Aufgaben:Aufgabe 4.8Z: BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit: Unterschied zwischen den Versionen
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'''(2)''' Beim Basisbandsystem gilt: | '''(2)''' Beim Basisbandsystem gilt: | ||
:$$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}= (4\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-9}\,{\rm s}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.6 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2s}}.$$ | :$$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}= (4\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-9}\,{\rm s}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.6 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2s}}.$$ | ||
− | *Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit | + | *Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit: |
:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$ | :$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$ | ||
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− | '''(4)''' Richtig ist die <u>Antwort 2</u>: | + | '''(4)''' Richtig ist die <u>Antwort 2</u>: |
*Unter Berücksichtigung der Energie $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$ erhält man | *Unter Berücksichtigung der Energie $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$ erhält man | ||
:$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }}\hspace{0.1cm}\right ).$$ | :$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }}\hspace{0.1cm}\right ).$$ |
Aktuelle Version vom 15. April 2022, 17:33 Uhr
Wir gehen vom optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit
- bipolaren Amplitudenkoeffizienten $a_ν ∈ \{-1, +1\}$,
- rechteckförmigem Sendesignal $s(t)$ mit den Signalwerten $±s_0$ und der Bitdauer $T_{\rm B}$,
- AWGN–Rauschen mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte $N_0$,
- Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,
- Entscheider mit optimalem Schwellenwert $E = 0$.
Wenn nichts anderes angegeben ist, so sollten Sie von den folgenden Zahlenwerten ausgehen:
- $$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses Basisbandsystems $\rm (BB)$ lautet mit dem Rauscheffektivwert $σ_d$ am Entscheider und der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$ ⇒ siehe Tabelle:
- $$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/(2 \cdot T_{\rm B}}).$$
Diese Bitfehlerwahrscheinlichkeit kann auch in der Form
- $$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$
geschrieben werden, wobei $E_{\rm B}$ die „Signalenergie pro Bit” angibt.
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit "Binary Phase Shift Keying" $\rm (BPSK)$ lautet:
- $$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Lineare digitale Modulation".
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite "Fehlerwahrscheinlichkeiten - ein kurzer Überblick".
- Die Herleitungen finden Sie im Kapitel "Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation" des Buches „Digitalsignalübertragung”.
- Die Angabe einer Leistung in $\rm V^2$ bzw. einer Energie in $\rm V^2 s$ bedeutet eine Umrechnung auf den Bezugswiderstand $1 \ \rm \Omega$.
Fragebogen
Musterlösung
- $$\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}= \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 1\,{\rm ns}}}= 1\,{\rm V} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )= {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}}.$$
(2) Beim Basisbandsystem gilt:
- $$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}= (4\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-9}\,{\rm s}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.6 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2s}}.$$
- Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit:
- $$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$
(3) Bei halber Sendeamplitude $s_0 = 2\,{\rm V}$ sinkt die Energie pro Bit auf ein Viertel und es gelten folgende Gleichungen:
- $$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \frac{2\,{\rm V}}{1\,{\rm V}} \right )= {\rm Q}(2)= 227 \cdot 10^{-4},$$
- $$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$
(4) Richtig ist die Antwort 2:
- Unter Berücksichtigung der Energie $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$ erhält man
- $$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }}\hspace{0.1cm}\right ).$$
- Man erhält somit das gleiche Ergebnis wie beim optimalen Basisbandübertragungssystem.
(5) Es ergeben sich die genau gleichen Ergebnisse wie bei der Basisbandübertragung in den Teilaufgaben (1) und (3):
- $${ E_{\rm B}}/{N_0 }= 8: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{16}) = {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}},$$
- $$ { E_{\rm B}}/{N_0 }= 2: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{4}) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$