Modulationsverfahren/Rauscheinfluss bei Winkelmodulation: Unterschied zwischen den Versionen

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==Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis bei PM==
 
==Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis bei PM==
Zur Untersuchung des Rauschverhaltens gehen wir wieder vom so genannten AWGN–Kanal aus und berechnen das Sinken–SNR $ρ_υ$ in Abhängigkeit  
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Zur Untersuchung des Rauschverhaltens gehen wir wieder vom so genannten &nbsp;[[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell|AWGN–Kanal]]&nbsp; aus und berechnen das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; in Abhängigkeit  
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[[Datei:Mod_T_3_3_S1_version2.png|right|frame|Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis bei Phasenmodulation]]
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*der Frequenz ("Bandbreite") &nbsp;$B_{\rm NF}$&nbsp; des Cosinussignals&nbsp; $q(t)$,
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*der Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$,
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*des Kanalübertragungsfaktors &nbsp;$α_{\rm K}$, und
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*der&nbsp; (einseitigen)&nbsp; Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$.
  
  
*der Frequenz (Bandbreite) $B_{\rm NF}$ des cosinusförmigen Quellensignals,
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Die prinzipielle Vorgehensweise wird im Abschnitt &nbsp;[[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Untersuchungen_beim_AWGN.E2.80.93Kanal|Untersuchungen beim AWGN-Kanal]]&nbsp; ausführlich beschrieben:
*der Sendeleistung $P_{\rm S}$,
 
*des Kanaldämpfungsfaktors $α_{\rm K}$, und
 
*der (einseitigen) Rauschleistungsdichte $N_0$.
 
 
 
 
 
Eine ausführliche Modellbeschreibung findet man im Kapitel 1.2.  
 
 
 
 
 
[[Datei:P_ID1107__Mod_T_3_3_S1_neu.png | SNR bei Phasenmodulation]]
 
 
 
  
 
Ist die Leistungskenngröße
 
Ist die Leistungskenngröße
$$\xi  =  \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}}$$
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:$$\xi  =  \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}}$$
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hinreichend groß,&nbsp; so erhält man bei Phasenmodulation&nbsp; $\rm (PM)$&nbsp; mit dem Modulationsindex &nbsp;$η$&nbsp; folgende Näherung:
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:$$\rho_{v  }  \approx {\eta^2}/{2}  \cdot\xi \hspace{0.05cm}.$$
  
Das bedeutet, dass das Sinken–SNR mit wachsendem $η$ quadratisch zunimmt.  
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Das bedeutet, dass bei Phasenmodulation das Sinken–SNR mit wachsendem &nbsp;$η$&nbsp; quadratisch zunimmt.  
  
Die exakte Berechnung von $ρ_υ$ ist nicht ganz einfach und auch langwierig. Hier soll nur der Rechenweg kurz geschildert werden:  
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Die exakte Berechnung von &nbsp;$ρ_v$&nbsp; ist nicht ganz einfach und auch langwierig.&nbsp; Hier soll nur der Rechenweg kurz geschildert werden:  
*Man approximiert das weiße Rauschen $n(t)$ mit der Bandbreite $B_{\rm HF}$ durch eine Summe von Sinusstörern im Abstand $f_{\rm St}$ (siehe Skizze im nächsten Abschnitt).  
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#Man approximiert das weiße Rauschen &nbsp;$n(t)$&nbsp; mit der Bandbreite &nbsp;$B_{\rm HF}$&nbsp; durch eine Summe von Sinusstörern im Abstand &nbsp;$f_{\rm St}$&nbsp; <br>(siehe zweite Skizze im nächsten Abschnitt).  
*Man berechnet für jeden einzelnen Sinusstörer das S/N–Verhältnis nach der Demodulation und addiert die einzelnen Beiträge, die nun alle im Tiefpassbereich $|f| < B_{\rm NF}$ liegen.  
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#Man berechnet für jeden Sinusstörer das S/N–Verhältnis nach der Demodulation und addiert die einzelnen Beiträge,&nbsp; <br>die nun alle im Tiefpassbereich &nbsp;$|f| < B_{\rm NF}$&nbsp; liegen.  
*Das obige einfache Ergebnis erhält man nach dem Grenzübergang $f_{\rm St} →$ 0. Die Summe geht dann in ein Integral über und dieses kann unter Ausnutzung einiger Näherungen gelöst werden.  
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#Das obige einfache Ergebnis erhält man nach dem Grenzübergang &nbsp;$f_{\rm St} → 0$.&nbsp; <br>Die Summe geht dann in ein Integral über und dieses kann näherungsweise gelöst werden.  
  
 
==Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis bei FM==
 
==Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis bei FM==
Zur Berechnung nutzt man hier die Tatsache, dass der FM–Demodulator mit einem PM–Demodulator und einem Differenzierer realisiert werden kann. Das nachfolgende Blockschaltbild bezieht sich allein auf die Rauschsignale  ⇒  $s(t) =$ 0. Damit ist das Empfangssignal $r(t)$ gleich $n(t)$, wobei für $n(t)$ additives weißes Gaußsches Rauschen mit der Mittenfrequenz $f_{\rm T}$ und der Bandbreite $B_{\rm HF}$ anzusetzen ist.
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Zur Berechnung nutzt man hier die Tatsache,&nbsp; dass der FM–Demodulator mit einem PM–Demodulator und einem Differenzierer realisiert werden kann.
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[[Datei:Mod_T_3_3_S2a_version2.png|right|frame|FM–Demodulator: &nbsp; PM–Demodulator und Differenzierer]]
  
[[Datei:P_ID1108__Mod_T_3_3_S2a_neu.png | FM–Demodulator]]
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*Das rechts angegebene Blockschaltbild bezieht sich allein auf die Rauschsignale  &nbsp; ⇒ &nbsp; $s(t) = 0$.
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*Damit ist das Empfangssignal &nbsp;$r(t) = n(t)$,&nbsp; wobei für &nbsp;$n(t)$&nbsp; additives weißes Gaußsches Rauschen mit der Mittenfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; und der Bandbreite &nbsp;$B_{\rm HF}$&nbsp; anzusetzen ist.  
  
  
 
Bei der Berechnung der Rauschleistungsdichte nach dem FM–Demodulator ist zu berücksichtigen:  
 
Bei der Berechnung der Rauschleistungsdichte nach dem FM–Demodulator ist zu berücksichtigen:  
*Die Rauschleistungsdichte ${\it Φ}_{\rm υ, PM}(f)$ nach dem PM–Demodulator liegt im Tiefpassbereich, besitzt die (einseitige) Bandbreite $B_{\rm NF}$ und ist ebenfalls „weiß” (siehe linke untere Skizze).  
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*Die Rauschleistungsdichte &nbsp;${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm PM}}(f)$&nbsp; nach dem PM–Demodulator liegt im Tiefpassbereich,&nbsp; besitzt die (einseitige) Bandbreite &nbsp;$B_{\rm NF}$&nbsp; und ist „weiß”&nbsp; (siehe linke Skizze in der unteren Grafik).  
*Die Leistungsdichte am Ausgang eines linearen Systems mit Frequenzgang $H(f)$ lautet allgemein, wenn am Eingang die Rauschleistungsdichte ${\it Φ}_{\rm υ, PM}(f)$ anliegt:  
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*Die Leistungsdichte am Ausgang eines linearen Systems mit Frequenzgang &nbsp;$H(f)$&nbsp; lautet allgemein,&nbsp; wenn am Eingang die Rauschleistungsdichte &nbsp;${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm PM}}(f)$&nbsp; anliegt:  
$${ \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.05cm}FM} } (f) = { \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.05cm}PM} } (f) \cdot
+
:$${ \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.1cm}FM} } (f) = { \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.1cm}PM} } (f) \cdot
 
  |H(f)|^2  \hspace{0.05cm}.$$
 
  |H(f)|^2  \hspace{0.05cm}.$$
*Der Differenzierer ist ein solches lineares System. Sein Frequenzgang $H(f)$ steigt linear mit $f$ an, und es gilt für die Rauschleistungsdichte am Ausgang des FM-Demodulators (siehe rechte Skizze):
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*Der Differenzierer ist ein solches lineares System.&nbsp; Sein Frequenzgang &nbsp;$H(f)$&nbsp; steigt linear mit der Frequenz &nbsp;$f$&nbsp; an.&nbsp; Für die Rauschleistungsdichte am Ausgang des FM&ndash;Demodulators gilt&nbsp; (siehe rechte Skizze in der unteren Grafik):
$${ \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.05cm}FM} } (f) = {\rm const. } \cdot
+
:$${ \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.1cm}FM} } (f) = {\rm const. } \cdot
  f^2 \cdot { \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.05cm}PM} }(f) \hspace{0.05cm}.$$
+
  f^2 \cdot { \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.1cm}PM} }(f) \hspace{0.05cm}.$$
*Berücksichtigt man dieses Ergebnis, so kommt man nach längerer Rechnung zum folgenden Sinken–SNR, falls die Leistungskenngröße $ξ$ hinreichend groß ist:
 
$$\rho_{v  }  \approx  \frac{3\eta^2}{2} \cdot \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}} = 3/2 \cdot{\eta^2} \cdot\xi \hspace{0.05cm}.$$
 
  
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{{BlaueBox|TEXT=
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$\rm Fazit\text{:}$&nbsp;
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Berücksichtigt man dieses Ergebnis, so kommt man nach längerer Rechnung zu folgendem&nbsp; '''Sinken–SNR'''&nbsp; (falls die Leistungskenngröße &nbsp;$ξ$&nbsp; hinreichend groß ist):
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[[Datei:P_ID1114__Mod_T_3_3_S2b_neu.png |right|frame| Rauschleistungsdichtespektren bei PM (links) und FM (rechts)]]
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:$$\rho_{v  }  \approx  \frac{3\cdot \eta^2}{2} \cdot \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S} }{N_0 \cdot B_{\rm NF} } = 3/2 \cdot{\eta^2} \cdot\xi \hspace{0.05cm}.$$
  
Die Grafik verdeutlicht, dass ${\it Φ}_{\rm υ, FM}(f)$ im Gegensatz zu ${\it Φ}_{\rm υ, PM}(f)$ nicht weiß ist, sondern zu den Grenzen hin quadratisch ansteigt. Bei der Frequenz $f =$ 0 besitzt ${\it Φ}_{\rm υ, FM}(f)$ dagegen keine Rauschanteile.  
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Die Grafik verdeutlicht:
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* Die Rauschleistungsdichte &nbsp;${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm FM} }(f)$&nbsp; ist im Gegensatz zu &nbsp;${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm PM} }(f)$&nbsp; nicht weiß.
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*Vielmehr steigt  &nbsp;${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm FM} }(f)$&nbsp; zu den Grenzen &nbsp;$(\pm B_{\rm NF} )$&nbsp; hin mit dem Quadrat der Frequenz an.  
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*Bei &nbsp;$f = 0$&nbsp; besitzt &nbsp;${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm FM} }(f)$&nbsp; keine Rauschanteile.}}
  
  
[[Datei:P_ID1114__Mod_T_3_3_S2b_neu.png | Rauschleistungsdichtespektren bei PM und FM]]
 
  
 
==Systemvergleich von AM, PM und FM hinsichtlich Rauschen==
 
==Systemvergleich von AM, PM und FM hinsichtlich Rauschen==
Wie schon in Kapitel 1.2 ausführlich erläutert und in Kapitel 2.2 angewandt, betrachten wir wieder die doppelt-logarithmische Darstellung des Sinken–SNR $ρ_υ$ über der Kenngröße $ξ = α_{\rm K}^2 · P_{\rm S}/(N_0 · B_{\rm NF})$.
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Wie schon im Abschnitt &nbsp;[[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Untersuchungen_beim_AWGN.E2.80.93Kanal|"Untersuchungen beim AWGN-Kanal"]]&nbsp; ausführlich erläutert und im Abschnitt &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Sinken-SNR_und_Leistungskenngr.C3.B6.C3.9Fe|"Sinken-SNR und Leistungskenngröße"]]&nbsp; auf die Amplitudenmodulation angewendet,&nbsp; betrachten wir wieder die doppelt-logarithmische Darstellung des Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; über der Leistungskenngröße
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[[Datei:Mod_T_3_3_S3_version2.png|right|frame|Rauschverhalten von AM, PM und FM.&nbsp; Hinweis: Die Kurven gelten quantitativ nur für harmonische Schwingungen&nbsp; (eine einzige Frequenz).&nbsp; Bei einem Frequenzgemisch – das in der Praxis stets vorliegt – gelten die Kurven qualitativ.]]
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:$$\xi  = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}}.$$
  
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Diese qualitativ zu verstehenden Kurven sind wie folgt zu interpretieren:
  
[[Datei:P_ID1110__Mod_T_3_3_S3_neu.png | Systemvergleich von AM, PM und FM hinsichtlich Rauschen]]
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*Die Vergleichskurve liefert die&nbsp; '''ZSB–AM ohne Träger''' &nbsp; &rArr; &nbsp; Modulationsgrad &nbsp;$m → ∞$.&nbsp; Hier gilt &nbsp;$ρ_v = ξ$&nbsp; und auch bei doppelt–logarithmischer Darstellung ergibt sich eine &nbsp;$45^\circ$–Gerade durch den Ursprung.
  
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*Die&nbsp; '''FM–Kurve'''&nbsp; mit &nbsp;$η = 3$&nbsp; liegt um &nbsp;$10 · \lg \ 13.5 ≈ 11.3  \ \rm dB$&nbsp; über der AM–Kurve.&nbsp; Anschaulich kann man das bessere Rauschverhalten der Frequenzmodulation dadurch erklären, dass ein additiver Rauschanteil die Lage der Nulldurchgänge weniger beeinflusst als er die Amplitudenwerte verändert.
  
Diese qualitativ zu verstehenden Kurven sind wie folgt zu interpretieren:
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*Ist das wirksame Rauschen sehr groß und damit die Leistungskenngröße klein &nbsp;$(10 · \lg \ ξ ≤ 15  \ \rm dB)$,&nbsp; so ist Winkelmodulation nicht zu empfehlen.&nbsp; Aufgrund des Rauschens können dann Nulldurchgänge völlig verschwinden und so deren Detektion unmöglich machen.&nbsp; Man spricht vom &bdquo;FM–Knick&rdquo;.
  
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*Hinsichtlich Rauschen ist bei jeder Art von Winkelmodulation ein möglichst großer Modulationsindex  anzustreben.&nbsp; So liegt die Kurve für&nbsp; $η = 10$&nbsp; um etwa &nbsp;$10.4 \ \rm dB$&nbsp; über der Kurve für &nbsp;$η = 3$.&nbsp;
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*Zu berücksichtigen ist allerdings,&nbsp; dass ein größeres &nbsp;$η$&nbsp; auch eine größere Bandbreite erfordert oder&nbsp; &ndash; bei gegebener Kanalbandbreite &ndash;&nbsp; stärkere nichtlineare Verzerrungen hervorruft.
  
*Die ''Vergleichskurve'' liefert die ZSB–AM ohne Träger, das heißt mit Modulationsgrad $m → ∞$. Hier gilt $ρ_υ = ξ$ und auch bei doppelt–logarithmischer Darstellung ergibt sich eine 45°–Gerade durch den Ursprung. Siehe auch Kapitel 2.2.
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*Bei gleichem Modulationsindex ist Phasenmodulation&nbsp; $\rm (PM)$&nbsp; stets um &nbsp;$10 \cdot \lg \ 3 ≈ 4.8 \ \rm dB$&nbsp; schlechter als Frequenzmodulation&nbsp; $\rm (FM)$.&nbsp; Dies ist einer der Gründe,&nbsp; warum die analoge PM in der Praxis nur wenig Bedeutung hat.&nbsp; Dagegen wird bei digitaler Modulation die Variante&nbsp; "Phase Shift Keying"&nbsp; $\rm (PSK)$&nbsp; aufgrund anderer Vorteile häufiger eingesetzt als&nbsp; "Frequency Shift Keying"&nbsp; $\rm (FSK)$.  
 
 
  
*Die ''FM–Kurve'' mit $η =$ 3 liegt um 10 · lg 13.5 ≈ 11.3 dB oberhalb der AM–Kurve. Anschaulich kann man das bessere Rauschverhalten der FM dadurch erklären, dass ein additiver Rauschanteil die Lage der Nulldurchgänge weniger beeinflusst als er die Amplitudenwerte verändert.
 
  
  
*Ist das wirksame Rauschen sehr groß und damit die Leistungskenngröße klein (10 · lg $ξ$ ≤ 15 dB), so ist Winkelmodulation nicht zu empfehlen. Aufgrund des Rauschens können Nulldurchgänge völlig verschwinden und so deren Detektion unmöglich machen. Man spricht vom ''FM–Knick''.  
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==Pre-emphase und De-emphase==
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Ein wichtiges Ergebnis der letzten Abschnitte war,&nbsp;  dass das Sinken–SNR beiFrequenzmodulation&nbsp; $\rm (FM)$&nbsp; entsprechend &nbsp;$\rho_{v  }  \approx 1.5 \cdot{\eta^2} \cdot\xi \hspace{0.05cm}$&nbsp; in guter Näherung quadratisch vom Modulationsindex abhängt.&nbsp;
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*Da aber bei Frequenzmodulation der Modulationsindex &nbsp;$η$&nbsp; umgekehrt proportional zur Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N}$&nbsp; ist,
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*hängt auch das Sinken–SNR von &nbsp;$f_{\rm N}$&nbsp; ab.  
  
  
*Hinsichtlich Rauschen ist ein ''möglichst großer Modulationsindex'' anzustreben. So liegt die Kurve für $η =$ 10 um etwa 10.4 dB über der Kurve für $η =$ 3. Zu berücksichtigen ist allerdings, dass ein größeres $η$ auch eine größere Bandbreite erfordert oder – bei gegebener Kanalbandbreite – stärkere nichtlineare Verzerrungen hervorruft.
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Daraus ergeben sich folgende Konsequenzen:
  
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*Besteht das Nachrichtensignal aus mehreren Frequenzen,&nbsp; so weisen die höheren Frequenzen nach einer FM–Modulation einen kleineren Modulationsindex &nbsp;$η$&nbsp; auf als die niedrigeren Frequenzen.
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*Das bedeutet auch: &nbsp; Die höheren Frequenzanteile&nbsp; $($mit kleinerem &nbsp;$η)$&nbsp; sind dementsprechend stärker verrauscht als niedrigere Frequenzen, wenn nicht besondere Maßnahmen getroffen werden.
  
*Bei gleichem Modulationsindex ist die Phasenmodulation stets um 10 lg 3 ≈ 4.8 dB schlechter als die Frequenzmodulation. Dies ist einer der Gründe, warum die analoge Phasenmodulation in der Praxis nur wenig Bedeutung hat. Dagegen wird bei digitaler Modulation die Variante ''Phase Shift Keying'' (PSK) aufgrund anderer Vorteile häufiger eingesetzt als ''Frequency Shift Keying'' (FSK).
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[[Datei:Mod_T_3_3_S4_version2.png|right|frame| "Pre-emphase"&nbsp; $\rm (PE)$&nbsp; und&nbsp; "De-emphase"&nbsp; $\rm (DE)$: jeweiliger Betragsfrequenzgang]]
  
  
*Alle angegebenen Kurven gelten quantitativ nur für eine harmonische Schwingung (eine Frequenz). Bei einem Frequenzgemisch – das in der Praxis stets vorliegt – gelten die Kurven nur qualitativ.  
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Eine solche Maßnahme ist beispielsweise eine&nbsp; "'''Pre-emphase'''".&nbsp;
  
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#Dabei werden höhere Frequenzen durch ein Hochpass–Filternetzwerk &nbsp;$H_{\rm PE}(f)$&nbsp; angehoben und für diese der Modulationsindex &nbsp;$η$&nbsp; erhöht.
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#Die sendeseitige&nbsp;  "Pre-emphase"&nbsp; muss beim Empfänger durch ein Netzwerk &nbsp;$H_{\rm DE}(f) = 1/H_{\rm PE}(f)$&nbsp; rückgängig gemacht werden.&nbsp; Dieses Absenken der höheren Frequenzen nennt man&nbsp; "'''De-emphase'''".
  
  
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Die Grafik zeigt ein mögliches Beispiel für die Filterfunktionen von
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*Preemphase (blau) &nbsp; &rArr; &nbsp;  $|H_{{\rm PE} } (f)| = \sqrt{1 + \left({f}/{f_{\rm G}}\right)^2}\hspace{0.05cm},$
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*Deemphase (rot) &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; &rArr; &nbsp;  $|H_{{\rm DE} } (f)| = |H_{{\rm PE} } (f)|^{-1} \hspace{0.05cm}.$
  
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==Aufgaben zum Kapitel==
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[[Aufgaben:Aufgabe_3.10:_Berechnung_der_Rauschleistungen|Aufgabe 3.10: Berechnung der Rauschleistungen]]
  
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[[Aufgaben:Aufgabe_3.10Z:_Amplituden-_und_Winkelmodulation_im_Vergleich|Aufgabe 3.10Z: Amplituden- und Winkelmodulation im Vergleich]]
  
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[[Aufgaben:Aufgabe_3.11:_Preemphase_und_Deemphase|Aufgabe 3.11: Pre-emphase und De-emphase]]
  
  
 
{{Display}}
 
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Aktuelle Version vom 30. März 2022, 14:42 Uhr

Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis bei PM


Zur Untersuchung des Rauschverhaltens gehen wir wieder vom so genannten  AWGN–Kanal  aus und berechnen das Sinken–SNR  $ρ_v$  in Abhängigkeit

Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis bei Phasenmodulation
  • der Frequenz ("Bandbreite")  $B_{\rm NF}$  des Cosinussignals  $q(t)$,
  • der Sendeleistung  $P_{\rm S}$,
  • des Kanalübertragungsfaktors  $α_{\rm K}$, und
  • der  (einseitigen)  Rauschleistungsdichte  $N_0$.


Die prinzipielle Vorgehensweise wird im Abschnitt  Untersuchungen beim AWGN-Kanal  ausführlich beschrieben:

Ist die Leistungskenngröße

$$\xi = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}}$$

hinreichend groß,  so erhält man bei Phasenmodulation  $\rm (PM)$  mit dem Modulationsindex  $η$  folgende Näherung:

$$\rho_{v } \approx {\eta^2}/{2} \cdot\xi \hspace{0.05cm}.$$

Das bedeutet, dass bei Phasenmodulation das Sinken–SNR mit wachsendem  $η$  quadratisch zunimmt.

Die exakte Berechnung von  $ρ_v$  ist nicht ganz einfach und auch langwierig.  Hier soll nur der Rechenweg kurz geschildert werden:

  1. Man approximiert das weiße Rauschen  $n(t)$  mit der Bandbreite  $B_{\rm HF}$  durch eine Summe von Sinusstörern im Abstand  $f_{\rm St}$ 
    (siehe zweite Skizze im nächsten Abschnitt).
  2. Man berechnet für jeden Sinusstörer das S/N–Verhältnis nach der Demodulation und addiert die einzelnen Beiträge, 
    die nun alle im Tiefpassbereich  $|f| < B_{\rm NF}$  liegen.
  3. Das obige einfache Ergebnis erhält man nach dem Grenzübergang  $f_{\rm St} → 0$. 
    Die Summe geht dann in ein Integral über und dieses kann näherungsweise gelöst werden.

Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis bei FM


Zur Berechnung nutzt man hier die Tatsache,  dass der FM–Demodulator mit einem PM–Demodulator und einem Differenzierer realisiert werden kann.

FM–Demodulator:   PM–Demodulator und Differenzierer
  • Das rechts angegebene Blockschaltbild bezieht sich allein auf die Rauschsignale   ⇒   $s(t) = 0$.
  • Damit ist das Empfangssignal  $r(t) = n(t)$,  wobei für  $n(t)$  additives weißes Gaußsches Rauschen mit der Mittenfrequenz  $f_{\rm T}$  und der Bandbreite  $B_{\rm HF}$  anzusetzen ist.


Bei der Berechnung der Rauschleistungsdichte nach dem FM–Demodulator ist zu berücksichtigen:

  • Die Rauschleistungsdichte  ${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm PM}}(f)$  nach dem PM–Demodulator liegt im Tiefpassbereich,  besitzt die (einseitige) Bandbreite  $B_{\rm NF}$  und ist „weiß”  (siehe linke Skizze in der unteren Grafik).
  • Die Leistungsdichte am Ausgang eines linearen Systems mit Frequenzgang  $H(f)$  lautet allgemein,  wenn am Eingang die Rauschleistungsdichte  ${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm PM}}(f)$  anliegt:
$${ \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.1cm}FM} } (f) = { \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.1cm}PM} } (f) \cdot |H(f)|^2 \hspace{0.05cm}.$$
  • Der Differenzierer ist ein solches lineares System.  Sein Frequenzgang  $H(f)$  steigt linear mit der Frequenz  $f$  an.  Für die Rauschleistungsdichte am Ausgang des FM–Demodulators gilt  (siehe rechte Skizze in der unteren Grafik):
$${ \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.1cm}FM} } (f) = {\rm const. } \cdot f^2 \cdot { \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.1cm}PM} }(f) \hspace{0.05cm}.$$

$\rm Fazit\text{:}$  Berücksichtigt man dieses Ergebnis, so kommt man nach längerer Rechnung zu folgendem  Sinken–SNR  (falls die Leistungskenngröße  $ξ$  hinreichend groß ist):

Rauschleistungsdichtespektren bei PM (links) und FM (rechts)
$$\rho_{v } \approx \frac{3\cdot \eta^2}{2} \cdot \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S} }{N_0 \cdot B_{\rm NF} } = 3/2 \cdot{\eta^2} \cdot\xi \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik verdeutlicht:

  • Die Rauschleistungsdichte  ${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm FM} }(f)$  ist im Gegensatz zu  ${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm PM} }(f)$  nicht weiß.
  • Vielmehr steigt  ${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm FM} }(f)$  zu den Grenzen  $(\pm B_{\rm NF} )$  hin mit dem Quadrat der Frequenz an.
  • Bei  $f = 0$  besitzt  ${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm FM} }(f)$  keine Rauschanteile.


Systemvergleich von AM, PM und FM hinsichtlich Rauschen


Wie schon im Abschnitt  "Untersuchungen beim AWGN-Kanal"  ausführlich erläutert und im Abschnitt  "Sinken-SNR und Leistungskenngröße"  auf die Amplitudenmodulation angewendet,  betrachten wir wieder die doppelt-logarithmische Darstellung des Sinken–SNR  $ρ_v$  über der Leistungskenngröße

Rauschverhalten von AM, PM und FM.  Hinweis: Die Kurven gelten quantitativ nur für harmonische Schwingungen  (eine einzige Frequenz).  Bei einem Frequenzgemisch – das in der Praxis stets vorliegt – gelten die Kurven qualitativ.
$$\xi = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}}.$$

Diese qualitativ zu verstehenden Kurven sind wie folgt zu interpretieren:

  • Die Vergleichskurve liefert die  ZSB–AM ohne Träger   ⇒   Modulationsgrad  $m → ∞$.  Hier gilt  $ρ_v = ξ$  und auch bei doppelt–logarithmischer Darstellung ergibt sich eine  $45^\circ$–Gerade durch den Ursprung.
  • Die  FM–Kurve  mit  $η = 3$  liegt um  $10 · \lg \ 13.5 ≈ 11.3 \ \rm dB$  über der AM–Kurve.  Anschaulich kann man das bessere Rauschverhalten der Frequenzmodulation dadurch erklären, dass ein additiver Rauschanteil die Lage der Nulldurchgänge weniger beeinflusst als er die Amplitudenwerte verändert.
  • Ist das wirksame Rauschen sehr groß und damit die Leistungskenngröße klein  $(10 · \lg \ ξ ≤ 15 \ \rm dB)$,  so ist Winkelmodulation nicht zu empfehlen.  Aufgrund des Rauschens können dann Nulldurchgänge völlig verschwinden und so deren Detektion unmöglich machen.  Man spricht vom „FM–Knick”.
  • Hinsichtlich Rauschen ist bei jeder Art von Winkelmodulation ein möglichst großer Modulationsindex anzustreben.  So liegt die Kurve für  $η = 10$  um etwa  $10.4 \ \rm dB$  über der Kurve für  $η = 3$. 
  • Zu berücksichtigen ist allerdings,  dass ein größeres  $η$  auch eine größere Bandbreite erfordert oder  – bei gegebener Kanalbandbreite –  stärkere nichtlineare Verzerrungen hervorruft.
  • Bei gleichem Modulationsindex ist Phasenmodulation  $\rm (PM)$  stets um  $10 \cdot \lg \ 3 ≈ 4.8 \ \rm dB$  schlechter als Frequenzmodulation  $\rm (FM)$.  Dies ist einer der Gründe,  warum die analoge PM in der Praxis nur wenig Bedeutung hat.  Dagegen wird bei digitaler Modulation die Variante  "Phase Shift Keying"  $\rm (PSK)$  aufgrund anderer Vorteile häufiger eingesetzt als  "Frequency Shift Keying"  $\rm (FSK)$.


Pre-emphase und De-emphase


Ein wichtiges Ergebnis der letzten Abschnitte war,  dass das Sinken–SNR beiFrequenzmodulation  $\rm (FM)$  entsprechend  $\rho_{v } \approx 1.5 \cdot{\eta^2} \cdot\xi \hspace{0.05cm}$  in guter Näherung quadratisch vom Modulationsindex abhängt. 

  • Da aber bei Frequenzmodulation der Modulationsindex  $η$  umgekehrt proportional zur Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N}$  ist,
  • hängt auch das Sinken–SNR von  $f_{\rm N}$  ab.


Daraus ergeben sich folgende Konsequenzen:

  • Besteht das Nachrichtensignal aus mehreren Frequenzen,  so weisen die höheren Frequenzen nach einer FM–Modulation einen kleineren Modulationsindex  $η$  auf als die niedrigeren Frequenzen.
  • Das bedeutet auch:   Die höheren Frequenzanteile  $($mit kleinerem  $η)$  sind dementsprechend stärker verrauscht als niedrigere Frequenzen, wenn nicht besondere Maßnahmen getroffen werden.
"Pre-emphase"  $\rm (PE)$  und  "De-emphase"  $\rm (DE)$: jeweiliger Betragsfrequenzgang


Eine solche Maßnahme ist beispielsweise eine  "Pre-emphase". 

  1. Dabei werden höhere Frequenzen durch ein Hochpass–Filternetzwerk  $H_{\rm PE}(f)$  angehoben und für diese der Modulationsindex  $η$  erhöht.
  2. Die sendeseitige  "Pre-emphase"  muss beim Empfänger durch ein Netzwerk  $H_{\rm DE}(f) = 1/H_{\rm PE}(f)$  rückgängig gemacht werden.  Dieses Absenken der höheren Frequenzen nennt man  "De-emphase".


Die Grafik zeigt ein mögliches Beispiel für die Filterfunktionen von

  • Preemphase (blau)   ⇒   $|H_{{\rm PE} } (f)| = \sqrt{1 + \left({f}/{f_{\rm G}}\right)^2}\hspace{0.05cm},$
  • Deemphase (rot)        ⇒   $|H_{{\rm DE} } (f)| = |H_{{\rm PE} } (f)|^{-1} \hspace{0.05cm}.$

Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 3.10: Berechnung der Rauschleistungen

Aufgabe 3.10Z: Amplituden- und Winkelmodulation im Vergleich

Aufgabe 3.11: Pre-emphase und De-emphase