Aufgaben:Aufgabe 4.14Z: 4-QAM und 4-PSK

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Signalraumkonstellation von "4–QAM"  und  "4-PSK"

Für die  "Quadraturamplitudenmodulation"  $\rm (M–QAM)$  wurde im Theorieteil für  $M ≥ 16$  eine obere Schranke der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit angegeben  ("Union–Bound"):

$$ p_{\rm UB} = 4 \cdot {\rm Q} \left [ \sqrt{ { E_{\rm S}}/{ N_0}} \hspace{0.05cm}\right ] \ge p_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$

Im Theorieteil findet man ebenfalls die  "Union–Bound"  für die  M–stufige Phasenmodulation  $\rm (M–PSK)$:

$$ p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q} \left [ \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0}} \hspace{0.05cm}\right ] \ge p_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$

Bei beiden Verfahren hat jeder Signalraumpunkt die genau gleiche Energie,  nämlich  $E_{\rm S}$.

Aus der Grafik erkennt man,  dass für den Sonderfall  $M = 4$  die beiden Modulationsverfahren eigentlich identisch sein müssten,  was aus den obigen Gleichungen nicht direkt hervorgeht.

• Die  "4–PSK"  ist hier mit dem Phasenoffset  $\phi_{\rm off} = 0$  dargestellt. 

• Mit allgemeinem Phasenoffset lauten die Inphase– und Quadraturanteile der Signalraumpunkte:  $(i = 0, \ ... \ , M = 1)$:

$$s_{{\rm I}i} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos \left ( { 2\pi i}/{ M} + \phi_{\rm off} \right ) \hspace{0.05cm},$$

$$ s_{{\rm Q}i} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sin \left ( { 2\pi i}/{ M} + \phi_{\rm off} \right ) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation".

• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  "Quadraturamplitudenmodulation"  und  "Mehrstufige Phasenmodulation".

• In der Grafik rot eingezeichnet ist die Gray–Zuordnung der Symbole zu Bitdupeln.

• Alle Ergebnisse der Aufgabe können mit dem interaktiven SWF–Applet "M–stufiges Phase Shift Keying und Union Bound"  per Simulation überprüft werden.

Fragebogen

1 Für welchen Phasenoffset stimmen die  "4–QAM"  und die  "4–PSK"  exakt überein?

$\phi_{\rm off}\ = \ $ $\ \rm Grad$

2 Wie lautet die obere Schranke  $($Union–Bound,  $p_{\rm UB} ≥ p_{\rm S})$  für die  "4–PSK"?

	$p_{\rm UB} = 4 \cdot {\rm Q}[\sqrt{E_{\rm S}/N_0}\hspace{0.05cm}]$,
	$p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q}[\sqrt{E_{\rm S}/N_0}\hspace{0.05cm}]$,
	$p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q}[\sqrt{2E_{\rm S}/N_0}\hspace{0.05cm}]$.

3 Geben Sie eine nähere obere Schranke für die  "4–QAM"  an.

	$p_{\rm S} ≤ 4 \cdot {\rm Q}[\sqrt{E_{\rm S}/N_0}\hspace{0.05cm}]$,
	$p_{\rm S} ≤ 2 \cdot {\rm Q}[\sqrt{E_{\rm S}/N_0}\hspace{0.05cm}]$,
	$p_{\rm S} ≤ 2 \cdot {\rm Q}[\sqrt{2E_{\rm S}/N_0}\hspace{0.05cm}]$.

4 Wie lautet die Bitfehlerwahrscheinlichkeitsschranke für die  "4–QAM",  Graycodierung vorausgesetzt?

	$p_{\rm B} ≤ 2 \cdot {\rm Q}[\sqrt{2E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}]$,
	$p_{\rm B} ≤ {\rm Q}[\sqrt{2E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}]$,
	$p_{\rm B} ≤ {\rm Q}[\sqrt{E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}]$.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Mit  $M = 4$  lauten die Signalraumpunkte  $\boldsymbol{s}_i = (s_{\rm I \it i}, s_{\rm Q \it i})$  der digitalen Phasenmodulation  $(i = 0, \ \text{...} \ , 3)$:

$$s_{{\rm I}i} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos \left ( { 2\pi i}/{ M} + \phi_{\rm off} \right ) \hspace{0.05cm},$$

$$ s_{{\rm Q}i} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sin \left ( { 2\pi i}/{ M} + \phi_{\rm off} \right ) \hspace{0.05cm}.$$

• Mit  $\phi_{\rm off} \ \underline {= \pi/2 \ (45^°)}$  ergeben sich genau die Signalraumpunkte der 4–QAM:

$$\boldsymbol{ s}_{\rm 0} = (+\sqrt{2}, +\sqrt{2})\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm 1} = (-\sqrt{2}, +\sqrt{2})\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s}_{\rm 3} = (-\sqrt{2}, -\sqrt{2})\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm 4} = (+\sqrt{2}, -\sqrt{2})\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 2:  Für die 4–PSK ergibt sich mit der vorne angegebenen Gleichung:

$$p_{\rm S} \le p_{\rm UB} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}2 \cdot {\rm Q} \left [ \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0}} \right ] = 2 \cdot {\rm Q} \left [ { 1}/{ \sqrt{2}} \cdot \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0}} \right ]=2 \cdot {\rm Q} \left [ \sqrt{ { E_{\rm S}}/{ N_0}} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 2:

• Die 4–QAM ist mit der 4–PSK identisch  (hinsichtlich Fehlerwahrscheinlichkeit sogar unabhängig vom Phasenoffset).

• Der Lösungsvorschlag 1 gibt dagegen die Union Bound der  "M–QAM"  allgemein an,  wobei hier  $M = 4$  eingesetzt ist.

• Da es aber bei  "4–QAM"  keine inneren Symbole gibt,  ist diese Schranke zu pessimistisch.

• Die sich ergebende  "Union Bound"  ist dann doppelt so groß wie die 4–PSK–Schranke.

(4)  Hier ist wiederum der  zweite Lösungsvorschlag  richtig:

• Bei Graycodierung führt jeder Symbolfehler zu einem Bitfehler,  wenn man nur benachbarte Regionen betrachtet:   $p_{\rm B} \approx p_{\rm S}/2$.

• Außerdem gilt  $E_{\rm S} = 2 \ E_{\rm B}$.  Daraus folgt:

$$p_{\rm B} = \frac{p_{\rm S}}{2} \le {\rm Q} \left [ \sqrt{ { E_{\rm S}}/{ N_0}} \right ] = {\rm Q} \left [ \sqrt{ { 2E_{\rm B}}/{ N_0}} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

• Wie in der Musterlösung zur  "Aufgabe 4.13"  hergeleitet,  gilt sogar exakt:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left [ \sqrt{ { 2E_{\rm B}}/{ N_0}} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

• Bei der Herleitung wurde verwendet,  dass man die  "4–QAM"  durch zwei orthogonale BPSK–Modulationen  (mit Cosinus– bzw. Minus–Sinusträger)  darstellen kann.

• Somit ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit der  "4–QAM"  und damit auch der  "4–PSK"  in Abhängigkeit von  $E_{\rm B}/N_0$  die gleiche wie für BPSK.