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| | | #REDIRECT [[Aufgaben:Aufgabe 3.7: PN–Modulation]] |
| {{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Die Charakteristika von UMTS
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| [[Datei:P_ID2259__Mod_Z_5_2.png|right|frame|Ersatzschaltbilder von „PN-Modulation” und „BPSK”]] | |
| Die obere Grafik zeigt das Ersatzschaltbild der PN–Modulation (englisch: ''Direct Sequence Spread Spectrum'', abgekürzt DS–SS) im äquivalenten Tiefpass–Bereich, wobei„ $n(t)$ für AWGN–Rauschen steht.
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| Darunter skizziert ist das Tiefpass–Modell der binären Phasenmodulation, kurz BPSK.
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| *Das Tiefpass–Sendesignal $s(t)$ ist hier nur aus Gründen einheitlicher Darstellung gleich dem rechteckförmigen Quellensignal $q(t) ∈ \{+1, –1\}$ mit Rechteckdauer $T$ gesetzt.
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| *Die Funktion des Integrators kann wie folgt geschrieben werden:
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| :$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.03cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
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| *Die beiden Modelle unterscheiden sich durch die Multiplikation mit dem $±1$–Spreizsignal $c(t)$ bei Sender und Empfänger, wobei von diesem Signal $c(t)$ lediglich der Spreizgrad $J$ bekannt ist.
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| *Für die Lösung dieser Aufgabe ist die Angabe der spezifischen Spreizfolge (M–Sequenz oder Walsh–Funktion) nicht von Bedeutung.
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| Zu untersuchen ist, ob sich das untere BPSK–Modell auch bei PN–Modulation anwenden lässt und ob die BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit
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| :$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$ | |
| auch für die PN–Modulation gültig ist, beziehungsweise wie die angegebene Gleichung zu modifizieren wäre.
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| ''Hinweise:''
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| *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Die_Charakteristika_von_UMTS|Die Charakteristika von UMTS]].
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| *Das bei UMTS eingesetzte CDMA–Verfahren firmiert auch unter der Bezeichnung „PN–Modulation”.
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| *Die in dieser Aufgabe verwendete Nomenklatur richtet sich zum Teil auch nach dem Abschnitt [[Modulationsverfahren/PN–Modulation|PN–Modulation]] im Buch „Modulationsverfahren”.
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| ===Fragebogen===
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| <quiz display=simple>
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| {Welche Detektionssignalwerte sind bei BPSK möglich (ohne Rauschen)?
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| |type="[]"}
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| - $d(\nu T)$ ist gaußverteilt.
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| - $d(\nu T)$ kann die Werte $+1$, $0$ und $-1$ annehmen.
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| + Es sind nur die Werte $d(\nu T) = +1$ und $d(\nu T) = -1$ möglich.
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| {Welche Werte sind bei PN–Modulation im rauschfreien Fall möglich?
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| |type="[]"}
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| - $d(\nu T)$ ist gaußverteilt.
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| - $d(\nu T)$ kann die Werte $+1$, $0$ und $-1$ annehmen.
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| + Es sind nur die Werte $d(\nu T) = +1$ und $d(\nu T) = -1$ möglich.
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| {Welche Modifikation muss am BPSK–Modell vorgenommen werden, damit es auch für die PN–Modulation anwendbar ist?
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| |type="[]"}
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| + Das Rauschen $n(t)$ muss durch $n\hspace{0.05cm}'(t) = n(t) \cdot c(t)$ ersetzt werden.
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| - Die Integration muss nun über $J \cdot T$ erfolgen.
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| - Die Rauschleistung muss um den Faktor $J$ vermindert werden.
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| {Es gelte $10 \cdot {\rm lg}\ (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$. Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ergibt sich bei PN–Modulation? <br>''Hinweis'': Bei BPSK ergibt sich $p_{\rm B} \approx 2.3 \cdot 10^{-3}$.
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| |type="[]"}
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| - Je größer $J$ gewählt wird, desto kleiner ist $p_{\rm B}$.
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| - Je größer $J$ gewählt wird, desto größer ist $p_{\rm B}$.
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| + Es ergibt sich unabhängig von $J$ stets der Wert $p_{\rm B} = 2.3 \cdot 10^{-3}$.
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| </quiz>
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| ===Musterlösung===
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| {{ML-Kopf}}
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| '''(1)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
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| *Es handelt sich hier um einen optimalen Empfänger.
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| *Ohne Rauschen ist das Signal $b(t)$ innerhalb eines jeden Bits konstant gleich $+1$ oder $-1$.
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| *Aus der angegebenen Gleichung für den Integrator
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| :$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t$$ | |
| :folgt, dass $d(\nu T)$ nur die Werte $±1$ annehmen kann.
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| '''(2)''' Richtig ist wieder der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
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| * Im rauschfreien Fall ⇒ $n(t) = 0$ kann auf die zweifache Multiplikation mit $c(t) ∈ \{+1, -1\}$ ⇒ $c(t)^{2} = 1$ verzichtet werden, so dass das obere Modell mit dem unteren Modell identisch ist.
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| '''(3)''' Zutreffend ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
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| *Da beide Modelle im rauschfreien Fall identisch sind, muss nur das Rauschsignal angepasst werden: $n'(t) = n(t) \cdot c(t)$.
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| *Die Lösungsvorschläge 2 und 3 sind dagegen nicht zutreffend: Die Integration muss auch weiterhin über $T = J \cdot T_{c}$ erfolgen (nicht über $J \cdot T$) und die PN–Modulation verringert das AWGN–Rauschen nicht.
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| '''(4)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
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| *Die für BPSK und AWGN–Kanal gültige Gleichung
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| :$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { \frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$
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| :ist somit auch bei der PN–Modulation anwendbar und zwar unabhängig vom Spreizfaktor $J$ und von der spezifischen Spreizfolge.
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| *Bei AWGN–Rauschen wird die Fehlerwahrscheinlichkeit durch Bandspreizung weder vergrößert noch verkleinert.
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| {{ML-Fuß}}
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| [[Category:Exercises for Mobile Communications|^3.4 Characteristics of UMTS^]]
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| [[en:Aufgaben:Exercise_3.7:_PN_Modulation]]
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