$
+
''Hinweise:''
:In der Aufgabe A4.5 wurde der Maximalwert der normierten Impulsantwort wie folgt berechnet:
+
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].
:$${\rm Max}[T \cdot h_{\rm K}(t)]  = \frac {\sqrt{13.5 \pi} \cdot {\rm e}^{-1.5} }{{\rm a}_{\rm \star}^2} \approx
+
  \frac {1.453 }{{\rm a}_{\rm \star}^2} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm}
+
*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet &nbsp;[[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]&nbsp; benutzen.
  {\rm mit}\hspace{0.15cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm}
+
*In der &nbsp;[[Aufgaben:4.5_Koaxialkabel_–_Impulsantwort|Aufgabe 4.5]]&nbsp; wurde der Maximalwert der normierten Impulsantwort wie folgt berechnet:
 +
:$${\rm Max}\, \big[T \cdot h_{\rm K}(t)\big ]  = \frac {\sqrt{13.5 \pi} \cdot {\rm e}^{-1.5} }{{a}_{\rm \star}^2} \approx
 +
  \frac {1.453 }{{a}_{\rm \star}^2} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm}
 +
  {\rm mit}\hspace{0.15cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm}
 
  {\rm in}\hspace{0.15cm}
 
  {\rm in}\hspace{0.15cm}
 
  {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$
 
  {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$
:<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe gehört zum Kapitel 4.2.
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Welcher Teilfrequenzgang ist für die Phasenlaufzeit <i>&tau;</i> verantwortlich?
+
{Welcher Teilfrequenzgang ist für die Phasenlaufzeit &nbsp;$\tau$&nbsp; verantwortlich?
|type="[]"}
+
|type="()"}
+ <i>H</i><sub>1</sub>(<i>f</i>),
+
+ $H_1(f)$,
- <i>H</i><sub>2</sub>(<i>f</i>),
+
- $H_2(f)$,
- <i>H</i><sub>3</sub>(<i>f</i>).
+
- $H_3(f)$.
  
  
{Bestimmen Sie die Bitrate des Binärsystems, wenn <i>&tau;</i>' = <i>&tau;</i>/<i>T</i> = 694 beträgt.
+
{Bestimmen Sie die Bitrate des Binärsystems, wenn &nbsp;$\tau\hspace{0.05cm}' = \tau/T = 694$&nbsp; beträgt.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$R$ = { 20 3% } $Mbit/s$
+
$R \ = \ $ { 20 3% } $\ \rm Mbit/s$
  
  
{Geben Sie die charakteristische Kabeldämpfung zur gemeinsamen Beschreibung der Frequenzgänge <i>H</i><sub>2</sub>(<i>f</i>) und <i>H</i><sub>3</sub>(<i>f</i>) an.
+
{Geben Sie die charakteristische Kabeldämpfung &nbsp;${a}_{\rm \star}$&nbsp; zur gemeinsamen Beschreibung der Frequenzgänge &nbsp;$H_2(f)$&nbsp; und &nbsp;$H_3(f)$&nbsp; an.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$a_\star$ = { 8.6 3% } $Np$
+
${a}_{\rm \star} \ = \ $ { 8.6 3% } $\ \rm Np$
  
  
 
{Bestimmen Sie den (normierten) Maximalwert der Impulsantwort.
 
{Bestimmen Sie den (normierten) Maximalwert der Impulsantwort.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$Max[T \cdot h_K(t)]$ = { 0.02 3% }
+
${\rm Max}\, \big[T \cdot h_{\rm K}(t)\big] \ = \ $ { 0.02 3% }
  
  
 
{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
 
{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Verzerrungen werden ohne <i>H</i><sub>1</sub>(<i>f</i>) richtig wiedergegeben.
+
+ Verzerrungen werden ohne &nbsp;$H_1(f)$&nbsp; richtig wiedergegeben.
- Verzerrungen werden ohne <i>H</i><sub>2</sub>(<i>f</i>) richtig wiedergegeben.
+
- Verzerrungen werden ohne &nbsp;$H_2(f)$&nbsp; richtig wiedergegeben.
- Verzerrungen werden ohne <i>H</i><sub>3</sub>(<i>f</i>) richtig wiedergegeben.
+
- Verzerrungen werden ohne &nbsp;$H_3(f)$&nbsp; richtig wiedergegeben.
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Die Spektraldarstellung eines Laufzeitgliedes lautet e<sup>&ndash;j2&pi;<i>f&tau;</i></sup>. Ein Vergleich mit der Angabenseite zeigt, dass <i>H</i><sub>1</sub>(<i>f</i>) genau diesem Ansatz genügt &nbsp;&#8658;&nbsp;<u>Alternative 1</u>.
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur die Aussage 1</u>:
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*Die Spektraldarstellung eines Laufzeitgliedes lautet&nbsp; ${\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\tau}$.  
 +
*Ein Vergleich mit der Angabenseite zeigt, dass&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; genau diesem Ansatz genügt.
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Entsprechend dem Angabenblatt gilt:
+
 
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'''(2)'''&nbsp; Entsprechend dem Angabenblatt gilt:
 
:$$2\pi \cdot f \cdot \tau = \beta_1 \cdot f \cdot l \Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau= \frac {\beta_1 \cdot l}{2\pi} =
 
:$$2\pi \cdot f \cdot \tau = \beta_1 \cdot f \cdot l \Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau= \frac {\beta_1 \cdot l}{2\pi} =
 
  \frac {21.78\, {\rm rad}/{({\rm km \cdot MHz})}\cdot 10\,{\rm km}}{2\pi} =
 
  \frac {21.78\, {\rm rad}/{({\rm km \cdot MHz})}\cdot 10\,{\rm km}}{2\pi} =
  34.7\,{\rm \mu s}$$
+
  34.7\,{\rm &micro; s}$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau '=  {\tau}/{T}  = 694 \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau '=  {\tau}/{T}  = 694 \Rightarrow \hspace{0.3cm}
  T = \frac {34.7\,{\rm \mu s}}{700} \approx
+
  T = \frac {34.7\,{\rm &micro; s}}{700} \approx
  0.05\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}.$$
+
  0.05\,{\rm &micro; s}\hspace{0.05cm}.$$
:Die Bitrate ist gleich dem Kehrwert der Symboldauer: <u><i>R</i> = 20 Mbit/s</u>.
+
*Die Bitrate ist gleich dem Kehrwert der Symboldauer:  
 +
:$$\underline{R = 20 \ \rm Mbit/s}.$$
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Für die charakteristische Kabeldämpfung erhält man somit:
+
 
:$${\rm a}_{\rm \star} =  \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l =
+
 
 +
'''(3)'''&nbsp; Für die charakteristische Kabeldämpfung erhält man somit:
 +
:$${a}_{\rm \star} =  \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l =
 
  0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot \sqrt {10\,{\rm MHz}} \cdot 10\,{\rm km} \hspace{0.15cm}\underline{\approx
 
  0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot \sqrt {10\,{\rm MHz}} \cdot 10\,{\rm km} \hspace{0.15cm}\underline{\approx
 
  8.6\,{\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
 
  8.6\,{\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
:Der entsprechende dB&ndash;Wert ist 75 dB.
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*Der entsprechende dB&ndash;Wert ist&nbsp; ${a}_{\rm \star} = 75 \ \rm dB$.
 +
 
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:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Mit der angegebenen Gleichung und dem Ergebnis aus c) ergibt sich:
+
'''(4)'''&nbsp; Mit der angegebenen Gleichung und dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; ergibt sich:
:$${\rm Max}[T \cdot h_{\rm K}(t)]  \approx
+
:$${\rm Max}\, \big[T \cdot h_{\rm K}(t)\big]  \approx
  \frac {1.453 }{{\rm a}_{\rm \star}^2} = \frac {1.453 }{8.6^2}
+
  \frac {1.453 }{{a}_{\rm \star}^2} = \frac {1.453 }{8.6^2}
 
\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.02}\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.02}\hspace{0.05cm}.$$
  
:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Richtig ist <u>nur Aussage 1</u>. <i>H</i><sub>1</sub>(<i>f</i>) beschreibt die frequenzunabhängige Laufzeit, die keine Verzerrung zur Folge hat. Dagegen sollte man zur Berechnung der Impulsantwort auf keinen Fall auf  <i>H</i><sub>2</sub>(<i>f</i>) oder  <i>H</i><sub>3</sub>(<i>f</i>) verzichten, da es sonst es zu gravierenden Fehlern kommen würde:
 
  
:* Die Impulsantwort <i>h</i><sub>2</sub>(<i>t</i>) als die Fourierrücktransformierte von  <i>H</i><sub>2</sub>(<i>f</i>) ist eine gerade Funktion mit dem Maximum bei <i>t</i> = 0 und erstreckt sich in beide Richtungen über Hunderte von Symbolen.
 
  
:* Dagegen ist die Fourierrücktransformierte von <i>H</i><sub>3</sub>(<i>f</i>) eine ungerade Funktion mit einer Sprungstelle bei <i>t</i> = 0. Für <i>t</i> > 0 fällt <i>h</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) ähnlich &ndash; aber nicht exakt &ndash; wie eine Exponentialfunktion ab. Für negative Zeiten gilt <i>h</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) = &ndash; <i>h</i><sub>3</sub>(|<i>t</i>|).
+
'''(5)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur die Aussage 1</u>: &nbsp; $H_1(f)$&nbsp; beschreibt die frequenzunabhängige Laufzeit, die keine Verzerrung zur Folge hat.  
  
:* Erst die Faltung <i>h</i><sub>2</sub>(<i>t</i>) &#8727; <i>h</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) liefert die kausale Impulsantwort. Die Phasenlaufzeit <i>&tau;</i> ist hierbei noch nicht berücksichtigt.
+
Dagegen sollte man zur Berechnung der Impulsantwort auf keinen Fall auf&nbsp;  $H_2(f)$&nbsp; oder&nbsp;  $H_3(f)$&nbsp; verzichten, da es sonst es zu gravierenden Fehlern kommen würde:
 +
* Die Impulsantwort&nbsp; $h_2(t)$&nbsp; als die Fourierrücktransformierte von&nbsp;  $H_2(f)$&nbsp; ist eine gerade Funktion mit dem Maximum bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; und erstreckt sich in beide Richtungen über Hunderte von Symbolen.
 +
* Dagegen ist die Fourierrücktransformierte von&nbsp; $H_3(f)$&nbsp; eine ungerade Funktion mit einer Sprungstelle bei&nbsp; $t = 0$.
 +
*Für&nbsp; $t > 0$&nbsp; fällt&nbsp; $h_3(t)$&nbsp; ähnlich &ndash; aber nicht exakt &ndash; wie eine Exponentialfunktion ab. Für negative Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; gilt&nbsp; $h_3(t) = - h_3(|t|)$.
 +
* Erst die Faltung&nbsp; $h_2(t) \star h_3(t)$&nbsp; liefert die kausale Impulsantwort, allerdings ohne die Phasenlaufzeit&nbsp; $\tau$, die in diesem Modell durch&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; berücksichtigt wird.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 7. November 2019, 15:16 Uhr

Impulsantwort eines Koaxialkabels (Darstellung mit bzw. ohne Laufzeit)

Wir betrachten wie in  Aufgabe 4.5  ein binäres Übertragungssystem mit der Bitrate  $R$  ⇒   Symboldauer  $T= 1/R$.

Als Übertragungsmedium wird ein „Normalkoaxialkabel”  $\text{(2.6 mm}$  Kerndurchmesser,  $\text{9.5 mm}$  Außendurchmesser$)$  der Länge  $l = 1 \ \rm km$  mit folgendem Frequenzgang verwendet:

$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l} \cdot {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.01cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}l} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l} = H_1(f) \cdot H_2(f) \cdot H_3(f)$$

Die Teilfrequenzgänge  $H_1(f)$,  $H_2(f)$  und  $H_3(f)$  dienen hier nur als Abkürzung.  Die Leitungsparameter lauten:

$$\beta_1 = 21.78\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm}, $$
$$ \alpha_2 = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},$$
$$ \beta_2 = 0.2722\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort  $h_{\rm K}(t\hspace{0.05cm}')$, wobei  $t\hspace{0.05cm}' = t/T$  die normierte Zeit darstellt. Ohne Berücksichtigung der (normierten) Phasenlaufzeit  $\tau\hspace{0.05cm}' = \tau/T$  kann  $h_{\rm K}(t\hspace{0.05cm}')$  wie folgt geschrieben werden:

$$h_{\rm K}(t\hspace{0.05cm}') = \frac {1}{T} \cdot \frac {a_\rm \star/\pi}{ \sqrt{2 \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}'^3}}\cdot {\rm e}^{ -{a_\rm \star^2}/( {2\pi \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}')} } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm} {\rm in}\hspace{0.15cm} {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$
  • Diese Gleichung gibt die Fourierrücktransformierte des Produkts  $H_2(f) \cdot H_3(f)$  an.
  • Verwendet ist dabei die charakteristische Kabeldämpfung  ${a}_{\rm \star} = \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l \hspace{0.05cm}.$





Hinweise:

  • Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet  Zeitverhalten von Kupferkabeln  benutzen.
  • In der  Aufgabe 4.5  wurde der Maximalwert der normierten Impulsantwort wie folgt berechnet:
$${\rm Max}\, \big[T \cdot h_{\rm K}(t)\big ] = \frac {\sqrt{13.5 \pi} \cdot {\rm e}^{-1.5} }{{a}_{\rm \star}^2} \approx \frac {1.453 }{{a}_{\rm \star}^2} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm} {\rm in}\hspace{0.15cm} {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$



Fragebogen

1

Welcher Teilfrequenzgang ist für die Phasenlaufzeit  $\tau$  verantwortlich?

$H_1(f)$,
$H_2(f)$,
$H_3(f)$.

2

Bestimmen Sie die Bitrate des Binärsystems, wenn  $\tau\hspace{0.05cm}' = \tau/T = 694$  beträgt.

$R \ = \ $

$\ \rm Mbit/s$

3

Geben Sie die charakteristische Kabeldämpfung  ${a}_{\rm \star}$  zur gemeinsamen Beschreibung der Frequenzgänge  $H_2(f)$  und  $H_3(f)$  an.

${a}_{\rm \star} \ = \ $

$\ \rm Np$

4

Bestimmen Sie den (normierten) Maximalwert der Impulsantwort.

${\rm Max}\, \big[T \cdot h_{\rm K}(t)\big] \ = \ $

5

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

Verzerrungen werden ohne  $H_1(f)$  richtig wiedergegeben.
Verzerrungen werden ohne  $H_2(f)$  richtig wiedergegeben.
Verzerrungen werden ohne  $H_3(f)$  richtig wiedergegeben.


Musterlösung

(1)  Richtig ist nur die Aussage 1:

  • Die Spektraldarstellung eines Laufzeitgliedes lautet  ${\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\tau}$.
  • Ein Vergleich mit der Angabenseite zeigt, dass  $H_1(f)$  genau diesem Ansatz genügt.


(2)  Entsprechend dem Angabenblatt gilt:

$$2\pi \cdot f \cdot \tau = \beta_1 \cdot f \cdot l \Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau= \frac {\beta_1 \cdot l}{2\pi} = \frac {21.78\, {\rm rad}/{({\rm km \cdot MHz})}\cdot 10\,{\rm km}}{2\pi} = 34.7\,{\rm µ s}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau '= {\tau}/{T} = 694 \Rightarrow \hspace{0.3cm} T = \frac {34.7\,{\rm µ s}}{700} \approx 0.05\,{\rm µ s}\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Bitrate ist gleich dem Kehrwert der Symboldauer:
$$\underline{R = 20 \ \rm Mbit/s}.$$


(3)  Für die charakteristische Kabeldämpfung erhält man somit:

$${a}_{\rm \star} = \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot \sqrt {10\,{\rm MHz}} \cdot 10\,{\rm km} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 8.6\,{\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Der entsprechende dB–Wert ist  ${a}_{\rm \star} = 75 \ \rm dB$.


(4)  Mit der angegebenen Gleichung und dem Ergebnis der Teilaufgabe  (3)  ergibt sich:

$${\rm Max}\, \big[T \cdot h_{\rm K}(t)\big] \approx \frac {1.453 }{{a}_{\rm \star}^2} = \frac {1.453 }{8.6^2} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.02}\hspace{0.05cm}.$$


(5)  Richtig ist nur die Aussage 1:   $H_1(f)$  beschreibt die frequenzunabhängige Laufzeit, die keine Verzerrung zur Folge hat.

Dagegen sollte man zur Berechnung der Impulsantwort auf keinen Fall auf  $H_2(f)$  oder  $H_3(f)$  verzichten, da es sonst es zu gravierenden Fehlern kommen würde:

  • Die Impulsantwort  $h_2(t)$  als die Fourierrücktransformierte von  $H_2(f)$  ist eine gerade Funktion mit dem Maximum bei  $t = 0$  und erstreckt sich in beide Richtungen über Hunderte von Symbolen.
  • Dagegen ist die Fourierrücktransformierte von  $H_3(f)$  eine ungerade Funktion mit einer Sprungstelle bei  $t = 0$.
  • Für  $t > 0$  fällt  $h_3(t)$  ähnlich – aber nicht exakt – wie eine Exponentialfunktion ab. Für negative Zeiten  $t$  gilt  $h_3(t) = - h_3(|t|)$.
  • Erst die Faltung  $h_2(t) \star h_3(t)$  liefert die kausale Impulsantwort, allerdings ohne die Phasenlaufzeit  $\tau$, die in diesem Modell durch  $H_1(f)$  berücksichtigt wird.