Aufgaben:Aufgabe 3.4: Dämpfungs- und Phasenverlauf: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. März 2026, 14:36 Uhr

Pol–Nullstellen–Diagramm sowie Definition einiger Hilfsgrößen

Wir gehen vom skizzierten Pol–Nullstellen–Diagramm aus, also von den Werten

$$K = 5, \hspace{0,2cm}Z = 1, \hspace{0,2cm}N = 2, $$

$$ p_{\rm o}= 1,\hspace{0,2cm}p_{\rm x1}= -3 + 3{\rm j},\hspace{0,2cm}p_{\rm x2}= -3 - 3{\rm j}\hspace{0.05cm} .$$

Damit lautet die $p$–Übertragungsfunktion:

$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }}{(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}\hspace{0.05cm} .$$

Mit der Substitution $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$ lässt sich die herkömmliche Übertragungsfunktion angeben, die auch als Frequenzgang bezeichnet wird:

$$H(f) = H_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}} = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}\hspace{0.05cm}.$$

Aus dieser Gleichung erkennt man auch den Zusammenhang zwischen

der Übertragungsfunktion $H(f)$,
der Dämpfungsfunktion $a(f)$ und
der Phasenfunktion $b(f)$.

Für eine durch den Punkt $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$ indirekt vorgegebene Frequenz $f$ kann man die Dämpfungs– und Phasenwerte wie folgt ermitteln:

$$a(f)\hspace{0.15cm}{\rm in}\hspace{0.15cm}{\rm Np} \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K+ {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x1}|+{\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x1}|- {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{{\rm o} }|\hspace{0.05cm},$$

$$ b(f)\hspace{0.15cm}{\rm in}\hspace{0.15cm}{\rm rad} \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}\phi_{\rm x1}+ \phi_{\rm x2}-\phi_{\rm o}\hspace{0.05cm} .$$

Die entsprechenden Beträge $|R_{\rm o}|$, $|R_{\rm x1}|$ und $|R_{\rm x2}|$ können Sie ebenso wie die Winkel $\phi_{\rm o}$, $\phi_{\rm x1}$ und $\phi_{\rm x2}$ der Grafik entnehmen.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Die $p$–Übertragungsfunktion lautet:

$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }}{(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}\hspace{0.05cm} .$$

Zur herkömmlichen Übertragungsfunktion (zum Frequenzgang) kommt man mit der Substitution $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$:

$$H(f)= K \cdot \frac {{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f} - p_{\rm o }}{({\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f} - p_{\rm x 1})({\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f} - p_{\rm x 2})}= {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}\hspace{0.05cm} .$$

Im Grenzfall $f → \infty$ ergibt sich für den Betrag, die Dämpfung und die Phase:

$$\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} H(f)= \frac{K}{{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}}\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} |H(f)|\hspace{0.15cm}\underline {= 0} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} a(f)= \infty,\hspace{0.1cm}\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} b(f)\underline {={\pi}/{2}\hspace{0.1cm}(+90^\circ)}\hspace{0.01cm}.$$

(2) Aus der allgemeinen Gleichung in Teilaufgabe (1) erhält man mit dem Grenzübergang $f &#8594 0$:

$$|H(f=0)|= -\frac {K \cdot p_{\rm o }}{p_{\rm x 1}\cdot p_{\rm x 2}}= \frac {5 \cdot 1}{(-3 + 3{\rm j})\cdot (-3 + 3{\rm j})}= \frac {5 }{18}\hspace{0.15cm}\underline {\approx0.278}\hspace{0.05cm} ,$$

$$a(f=0)=- {\rm ln} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { |H(f=0)|= 1.281\,{\rm Np }}\hspace{0.05cm} .$$

Der Bildschirmabzug des Flash–Moduls „Kausale Systeme” fasst die Ergebnisse dieser Aufgabe zusammen:

Mittlere Achse (blau): Betrag $|H(f)|$ ⇒ hier beschriftet mit $|Y(f)|$,
Linke Achse (rot): Dämpfung $a(f)$,
Rechte Achse (grün): Phase $b(f)$.
Schwarzer Punkt: Werte für $2\pi f = 4.$

Pol–Nullstellen–Diagramm und einige Hilfsgrößen

(3) Entsprechend der detaillierten Beschreibung im Theorieteil gilt für die Dämpfungsfunktion:

$$a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K+ {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x1}|+{\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x2}|- {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{{\rm o} }|\hspace{0.05cm} .$$

Zu berücksichtigen ist weiterhin die Zusatzeinheit „Neper” $\rm (Np)$.

Gesucht ist die Dämpfung bei $f = 2/\pi$. Dazu setzen wir $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f = 4$ und ermitteln folgende Abstände:

$$R_{\rm o} = 1 - 4 \cdot {\rm j}, \hspace{0.2cm}|R_{\rm o}| \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \sqrt{1^2 + 4^2}= 4.123, \hspace{1.15cm}{\rm ln} \hspace{0.1cm}|R_{\rm o}|\hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}1.417\,{\rm Np }\hspace{0.05cm},$$

$$R_{\rm x1} = -3 - 1 \cdot {\rm j}, \hspace{0.2cm}|R_{\rm x1}| \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \sqrt{3^2 + 1^2}= 3.162,\hspace{0.5cm}{\rm ln} \hspace{0.1cm}|R_{\rm x1}|\hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}1.151\,{\rm Np }\hspace{0.05cm},$$

$$ R_{\rm x2} = -3 - 7 \cdot{\rm j},\hspace{0.2cm}|R_{\rm x2}| \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \sqrt{3^2 + 7^2}= 7.616,\hspace{0.5cm}{\rm ln} \hspace{0.1cm}|R_{\rm x2}|\hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}2.030\,{\rm Np }\hspace{0.05cm}.$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}a(f = \frac{4}{2\pi})=-{\rm ln} \hspace{0.1cm} 5+ 1.151+ 2.030-1.417\hspace{0.15cm}\underline{=0.155\,{\rm Np }}\hspace{0.05cm}.$$

Das entspricht $0.155\ {\rm Np} \cdot 8.686 \ {\rm dB/Np} \hspace{0.15cm} \underline{= 1.346 \ {\rm dB}}$.

(4) Nach der Beschreibung im Theorieteil gilt wegen $K > 0$ für die Phasenfunktion:

$$b(f ={2}/\pi) = \phi_{\rm x1} + \phi_{\rm x2}-\phi_{\rm o}\hspace{0.05cm},$$

$$\phi_{\rm x1} ={\rm arctan}\hspace{0.15cm}(1/3) =18.4^\circ\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}\phi_{\rm x2} = {\rm arctan}\hspace{0.15cm}(7/3) =66.8^\circ\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \phi_{\rm o} = {\rm arctan}\hspace{0.15cm}(-1/4) =180^\circ - 76^\circ = 104^\circ $$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}b(f ={2}/\pi) =18.4^\circ + 66.8^\circ - 104^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= -18.8^\circ}\hspace{0.05cm}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID1768__LZI_A_3_4.png|right|]]
+[[Datei:P_ID1768__LZI_A_3_4.png|right|frame|Pol–Nullstellen–Diagramm sowie Definition einiger Hilfsgrößen]]
-:Wir gehen vom skizzierten Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramm aus, also von den Werten
+Wir gehen vom skizzierten Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramm aus, also von den Werten
-:$$K \hspace{-0.25cm} =  \hspace{-0.2cm}5, \hspace{0,2cm}Z = 1, \hspace{0,2cm}N = 2, \\
+:$$K = 5, \hspace{0,2cm}Z = 1, \hspace{0,2cm}N = 2, $$
- p_{\rm  o}\hspace{-0.25cm} =  \hspace{-0.2cm} 1,\hspace{0,2cm}p_{\rm  x1}= -3 + 3{\rm j},\hspace{0,2cm}p_{\rm  x2}= -3 - 3{\rm j}\hspace{0.05cm} .$$
+:$$ p_{\rm  o}= 1,\hspace{0,2cm}p_{\rm  x1}= -3 + 3{\rm j},\hspace{0,2cm}p_{\rm  x2}= -3 - 3{\rm j}\hspace{0.05cm} .$$
-:Damit lautet die <i>p</i>&ndash;Übertragungsfunktion:
+Damit lautet die&nbsp; $p$&ndash;Übertragungsfunktion:
-:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }}
+:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }}{(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}\hspace{0.05cm} .$$
- {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}
- \hspace{0.05cm} .$$
-:Mit der Substitution <i>p</i> = j &middot; 2&pi;<i>f</i> lässt sich die herkömmliche Übertragungsfunktion angeben, die auch als Frequenzgang bezeichnet wird:
+Mit der Substitution &nbsp;$p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$&nbsp; lässt sich die herkömmliche Übertragungsfunktion angeben, die auch als Frequenzgang bezeichnet wird:
-:$$H(f) =  H_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
+:$$H(f) =  H_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}} =  {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}\hspace{0.05cm}.$$
- f}} =  {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}
-  \hspace{0.05cm}.$$
+Aus dieser Gleichung erkennt man auch den Zusammenhang zwischen
+* der  Übertragungsfunktion &nbsp;$H(f)$,
+*der Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; und
+*der Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$.
+Für eine durch den Punkt &nbsp;$p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$&nbsp; indirekt vorgegebene Frequenz &nbsp;$f$&nbsp; kann man die Dämpfungs&ndash; und Phasenwerte wie folgt ermitteln:
+:$$a(f)\hspace{0.15cm}{\rm in}\hspace{0.15cm}{\rm Np} \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K+ {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x1}|+{\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x1}|- {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{{\rm o} }|\hspace{0.05cm},$$
+:$$ b(f)\hspace{0.15cm}{\rm in}\hspace{0.15cm}{\rm rad} \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm}\phi_{\rm x1}+ \phi_{\rm x2}-\phi_{\rm o}\hspace{0.05cm} .$$
+Die entsprechenden Beträge &nbsp;$|R_{\rm o}|$,  &nbsp;$|R_{\rm x1}|$ &nbsp;und&nbsp; $|R_{\rm x2}|$ können Sie ebenso wie die Winkel &nbsp;$\phi_{\rm o}$, &nbsp;$\phi_{\rm x1}$ &nbsp;und&nbsp; $\phi_{\rm x2}$&nbsp; der Grafik entnehmen.
+''Hinweis:''
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].
-:Aus dieser Gleichung erkennt man auch den Zusammenhang zwischen <i>H</i>(<i>f</i>), der Dämpfungsfunktion <i>a</i>(<i>f</i>) und der Phasenfunktion <i>b</i>(<i>f</i>). Für eine durch den Punkt <i>p</i> = j2&pi;<i>f</i> indirekt vorgegebene Frequenz <i>f</i> kann man die entsprechenden Dämpfungs&ndash; und Phasenwerte wie folgt ermitteln:
-:$$a(f)\hspace{0.15cm}{\rm in}\hspace{0.15cm}{\rm Np} \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K
- + {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x1}|+{\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x1}|- {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{{\rm o} }|\hspace{0.05cm}
- ,\\
- b(f)\hspace{0.15cm}{\rm in}\hspace{0.15cm}{\rm rad} \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm}
- \phi_{\rm x1}+ \phi_{\rm x2}-\phi_{\rm o}
- \hspace{0.05cm} .$$
-:Die entsprechenden Beträge |<i>R</i><sub>o</sub>|, |<i>R</i><sub>x1</sub>| und |<i>R</i><sub>x2</sub>| können Sie ebenso wie die Winkel <i>&#981;</i><sub>0</sub>, <i>&#981;</i><sub>x1</sub> und <i>&#981;</i><sub>x2</sub> der Grafik entnehmen.
-:<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.2.
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie <i>H</i>(<i>f</i>). Wie groß ist dessen Betrag bei sehr großen Frequenzen?
+{Berechnen Sie &nbsp;$H(f)$.&nbsp; Wie groß ist dessen Betrag bei sehr großen Frequenzen?
 |type="{}"}
-$|H_L(f &#8594; &#8734;)|$ = { 0 3% }
+$|H(f &#8594; &#8734;)| \ = \ $ { 0. }
-{Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang und den Dämpfungswert für <i>f</i> &#8594; 0.
+{Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang und den Dämpfungswert für &nbsp;$f &#8594 0$.
 |type="{}"}
-$|H(f = 0)|$ = { 0.278 3% }
+$|H(f = 0)| \ = \ $ { 0.278 3% }
-$|a(f = 0)|$ = { 1.281 3% } $Np$
+$a(f = 0) \ = \ $ { 1.281 3% } $\ \rm Np$
-{Berechnen Sie gemäß der beschriebenen Vorgehensweise den Dämpfungswert bei <i>f</i> = 4/(2&pi;) in Neper (Np) und Dezibel (dB).
+{Berechnen Sie gemäß der beschriebenen Vorgehensweise den Dämpfungswert bei &nbsp;$f =4/(2 \pi)$&nbsp; in Neper&nbsp; $\rm(Np)$&nbsp; und Dezibel&nbsp; $\rm(dB)$.
 |type="{}"}
-$a(f = 2/ \pi)$ = { 0.155 3% } $Np$
+$a(f = 2/ \pi)\ = \ $ { 0.155 3% } $\ \rm Np$
-$a(f = 2/ \pi)$ = { 1.346 3% } $dB$
+$a(f = 2/ \pi)\ = \ $ { 1.346 3% }$\ \rm dB$
-{Berechnen Sie gemäß der beschriebenen Vorgehensweise den Phasenwert bei der Frequenz <nobr><i>f</i> = 4/(2&pi;).</nobr>
+{Berechnen Sie gemäß der beschriebenen Vorgehensweise den Phasenwert bei der Frequenz &nbsp;$f = 4/(2 \pi)$.
 |type="{}"}
-$b(f = 2/ \pi)$ = - { 18.8 3% } $Grad$
+$b(f = 2/ \pi)\ = \ $ { -19.3--18.3 } $\ \rm Grad$
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Die <i>p</i>&ndash;Übertragungsfunktion lautet:
+'''(1)'''&nbsp; Die&nbsp; $p$&ndash;Übertragungsfunktion lautet:
-:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }}
+:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }}{(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}\hspace{0.05cm} .$$
- {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}
-  \hspace{0.05cm} .$$
+*Zur herkömmlichen Übertragungsfunktion (zum Frequenzgang) kommt man mit der Substitution &nbsp;$p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$:
+:$$H(f)= K \cdot \frac {{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f} - p_{\rm o }}{({\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f} - p_{\rm x 1})({\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f} - p_{\rm x 2})}=  {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}\hspace{0.05cm} .$$
+*Im Grenzfall &nbsp;$f &#8594; \infty$&nbsp; ergibt sich für den Betrag, die Dämpfung und die Phase:
+:$$\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}   H(f)= \frac{K}{{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}}\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}   |H(f)|\hspace{0.15cm}\underline {= 0} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}   a(f)= \infty,\hspace{0.1cm}\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}   b(f)\underline {={\pi}/{2}\hspace{0.1cm}(+90^\circ)}\hspace{0.01cm}.$$
-:Zur herkömmlichen Übertragungsfunktion (Frequenzgang) kommt man mit der Substitution <i>p</i> = j &middot; 2&pi;<i>f</i>:
+'''(2)'''&nbsp; Aus der allgemeinen Gleichung in Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; erhält man mit dem Grenzübergang &nbsp;$f &#8594 0$:
-:$$H(f)= K \cdot \frac {{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
+[[Datei:P_ID1769__LZI_A_3_4_d_neu.png|right|frame|$|H(f)|$,&nbsp; ,&nbsp; $a(f)$&nbsp; und&nbsp; $b(f)$]]
- f} - p_{\rm o }}
+:$$|H(f=0)|=  -\frac {K \cdot p_{\rm o }}{p_{\rm x 1}\cdot p_{\rm x 2}}=  \frac {5 \cdot 1}{(-3 + 3{\rm j})\cdot (-3 + 3{\rm j})}=  \frac {5 }{18}\hspace{0.15cm}\underline {\approx0.278}\hspace{0.05cm} ,$$
- {({\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
+:$$a(f=0)=- {\rm ln} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { |H(f=0)|= 1.281\,{\rm Np }}\hspace{0.05cm} .$$
- f} - p_{\rm x 1})({\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
- f} - p_{\rm x 2})}
- =  {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}
- \hspace{0.05cm} .$$
-:Im Grenzfall <i>f</i> &#8594; &#8734; ergibt sich für den Betrag, die Dämpfung und die Phase:
+Der Bildschirmabzug des Flash&ndash;Moduls &bdquo;Kausale Systeme&rdquo; fasst die Ergebnisse dieser Aufgabe zusammen:
-:$$\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}   H(f)= \frac{K}{{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
+:*Mittlere Achse (blau): &nbsp; Betrag $|H(f)|$ &nbsp; &rArr;  &nbsp; hier beschriftet mit&nbsp;  $|Y(f)|$,
-  f}}\hspace{0.15cm}\Rightarrow \hspace{0.05cm}\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}   |H(f)|\hspace{0.15cm}\underline {= 0} \hspace{0.05cm}
+:*Linke Achse (rot): &nbsp; Dämpfung&nbsp;  $a(f)$,
-\Rightarrow \hspace{0.05cm}\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}   a(f)= \infty,\hspace{0.1cm}
+:*Rechte Achse (grün): &nbsp;  Phase&nbsp; $b(f)$.
-  \lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}   b(f)=
+:*Schwarzer Punkt: &nbsp; Werte für $2\pi f = 4.$
- \frac{\pi}{2}\hspace{0.1cm}(90^\circ)
- \hspace{0.01cm}.$$
-:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Aus der allgemeinen Gleichung in a) erhält man mit dem Grenzübergang <i>f</i> &#8594; 0:
-:$$|H(f=0)|=  -\frac {K \cdot p_{\rm o }}
- {p_{\rm x 1}\cdot p_{\rm x 2}}
- =  \frac {5 \cdot 1}{
- (-3 + 3{\rm j})\cdot (-3 + 3{\rm j})}=  \frac {5 }{18}\hspace{0.15cm}\underline {\approx
-.278}
- \hspace{0.05cm} ,$$
-:$$a(f=0)=- {\rm ln} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { |H(f=0)|= 1.281\,{\rm Np }}
- \hspace{0.05cm} .$$
-[[Datei:P_ID1769__LZI_A_3_4_d_neu.png|right|]]
-:Die Grafik fasst die Ergebnisse dieser Aufgabe zusammen:<br><br>
-:Mittlere Achse (blau): Betrag,<br>
+[[Datei:P_ID2843__LZI_A_3_4.png|right|frame|Pol–Nullstellen–Diagramm und einige Hilfsgrößen]]
-:Linke Achse (rot): Dämpfung,<br>
+'''(3)'''&nbsp; Entsprechend der detaillierten Beschreibung im &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Grafische_Ermittlung_von_D.C3.A4mpfung_und_Phase|Theorieteil]]&nbsp; gilt für die Dämpfungsfunktion:
-:Rechte Achse (grün): Phase.<br><br>
-:Schwarzer Punkt:2&pi;<i>f</i> = 4.
-<br><br>
-:Bildschirmabzug des Flash&ndash;Moduls &bdquo;Kausale Systeme&rdquo;.<br><br>
+:$$a(f)=  -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K+ {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x1}|+{\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x2}|- {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{{\rm o} }|\hspace{0.05cm} .$$
-:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Entsprechend der detaillierten Beschreibung im Theorieteil gilt für die Dämpfungsfunktion:
+*Zu berücksichtigen ist weiterhin die Zusatzeinheit &bdquo;Neper&rdquo; $\rm (Np)$.
-[[Datei:P_ID2843__LZI_A_3_4.png|right|]]
-:$$a(f)=  -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K
- + {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{{\rm x1}}|+{\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{{\rm x1}}|- {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{{\rm o} }|\hspace{0.05cm} .$$
-:Zu berücksichtigen ist die Zusatzeinheit &bdquo;Neper&rdquo; (Np).
+*Gesucht ist die Dämpfung bei &nbsp;$f = 2/\pi$.&nbsp; Dazu setzen wir &nbsp;$p = {\rm j} \cdot 2 \pi f = 4$&nbsp; und ermitteln folgende Abstände:
+:$$R_{\rm o} = 1 - 4 \cdot {\rm j}, \hspace{0.2cm}|R_{\rm o}| \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} \sqrt{1^2 + 4^2}= 4.123, \hspace{1.15cm}{\rm ln} \hspace{0.1cm}|R_{\rm o}|\hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm}1.417\,{\rm Np }\hspace{0.05cm},$$
+:$$R_{\rm x1} = -3 - 1 \cdot {\rm j}, \hspace{0.2cm}|R_{\rm x1}| \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} \sqrt{3^2 + 1^2}= 3.162,\hspace{0.5cm}{\rm ln} \hspace{0.1cm}|R_{\rm x1}|\hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm}1.151\,{\rm Np }\hspace{0.05cm},$$
+:$$ R_{\rm x2} = -3 - 7 \cdot{\rm j},\hspace{0.2cm}|R_{\rm x2}| \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} \sqrt{3^2 + 7^2}= 7.616,\hspace{0.5cm}{\rm ln} \hspace{0.1cm}|R_{\rm x2}|\hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm}2.030\,{\rm Np }\hspace{0.05cm}.$$
+$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}a(f = \frac{4}{2\pi})=-{\rm ln} \hspace{0.1cm} 5+ 1.151+ 2.030-1.417\hspace{0.15cm}\underline{=0.155\,{\rm Np }}\hspace{0.05cm}.$$
-:Gesucht ist der Dämpfungswert bei <i>f</i> = 2/&pi;. Dazu setzen wir <i>p</i> = j &middot; 2&pi;<i>f</i> = 4 und ermitteln folgende Abstände:
+Das entspricht&nbsp; $0.155\  {\rm Np} \cdot  8.686 \  {\rm dB/Np} \hspace{0.15cm} \underline{= 1.346 \ {\rm dB}}$.
-:$$R_{\rm o} = 1 - 4 \cdot {\rm j}, \hspace{0.2cm}|R_{\rm o}| \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} \sqrt{1^2 + 4^2}= 4.123,\\ {\rm ln} \hspace{0.1cm}|R_{\rm o}|
- \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm}1.417\,{\rm Np }\hspace{0.05cm},\\
-R_{\rm x1} = -3 - 1 \cdot {\rm
-j}, \hspace{0.2cm}|R_{\rm x1}| \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} \sqrt{3^2 + 1^2}= 3.162,\\
-  {\rm ln} \hspace{0.1cm}|R_{\rm x1}|
-  \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm}1.151\,{\rm Np }\hspace{0.05cm},\\
- R_{\rm x2} = -3 - 7 \cdot{\rm j},
-\hspace{0.2cm}|R_{\rm x2}| \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} \sqrt{3^2 + 7^2}= 7.616,\\
- {\rm ln} \hspace{0.1cm}|R_{\rm x2}|
-  \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm}2.030\,{\rm Np }\hspace{0.05cm}.$$
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}a(f = \frac{4}{2\pi})=
- -{\rm ln} \hspace{0.1cm} 5
- + 1.151+ 2.030-
-.417=0.155\,{\rm Np }
- \hspace{0.05cm}.$$
-:Das entspricht 0.155 Np &middot; 8.686 dB/Np <u>= 1.346 dB</u>.
-:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Nach der detaillierten Beschreibung im Theorieteil gilt wegen <i>K</i> > 0 für die Phasenfunktion:
+'''(4)'''&nbsp; Nach der Beschreibung im Theorieteil gilt wegen &nbsp;$K > 0$&nbsp; für die Phasenfunktion:
-:$$b(f ={2}/\pi) = \phi_{\rm x1} + \phi_{\rm x1}-\phi_{\rm o}\hspace{0.05cm},$$
+:$$b(f ={2}/\pi) = \phi_{\rm x1} + \phi_{\rm x2}-\phi_{\rm o}\hspace{0.05cm},$$
-:$$\phi_{\rm x1} \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm arctan}\hspace{0.15cm}(1/3) =
+:$$\phi_{\rm x1} ={\rm arctan}\hspace{0.15cm}(1/3) =18.4^\circ\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}\phi_{\rm x2} = {\rm arctan}\hspace{0.15cm}(7/3)  =66.8^\circ\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \phi_{\rm o} = {\rm arctan}\hspace{0.15cm}(-1/4) =180^\circ - 76^\circ = 104^\circ $$
-.4^\circ\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\phi_{\rm x2} = {\rm arctan}\hspace{0.15cm}(7/3)  =
+:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}b(f ={2}/\pi) =18.4^\circ + 66.8^\circ - 104^\circ  \hspace{0.15cm} \underline{= -18.8^\circ}\hspace{0.05cm}.$$
-.8^\circ\hspace{0.05cm},\\
- \phi_{\rm o} \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm arctan}\hspace{0.15cm}(-1/4) =
-^\circ - 76^\circ = 104^\circ$$
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}b(f ={2}/\pi) =
-.4^\circ + 66.8^\circ - 104^\circ  \hspace{0.15cm} \underline{= -18.8^\circ}
- \hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}
-[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^3.2 Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion^]]
+[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^3.2 Laplace–Transformation^]]
+[[en:Aufgaben:Exercise_3.4:_Attenuation_and_Phase_Response]]