Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich

1. Lineare zeitinvariante Systeme
2. Systemtheoretische Grundlagen
3. Systembeschreibung im Frequenzbereich

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# ÜBERBLICK ZUM ERSTEN HAUPTKAPITEL #

Im Buch „Signaldarstellung” wurden Sie mit der mathematischen Beschreibung deterministischer Signale im Zeit- und Frequenzbereich vertraut gemacht.  Das zweite Buch „Lineare zeitvariante Syteme” beschreibt nun, welche Veränderungen ein Signal bzw. dessen Spektrum durch ein Nachrichtensystem erfährt und wie diese Veränderungen mathematisch erfasst werden können.

$\text{Bitte beachten Sie:}$ 

• Das „System” kann sowohl eine einfache Schaltung als auch ein vollständiges, hochkompliziertes Übertragungssystem mit einer Vielzahl von Komponenten sein.
• Es wird hier lediglich vorausgesetzt, dass das System die beiden Eigenschaften „linear” und „zeitinvariant” aufweist.

Im ersten Kapitel werden die Grundlagen der so genannten  Systemtheorie  genannt, die eine einheitliche und einfache Beschreibung solcher Systeme erlaubt.  Wir beginnen mit der Systembeschreibung im Frequenzbereich mit den oben aufgeführten Teilaspekten.

Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im

• Kapitel 6:   Lineare zeitinvariante Systeme (Programm lzi)

des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf

• dem Lehrsoftwarepaket  LNTsim   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms, und
• dieser  Praktikumsanleitung   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 6: Seite 99-118.

Das Ursachen-Wirkungs-Prinzip

Einfachstes Systemmodell

Wir betrachten in diesem Kapitel stets das rechts skizzierte einfache Modell.

Diese Anordnung ist wie folgt zu interpretieren:

• Im Mittelpunkt steht das so genannte  System, das in seiner Funktion weitestgehend abstrahiert ist („Black Box”).  Über die Realisierung des Systems ist nichts Genaues bekannt.
• Die auf dieses System einwirkende zeitabhängige Eingangsgröße  $x(t)$  bezeichnen wir im Folgenden auch als die  Ursachenfunktion.
• Am Ausgang des Systems erscheint dann die  Wirkungsfunktion  $y(t)$  – quasi als Antwort des Systems auf die Eingangsfunktion  $x(t)$.

Anmerkung:   Das „System” kann im Allgemeinen von beliebiger Art sein und ist nicht allein auf die Nachrichtentechnik beschränkt.  Vielmehr wird auch in anderen Wissenschaftsgebieten wie zum Beispiel den Naturwissenschaften, der Volks- und Betriebswirtschaft, der Soziologie und der Politologie versucht, Kausalzusammenhänge zwischen verschiedenen Größen durch das Ursachen–Wirkungs–Prinzip zu erfassen und zu beschreiben.

Die für diese phänomenologischen Systemtheorien angewandten Methoden unterscheiden sich aber deutlich von der Vorgehensweise in der Nachrichtentechnik, die in diesem ersten Hauptkapitel des vorliegenden Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” dargelegt wird.

Anwendung in der Nachrichtentechnik

Das Ursachen–Wirkungs–Prinzip lässt sich auch in der Nachrichtentechnik anwenden, beispielsweise zur Beschreibung von Zweipolen.  Hier kann man den Stromverlauf  $i(t)$  als Ursachenfunktion und die Spannung  $u(t)$  als Wirkungsfunktion betrachten.  Durch Beobachten der I/U–Beziehungen lassen sich so Rückschlüsse über die Eigenschaften des eigentlich unbekannten Zweipols ziehen.

Karl Küpfmüller   hat den Begriff „Systemtheorie” 1949 erstmals (in Deutschland) eingeführt.  Er versteht darunter eine Methode zur Beschreibung komplexer Kausalzusammenhänge in Naturwissenschaften und Technik, basierend auf einer Spektraltransformation – beispielsweise der im Buch „Signaldarstellung” dargelegten  Fouriertransformation.

Allgemeines Modell der Nachrichtenübertragung

Man kann ein ganzes Nachrichtensystem systemtheoretisch beschreiben.  Hier ist

• die Ursachenfunktion das Eingangssignal  $x(t)$  bzw. dessen Spektrum  $X(f)$,
• die Wirkungsfunktion das Ausgangssignal  $y(t)$  oder das Spektrum  $Y(f)$.

Auch in den folgenden Bildern werden die Eingangsgrößen meist blau, die Ausgangsgrößen rot und Systemgrößen grün gezeichnet.

$\text{Beispiel 1:}$  Beschreibt das „Nachrichtensystem” eine vorgegebene lineare Schaltung, so kann bei bekanntem Eingangssignal  $x(t)$  mit Hilfe der Systemtheorie das Ausgangssignal  $y(t)$  vorhergesagt werden.  Eine zweite Aufgabe der Systemtheorie besteht darin, durch Messung von  $y(t)$  bei Kenntnis von  $x(t)$  das Nachrichtensystem zu klassifizieren, ohne dieses im Detail zu kennen.

Beschreibt  $x(t)$  beispielsweise die Stimme eines Anrufers aus Hamburg und  $y(t)$  die Aufzeichnung eines Anrufbeantworters in München, dann besteht das „Nachrichtensystem” aus folgenden Komponenten:

Mikrofon – Telefon – elektrische Leitung – Signalumsetzer – Glasfaserkabel – optischer Verstärker – Signalrücksetzer – Empfangsfilter (zum Beispiel zur Entzerrung und Rauschbegrenzung) –   ...   – elektromagnetischer Wandler.

Voraussetzungen für die Anwendung der Systemtheorie

Das oben angegebene Modell eines Nachrichtensystems gilt allgemein und unabhängig von den Randbedingungen.  Die Anwendung der Systemtheorie erfordert jedoch zusätzlich einige einschränkende Voraussetzungen.

Wenn nicht explizit etwas anderes angegeben ist, soll für das Folgende stets gelten:

• Sowohl  $x(t)$  als auch  $y(t)$  sind deterministische Signale.  Andernfalls muss man entsprechend der Seite  Stochastische Systemtheorie  im Buch „Stochastische Signaltheorie” vorgehen.
• Das System ist  linear.  Dies erkennt man zum Beispiel daran, dass eine harmonische Schwingung  $x(t)$  am Eingang auch eine harmonische Schwingung  $y(t)$  gleicher Frequenz am Ausgang zur Folge hat:

$$x(t) = A_x \cdot \cos(\omega_0 \hspace{0.05cm}t - \varphi_x)\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} y(t) = A_y \cdot\cos(\omega_0 \hspace{0.05cm}t - \varphi_y).$$

• Neue Frequenzen entstehen nicht.  Lediglich Amplitude und Phase der harmonischen Schwingung können verändert werden.  Nichtlineare Systeme werden im Kapitel  Nichtlineare Verzerrungen  behandelt.
• Aufgrund der Linearität ist auch das Superpositionsprinzip anwendbar.  Dieses besagt, dass aus  $x_1(t) ⇒ y_1(t)$  und  $x_2(t) ⇒ y_2(t)$  auch zwingend die folgende Zuordnung gilt:

$$x_1(t) + x_2(t) \hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm} y_1(t) + y_2(t).$$

• Das System ist  zeitinvariant.  Das bedeutet, dass ein um   $\tau$  verschobenes Eingangssignal das gleiche Ausgangssignal zur Folge hat,  dieses aber ebenfalls um  $\tau$  verzögert ist:

$$x(t - \tau) \hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm} y(t -\tau)\hspace{0.4cm}{\rm falls} \hspace{0.4cm}x(t )\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm} y(t).$$

Zeitvariante Systeme werden im Buch  Mobile Kommunikation  behandelt.

Sind alle hier aufgeführten Voraussetzungen erfüllt, so spricht man von einem  linearen zeitinvarianten System, abgekürzt  $\rm LZI$–System.  In der englischsprachigen Literatur ist hierfür die Abkürzung  $\rm LTI$  ("linear time–invariant")  gebräuchlich.

Frequenzgang – Systemfunktion – Übertragungsfunktion

Wir setzen ein LZI–System voraus, dessen Eingangs– und Ausgangsspektren  $X(f)$  und  $Y(f)$  bekannt sind oder aus den Zeitsignalen  $x(t)$  und  $y(t)$  durch  Fouriertransformation  berechnet werden können.

Zur Definition des Frequenzgangs

$\text{Definition:}$  Das Übertragungsverhalten eines Nachrichtenübertragungssystems wird im Frequenzbereich durch den  $\text{Frequenzgang}$  beschrieben:

$$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}= \frac{ {\rm Wirkungsfunktion} }{ {\rm Ursachenfunktion} }.$$

Weitere Bezeichnungen für  $H(f)$  sind „Systemfunktion” und „Übertragungsfunktion”.

Eingangsspektrum,  Ausgangsspektrum  und  Frequenzgang

$\text{Beispiel 2:}$  Am Eingang eines LZI–Systems liegt das Signal  $x(t)$  mit dem reellen Spektrum  $X(f)$  an (blaue Kurve).  Das gemessene Ausgangsspektrum  $Y(f)$  – in der Grafik rot markiert – ist bei Frequenzen kleiner als  $2 \ \rm kHz$  größer als  $X(f)$  und besitzt im Bereich um  $2 \ \rm kHz$  eine steilere Flanke.  Oberhalb von  $2.8 \ \rm kHz$  hat das Signal  $y(t)$  keine Spektralanteile.

• Die grünen Kreise markieren einige Messpunkte des ebenfalls reellen Frequenzgangs 

$$H(f) = Y(f)/X(f).$$

• Bei niedrigen Frequenzen ist  $H(f)>1$:  In diesem Bereich wirkt das LZI–System verstärkend.
• Der Flankenabfall von  $H(f)$  verläuft ähnlich wie der von  $Y(f)$, ist aber nicht identisch.

Eigenschaften des Frequenzgangs

Der Frequenzgang  $H(f)$  ist eine zentrale Größe bei der Beschreibung nachrichtentechnischer Systeme.

Nachfolgend werden einige Eigenschaften dieser wichtigen Systemgröße aufgezählt:

• Der Frequenzgang beschreibt allein das LZI–System.  Er ist zum Beispiel aus den linearen Bauelementen eines elektrischen Netzwerks  berechenbar.  Bei anderem Eingangssignal  $x(t)$  und dementsprechend anderem Ausgangssignal  $y(t)$  ergibt sich der genau gleiche Frequenzgang  $H(f)$.
• $H(f)$  kann eine „Einheit” besitzen.  Betrachtet man zum Beispiel bei einem Zweipol den Spannungsverlauf  $u(t)$  als Ursache und den Strom  $i(t)$  als Wirkung, so hat der Frequenzgang  $H(f) = I(f)/U(f)$  die Einheit  $\rm A/V$.  $I(f)$  und  $U(f)$  sind die Fouriertransformierten von  $i(t)$  bzw.  $u(t)$.
• Im Folgenden betrachten wir ausschließlich  Vierpole.  Zudem setzen wir ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit meist voraus, dass  $x(t)$  und  $y(t)$  jeweils Spannungen seien.  In diesem Fall ist  $H(f)$  stets dimensionslos.
• Da die Spektren  $X(f)$  und  $Y(f)$  im allgemeinen komplex sind, ist auch der Frequenzgang  $H(f)$  eine komplexe Funktion.  Man nennt den Betrag  $|H(f)|$  den  Amplitudengang.  Dieser wird auch oft in logarithmierter Form dargestellt und als  Dämpfungsverlauf  bezeichnet:

$$a(f) = - \ln |H(f)| = - 20 \cdot \lg |H(f)|.$$

• Je nachdem, ob die erste Form mit dem natürlichen oder die zweite mit dekadischem Logarithmus verwendet wird, ist die Pseudoeinheit „Neper”  $\rm (Np)$  bzw. „Dezibel”  $\rm (dB)$  hinzuzufügen.
• Der  Phasengang  ist aus  $H(f)$  in folgender Weise berechenbar:

$$b(f) = - {\rm arc} \hspace{0.1cm}H(f) \hspace{0.2cm}{\rm in\hspace{0.1cm}Radian \hspace{0.1cm}(rad)}.$$

  $\text{Damit kann der gesamte Frequenzgang auch wie folgt dargestellt werden:}$

$$H(f) = \vert H(f)\vert \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} b(f)} = {\rm e}^{-a(f)}\cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f)}.$$

Tiefpass, Hochpass, Bandpass und Bandsperre

Nach dem Amplitudengang  $|H(f)|$  unterscheidet man zwischen

Tiefpass und Hochpass (links) sowie Bandpass (rechts)

• Tiefpass:  Signalanteile werden mit zunehmender Frequenz in der Tendenz stärker gedämpft.
• Hochpass:  Hier werden hochfrequente Signalanteile weniger gedämpft als niederfrequente.  Ein Gleichsignal  $($also ein Signalanteil mit der Frequenz  $f = 0)$  kann über einen Hochpass nicht übertragen werden.
• Bandpass:  Es gibt eine bevorzugte Frequenz   ⇒   „Mittenfrequenz”  $f_{\rm M}$.  Je weiter die Frequenz eines Signalanteils von  $f_{\rm M}$  entfernt ist, um so stärker wird dieser gedämpft.
• Bandsperre:  Dies ist das Gegenstück zum Bandpass und es gilt  $|H(f_{\rm M})| ≈ 0$.  Sehr niederfrequente und sehr hochfrequente Signalanteile werden dagegen gut durchgelassen.

Die Grafik zeigt links die Amplitudengänge der Filtertypen „Tiefpass”  $\rm (TP)$  und „Hochpass”   $\rm (HP)$  sowie rechts einen„Bandpass”   $\rm (BP)$.

• Ebenfalls eingezeichnet sind die Grenzfrequenzen  $f_{\rm G}$  (bei Tiefpass und Hochpass) bzw.  $f_{\rm U}$  und  $f_{\rm O}$  (beim Bandpass).
• Diese bezeichnen hier 3dB–Grenzfrequenzen, zum Beispiel gemäß der folgenden Definition.

$\text{Definition:}$  Die  $\text{3dB–Grenzfrequenz}$  eines Tiefpasses gibt diejenige Frequenz $f_{\rm G}$  an, für die gilt:

$$\vert H(f = f_{\rm G})\vert = {1}/{\sqrt{2} } \cdot \vert H(f = 0)\vert \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} \vert H(f = f_{\rm G})\vert^2 = {1}/{2} \cdot \vert H(f = 0) \vert^2.$$

• Anzumerken ist, dass es für die Grenzfrequenz auch eine Reihe anderer Definitionen gibt.
• Diese finden Sie zu Beginn des Kapitels  Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen.

Testsignale zur Messung des Frequenzgangs

Zur messtechnischen Erfassung des Frequenzgangs  $H(f)$  eignet sich jedes beliebige Eingangssignal  $x(t)$  mit Spektrum  $X(f)$, solange  $X(f)$  keine Nullstelle  $($im interessierenden Bereich$)$  aufweist.  Durch Messung des Ausgangsspektrums  $Y(f)$  lässt sich so der Frequenzgang in einfacher Weise ermitteln:

$$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}.$$

Insbesondere sind folgende Eingangssignale geeignet:

• Diracimpuls   $x(t) = K · δ(t)$   ⇒   Spektrum $X(f) = K$:

Somit ist der Frequenzgang nach Betrag und Phase formgleich mit dem Ausgangsspektrum  $Y(f)$  und es gilt  $H(f) = 1/K · Y(f)$. 
Approximiert man den Diracimpuls durch ein schmales Rechteck gleicher Fläche  $K$, so muss  $H(f)$  mit Hilfe einer  ${\rm sin}(x)/x$–Funktion korrigiert werden.

• Diracpuls  –  die unendliche Summe gleichgewichteter Diracimpulse im zeitlichen Abstand  $T_{\rm A}$:

Dieser führt gemäß dem Kapitel  Zeitdiskrete Signaldarstellung  im Buch „Signaldarstellung” zu einem Diracpuls im Frequenzbereich mit Abstand  $f_{\rm A} =1/T_{\rm A}$.  Damit ist eine frequenzdiskrete Messung von  $H(f)$ möglich, mit den spektralen Abtastwerten im Abstand $f_{\rm A}$.

• Harmonische Schwingung   $x(t) = A_x · \cos (2πf_0t - φ_x)$   ⇒   diracförmiges Spektrum bei  $\pm f_0$:

Das Ausgangssignal  $y(t) = A_y · \cos(2πf_0t - φ_y)$  ist eine Schwingung mit gleicher Frequenz  $f_0$. Der Frequenzgang lautet für  $f_0 \gt 0$:

$$H(f_0) = \frac{Y(f_0)}{X(f_0)} = \frac{A_y}{A_x}\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (\varphi_x - \varphi_y)}.$$

Zur Ermittlung des gesamten Frequenzgangs  $H(f)$  sind (unendlich) viele Messungen mit verschiedenen Frequenzen  $f_0$  erforderlich.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 1.1: Einfache Filterfunktionen

Aufgabe 1.1Z: Tiefpass 1. und 2. Ordnung

Aufgabe 1.2: Koaxialkabel

Aufgabe 1.2Z: Messung der Übertragungsfunktion