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Gesucht ist jeweils die optimale Entscheidungsgrenze zwischen den Regionen $I_0 ⇔ m_0$ und $I_1 ⇔ m_1$, wobei von folgenden Voraussetzungen ausgegangen wird:
Gesucht ist jeweils die optimale Entscheidungsgrenze zwischen den Regionen $I_0 ⇔ m_0$ und $I_1 ⇔ m_1$, wobei von folgenden Voraussetzungen ausgegangen wird:
* Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(3)''' gilt:
* Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(3)''' gilt:
Bei AWGN–Rauschen mit Varianz $\sigma_n^2$ ist die Entscheidungsgrenze die Lösung folgender vektoriellen Gleichung hinsichtlich des Vektors $\boldsymbol{ \rho } = (\rho_1, \rho_2)$:
Bei AWGN–Rauschen mit Varianz $\sigma_n^2$ ist die Entscheidungsgrenze die Lösung folgender vektoriellen Gleichung hinsichtlich des Vektors $\boldsymbol{ \rho } = (\rho_1, \rho_2)$:
:$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} =2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$
2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$
Zusätzlich sind in der Grafik zwei Empfangswerte
Zusätzlich sind in der Grafik zwei Empfangswerte
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{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
'''(1)''' Mit ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die Gleichung der Begrenzungsgeraden zwischen den Entscheidungsgebieten $I_0$ und $I_1$:
'''(1)''' Mit ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die Gleichung der Begrenzungsgeraden zwischen den Entscheidungsgebieten $I_0$ und $I_1$:
:$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 =
:$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 =2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$
2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$
*Mit den gegebenen Vektorwerten, also den Zahlenwerten
*Mit den gegebenen Vektorwerten, also den Zahlenwerten
*Die Entscheidungsgerade ist um $3/8$ nach unten verschoben $($schwarze Kurve, mit "$K = 3$" bezeichnet in der Grafik$)$.
*Die Entscheidungsgerade ist um $3/8$ nach unten verschoben $($schwarze Kurve, mit "$K = 3$" bezeichnet in der Grafik$)$.
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[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^4.3 BER-Approximation^]]
[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^4.3 BER-Approximation^]]
Wie betrachten ein binäres Nachrichtensystem $(M = 2)$, das durch die gezeichnete 2D–Signalraumkonstellation $(N = 2)$ festliegt. Für die beiden möglichen Sendevektoren, die mit den Nachrichten $m_0$ und $m_1$ direkt gekoppelt sind, gilt:
Gesucht ist jeweils die optimale Entscheidungsgrenze zwischen den Regionen $I_0 ⇔ m_0$ und $I_1 ⇔ m_1$, wobei von folgenden Voraussetzungen ausgegangen wird:
Bei AWGN–Rauschen mit Varianz $\sigma_n^2$ ist die Entscheidungsgrenze die Lösung folgender vektoriellen Gleichung hinsichtlich des Vektors $\boldsymbol{ \rho } = (\rho_1, \rho_2)$:
$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} =2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$
Zusätzlich sind in der Grafik zwei Empfangswerte
$$\boldsymbol{ A }= \sqrt {E} \cdot (1.5, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm},$$
$$\boldsymbol{ B }= \sqrt {E} \cdot (3, \hspace{0.1cm}3.5) $$
eingezeichnet. Es ist zu überprüfen, ob diese bei den entsprechenden Randbedingungen den Regionen $I_0$ $($und damit der Nachricht $m_0)$ oder $I_1$ $($Nachricht $m_1)$ zugeordnet werden sollten.
Entscheidungsgerade und Entscheidungsregionen für $K=0$
Die Entscheidungsgrenze liegt in der Mitte zwischen $s_0$ und $s_1$ und verläuft um $90^\circ$ gedreht gegenüber der Verbindungslinie zwischen den beiden Symbolen.
Sie geht durch den Punkt $(2.5, \ \, 3)$. Richtig ist also der erste Lösungsvorschlag.
Der Vorschlag 2 beschreibt dagegen die Verbindungsgerade selbst und $\rho_2 = 3$ ist eine Horizontale.
(2) Das Entscheidungsgebiet $I_1$ sollte natürlich den Punkt $s_1$ beinhalten ⇒ Gebiet unterhalb der Entscheidungsgeraden.
Punkt $A = (1.5, \ \, 2)$ gehört zu diesem Entscheidungsgebiet, wie aus der Grafik hervorgeht.
Rechnerisch lässt sich dies zeigen, da die Entscheidungsgerade zum Beispiel durch den Punkt $(1.5, \ \, 2.25)$ geht und somit $(1.5, \ \, 2)$ unterhalb der Entscheidungsgeraden liegt.
Richtig ist also der Lösungsvorschlag 2.
(3) Die Entscheidungsgerade geht auch durch den Punkt $(3, \ \, 3.375)$.
$B = (3, \ \, 3.5)$ liegt oberhalb und gehört somit zum Entscheidungsgebiet $I_0$ entsprechend dem Lösungsvorschlag 1.
(4) Entsprechend der Gleichung auf dem Angabenblatt und den Berechnungen zur Teilaufgabe (1) gilt nun:
Entscheidungsgebiete für verschiedene $K$–Werte
$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} =2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$
Mit $|| \boldsymbol{ s }_1||^2 = 17$, $|| \boldsymbol{ s }_0||^2 = 26$, $ \boldsymbol{ s }_1 \, –\boldsymbol{ s }_0 = (3, \ \, –4)$ erhält man:
$$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8 - K /8\hspace{0.05cm}.$$
Die Entscheidungsgerade ist um $3/8$ nach unten verschoben $($schwarze Kurve, mit "$K = 3$" bezeichnet in der Grafik$)$.
Richtig ist also der Lösungsvorschlag 2.
Die erste Gleichung beschreibt die optimale Entscheidungsgrenze für gleichwahrscheinliche Symbole $(K = 0$, grau gestrichelt$)$.
Die dritte Gleichung gilt für $K = \, –3$. Diese ergibt sich mit $\sigma_n^2 = 1$ für die Symbolwahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(m_1) \approx 0.817$, ${\rm Pr}(m_0) \approx 0.138$ $($grüne Kurve$)$.
Die violette Gerade ergibt sich mit $K = 9$, also zum Beispiel bei gleichen Wahrscheinlichkeiten wie für die schwarze Kurve, aber nun mit der Varianz $\sigma_n^2 = 3$.
(5) Bereits aus obiger Grafik erkennt man, dass nun sowohl $A$ als auch $B$ zur Entscheidungsregion $I_0$ gehören. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 3.
