Aufgaben:Aufgabe 4.16Z: Zwei- und dreidimensionale Datenreduktion

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Korrelationsmatrizen
$\mathbf{K_y}$  und  $\mathbf{K_z}$

Wir betrachten Gaußsche mittelwertfreie Zufallsgrößen  $\mathbf{x}$,  $\mathbf{y}$  und  $\mathbf{z}$  mit den Dimensionen  $N= 1$,  $N= 2$  und  $N= 3$:

• Die eindimensionale Zufallsgröße  $\mathbf{x}$  ist durch die Varianz  $\sigma^2 = 1$  bzw. die Streuung  $\sigma = 1$  charakterisiert.
  Wegen der Dimension  $N= 1$  gilt  $\mathbf{x} = x$.

• Der Korrelationskoeffizient zwischen den Komponenten  $y_1$  und  $y_2$  der 2D-Zufallsgröße  $\mathbf{y}$  beträgt  $\rho = 1/3$  $($siehe Matrix  $\mathbf{K_y})$.
  $y_1$ und $y_2$ weisen ebenfalls die Streuung  $\sigma = 1$  auf.

• Die Statistik der dreidimensionalen Zufallsgröße  $\mathbf{z}$  ist durch die Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_z}$  vollständig bestimmt.

Quantisiert man die Zufallsgröße  $\mathbf{x}$  im Bereich zwischen  $-4$  und  $+4$  mit Intervallbreite  $\Delta_x = 1/32$, so gibt es insgesamt  $N_1 = 256$  unterschiedliche Quantisierungswerte,  für deren Übertragung somit  $n_1 = 8\ \rm {Bit}$  benötigt würden.

Analog ergeben sich bei der Zufallsgröße  $\mathbf{y}$  insgesamt  $N_2 = 256^2 = 65536$  unterschiedliche quantisierte Wertepaare,  wenn man die Korrelation zwischen  $y_1$  und  $y_2$  nicht berücksichtigt.

Durch Ausnutzung dieser Korrelation  – zum Beispiel durch Koordinatentransformation vom Ursprungsystem  $(y_1,\ y_2)$  zum neuen System  $(\eta_1,\ \eta_2)$  –  ergibt sich eine geringere Zahl  $N_2\hspace{0.01cm}'$  quantisierter Wertepaare.

• Hierbei ist zu berücksichtigen,  dass jede Komponente entsprechend ihrer jeweiligen Streuung  $(\sigma_1$  bzw.  $\sigma_2)$  im Bereich von  $-4$  bis  $+4$  zu quantisieren ist und die Quantisierungsintervalle in beiden Richtungen gleich sein sollen:   $\Delta_x = \Delta_y =1/32$.

• Den Quotienten  $N_2\hspace{0.01cm}'/N_2$  bezeichnen wir als Datenreduktionsfaktor bezüglich der 2D-Zufallsgröße  $\mathbf{y}$.
• In analoger Definition ist  $N_3'/N_3$  der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße  $\mathbf{z}$  für  $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$
• Anzumerken ist,  dass in beiden Fällen ein möglichst kleiner Wert dieses Quotienten günstig wäre.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen.
• Insbesondere wird auf die Seite  Eigenwerte und Eigenvektoren  Bezug genommen.
• Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten  
  • Determinante einer Matrix, 
  • Inverse einer Matrix.

• Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von  $\mathbf{K_z}$  lautet:   $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$
• Eine der drei Lösungen dieser Gleichung ist  $\lambda_1 = 5/3$.

Fragebogen

1 Berechnen Sie die Eigenwerte der Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_y}$.  Es gelte  $\lambda_1 \ge \lambda_2$.

$\lambda_1 \ = \ $ $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$

$\lambda_2 \ = \ $ $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$

2 Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der zweidimensionalen Zufallsgröße  $\mathbf{y}$?

$N_2\hspace{0.01cm}'/N_2 \ = $

3 Es gelte  $\lambda_1 = 5/3$.  Berechnen Sie die Eigenwerte   $\lambda_2$   und   $\lambda_3 \le \lambda_2$   von  $\mathbf{K_z}$.

$\lambda_2 \ = \ $ $\ (\lambda_2 \ge \lambda_3)$

$\lambda_3 \ = \ $ $\ (\lambda_3 \le \lambda_2)$

4 Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der dreidimensionalen Zufallsgröße  $\mathbf{z}$?

$N_3\hspace{0.01cm}'/N_3 \ = $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Aus der Bedingung   $\mathbf{K_y} - \lambda \cdot\mathbf{E} = 0$   folgt:

$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc}1- \lambda & 1/3 \\1/3 & 1- \lambda\end{array} \right] = (1-\lambda)^2 -{1}/{9} = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 -2\lambda+ {8}/{9}= 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda_{1/2}= 1 \pm\sqrt{1-{8}/{9}}= 1 \pm {1}/{3}.$$

• Die Eigenwerte dieser  $2\times2$-Matrix sind somit   $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$   und   $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.

(2)  Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es  $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$  verschiedene Wertepaare.

• Unter Berücksichtigung der Korrelationen und des Sachverhaltes,  dass die beiden durch Koordinatendrehung entstandenen Komponenten  $\eta_1$  und  $\eta_2$  jeweils im Bereich von  $-4\cdot\sigma_1$  bis  $+4\cdot\sigma_1$  $($bzw. von  $-4\cdot\sigma_2$  bis  $+4\cdot\sigma_2)$ ) zu quantisieren sind,  erhält man

$$N_2\hspace{0.01cm}' = \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8\hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot\sigma_2 .$$

• Der Quotient lautet somit mit   $\sigma_1^2 = \lambda_1$  und   $\sigma_2^2 = \lambda_2$:

$${N_2\hspace{0.01cm}'}/{N_2} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 = \sqrt{{4}/{3}}\cdot \sqrt{{2}/{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.943}.$$

(3)  Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von  $\mathbf{K_z}$  lautet:

$${\rm det} \left[ \begin{array}{ccc}1-\lambda & 1/3 & 1/3\\1/3 & 1-\lambda & 1/3\\1/3 & 1/3 & 1-\lambda\end{array}\right] = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda) \left[(1- \lambda)^2 -\frac{1}{9} \right]- \frac{1}{3} \left[\frac{1}{3}(1- \lambda) -\frac{1}{9} \right] + \frac{1}{3} \left[\frac{1}{9} -\frac{1}{3}(1- \lambda)\right] = 0$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda) (\lambda^2 -2\lambda+\frac{8}{9})- \frac{1}{9} (\frac{2}{3}- \lambda )+ \frac{1}{9} (\lambda - \frac{2}{3})= 0$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 - 2\lambda + \frac{8}{9} -\lambda^3 + 2 \lambda^2 - \frac{8}{9}\lambda - \frac{4}{27} +\frac{2}{9}\lambda = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^3 - 3 \lambda^2 +\frac{24}{9}\lambda - \frac{20}{27} = 0.$$

• Diese Gleichung wurde bereits als Lösungshinweis angegeben,  ebenso wie eine der Lösungen:   $\lambda_1= 5/3$.
• Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte  $\lambda_2$  und  $\lambda_3$  zu

$$\frac{\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda -{20}/{27}}{\lambda -{5}/{3}} = \lambda^2 -{4}/{3} \cdot \lambda + {4}/{9} =0.$$

• Diese Bestimmungsgleichung lässt sich wie folgt umformen:   $(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$

• Die weiteren Eigenwerte neben  $\lambda_1= 5/3$  sind somit gleich und ergeben sich zu   $\lambda_2 = \lambda_3 =2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.

(4)  Analog zur Vorgehensweise in der Teilaufgabe  (2)  ergibt sich hier:

$${N_3\hspace{0.01cm}'}/{N_3} = \sqrt{\lambda_1 \cdot \lambda_2\cdot\lambda_3} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}}= \sqrt{\frac{20}{27}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.861}.$$