Aufgaben:Aufgabe 4.15: WDF und Kovarianzmatrix

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Zwei Kovarianzmatrizen

Wir betrachten hier die dreidimensionale Zufallsgröße  $\mathbf{x}$,  deren allgemein dargestellte Kovarianzmatrix  $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$  in der Grafik angegeben ist.  Die Zufallsgröße besitzt folgende Eigenschaften:

• Die drei Komponenten sind gaußverteilt und es gilt für die Elemente der Kovarianzmatrix:

$$K_{ij} = \sigma_i \cdot \sigma_j \cdot \rho_{ij}.$$

• Die Elemente auf der Hauptdiagonalen seien bekannt:

$$ K_{11} =1, \ K_{22} =0, \ K_{33} =0.25.$$

• Der Korrelationskoeffizient zwischen den Koeffizienten  $x_1$  und  $x_3$  beträgt  $\rho_{13} = 0.8$.

Im zweiten Teil der Aufgabe soll die Zufallsgröße  $\mathbf{y}$  mit den beiden Komponenten  $y_1$  und  $y_2$  betrachtet werden,  deren Kovarianzmatrix  $\mathbf{K}_{\mathbf{y}}$  durch die angegebenen Zahlenwerte  $(1, \ 0.4, \ 0.25)$  bestimmt ist.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer mittelwertfreien Gaußschen zweidimensionalen Zufallsgröße  $\mathbf{y}$  lautet gemäß den Angaben auf der Seite  "Zusammenhang zwischen Kovarianzmatrix und WDF"  mit  $N = 2$:

$$\mathbf{f_y}(\mathbf{y}) = \frac{1}{{2 \pi \cdot\sqrt{|\mathbf{K_y}|}}}\cdot {\rm e}^{-{1}/{2} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \mathbf{y} ^{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\mathbf{K_y}^{-1} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \mathbf{y} }= C \cdot {\rm e}^{-\gamma_1 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_1^2 \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \gamma_2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_2^2 \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\gamma_{12} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_1 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_2 }.$$

• In den Teilaufgaben  (5)  und  (6)  sollen der Vorfaktor  $C$  und die weiteren WDF-Koeffizienten  $\gamma_1$,  $\gamma_2$  und  $\gamma_{12}$  gemäß dieser Vektordarstellung berechnet werden.
• Dagegen würde die entsprechende Gleichung bei  herkömmlicher Vorgehensweise entsprechend dem Kapitel  Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen  lauten:

$$f_{y_1,\hspace{0.1cm}y_2}(y_1,y_2)=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sigma_1\sigma_2 \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\cdot\exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2(1-\rho^{\rm 2})}\cdot(\frac { y_1^{\rm 2}}{\sigma_1^{\rm2}}+\frac { y_2^{\rm 2}}{\sigma_2^{\rm 2}}-\rm 2\rho \frac{{\it y}_1{\it y}_2}{\sigma_1 \cdot \sigma_2}) \rm \Bigg].$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen.
• Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten  Determinante einer Matrix  sowie  Inverse einer Matrix 
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen.

Fragebogen

1 Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Die Zufallsgröße  $\mathbf{x}$  ist mit Sicherheit mittelwertfrei.
	Die Matrixelemente  $K_{12}$,  $K_{21}$,  $K_{23}$  und  $K_{32}$  sind Null.
	Es gilt $K_{31} = -K_{13}$.

2 Berechnen Sie das Matrixelement der letzten Zeile und ersten Spalte.

$K_\text{31} \ = \ $

3 Berechnen Sie die Determinante  $|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}|$.

$|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}| \ = \ $

4 Berechnen Sie die inverse Matrix  $\mathbf{I}_{\mathbf{y}} = \mathbf{K}_{\mathbf{y}}^{-1}$  mit den Matrixelementen $I_{ij}$ :

$I_\text{11} \ = \ $

$I_\text{12} \ = \ $

$I_\text{21} \ = \ $

$I_\text{22} \ = \ $

5 Berechnen Sie den Vorfaktor  $C$  der zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.  Vergleichen Sie das Ergebnis mit der im Theorieteil angebenen Formel.

$C\ = \ $

6 Bestimmen Sie die Koeffizienten im Argument der Exponentialfunktion.  Vergleichen Sie das Ergebnis mit der zweidimensionalen WDF–Gleichung.

$\gamma_1 \ = \ $

$\gamma_2 \ = \ $

$\gamma_{12}\ = \ $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig ist nur  der Lösungsvorschlag 2:

• Anhand der Kovarianzmatrix  $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$  ist keine Aussage darüber möglich,  ob die zugrunde liegende Zufallsgröße  $\mathbf{x}$  mittelwertfrei oder mittelwertbehaftet ist,  da ein eventueller Mittelwert  $\mathbf{m}$  herausgerechnet wird.
• Um Aussagen über den Mittelwert machen zu können,  müsste die Korrelationsmatrix  $\mathbf{R}_{\mathbf{x}}$  bekannt sein.
• Aus  $K_{22} = \sigma_2^2 = 0$  folgt zwingend,  dass alle anderen Elemente in der zweiten Zeile  $(K_{21}, K_{23})$  und der zweiten Spalte  $(K_{12}, K_{32})$  ebenfalls Null sind.
• Dagegen ist die dritte Aussage falsch:   Die Elemente sind symmetrisch zur Hauptdiagonalen,  so dass stets  $K_{31} = K_{13}$  gelten muss.

Vollständige Kovarianzmatrix

(2)  Aus  $K_{11} = 1$  und  $K_{33} = 0.25$  folgen direkt  $\sigma_1 = 1$  und  $\sigma_3 = 0.5$.

• Zusammen mit dem Korrelationskoeffizienten  $\rho_{13} = 0.8$  (siehe Angabenblatt) erhält man somit:

$$K_{13} = K_{31} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 \cdot \rho_{13}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.4}.$$

(3)  Die Determinante der Matrix  $\mathbf{K_y}$  lautet:

$$|{\mathbf{K_y}}| = 1 \cdot 0.25 - 0.4 \cdot 0.4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.09}.$$

(4)  Entsprechend den Angaben auf den Seiten „Determinante einer Matrix” und „Inverse einer Matrix” gilt:

$${\mathbf{I_y}} = {\mathbf{K_y}}^{-1} =\frac{1}{|{\mathbf{K_y}}|}\cdot \left[\begin{array}{cc}0.25 & -0.4 \\-0.4 & 1\end{array} \right].$$

• Mit  $|\mathbf{K_y}|= 0.09$  gilt deshalb weiter:

$$I_{11} = {25}/{9}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2.777};\hspace{0.3cm} I_{12} = I_{21} = -40/9 \hspace{0.15cm}\underline{ = -4.447};\hspace{0.3cm}I_{22} = {100}/{9} \hspace{0.15cm}\underline{=11.111}.$$

(5)  Ein Vergleich von  $\mathbf{K_y}$  und  $\mathbf{K_x}$  mit Nebenbedingung  $K_{22} = 0$  zeigt,  dass  $\mathbf{x}$  und  $\mathbf{y}$  identische Zufallsgrößen sind,  wenn man  $y_1 = x_1$  und  $y_2 = x_3$  setzt.

• Somit gilt für die WDF-Parameter:

$$\sigma_1 =1, \hspace{0.3cm} \sigma_2 =0.5, \hspace{0.3cm} \rho =0.8.$$

• Der Vorfaktor entsprechend der allgemeinen WDF-Definition ist somit:

$$C =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \cdot \sigma_1 \cdot \sigma_2 \cdot \sqrt{\rm 1-\rho^2}}=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \cdot 1 \cdot 0.5 \cdot 0.6}= \frac{1}{0.6\cdot \pi} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.531}.$$

• Mit der in der Teilaufgabe  (3)  berechneten Determinante ergibt sich das gleiche Ergebnis:

$$C =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sqrt{|{\mathbf{K_y}}|}}= \frac{\rm1}{\rm 2\pi \sqrt{0.09}} = \frac{1}{0.6 \cdot \pi}.$$

(6)  Die in der Teilaufgabe  (4)  berechnete inverse Matrix kann auch wie folgt geschrieben werden:

$${\mathbf{I_y}} = \frac{5}{9}\cdot \left[\begin{array}{cc}5 & -8 \\-8 & 20\end{array} \right].$$

• Somit lautet das Argument  $A$  der Exponentialfunktion:

$$A = \frac{5}{18}\cdot{\mathbf{y}}^{\rm T}\cdot \left[\begin{array}{cc}5 & -8 \\-8 & 20\end{array} \right]\cdot{\mathbf{y}} =\frac{5}{18}\left( 5 \cdot y_1^2 + 20 \cdot y_2^2 -16 \cdot y_1 \cdot y_2\right).$$

• Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:

$$\gamma_1 = \frac{25}{18} \approx 1.389; \hspace{0.3cm} \gamma_2 =\frac{100}{18} \approx 5.556; \hspace{0.3cm} \gamma_{12} = -\frac{80}{18} \approx -4.444.$$

• Entsprechend der herkömmlichen Vorgehensweise ergeben sich die gleichen Zahlenwerte:

$$\gamma_1 =\frac{\rm 1}{\rm 2\cdot \sigma_1^2 \cdot ({\rm1-\rho^2})}=\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot1 \cdot 0.36} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 1.389},$$

$$\gamma_2 =\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot\sigma_2^2 \cdot ({\rm1-\rho^2})}= \frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot 0.25 \cdot 0.36} =4 \cdot \gamma_1 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 5.556},$$

$$\gamma_{12} =-\frac{\rho}{ \sigma_1 \cdot \sigma_2 \cdot ({\rm 1-\rho^2})}=-\frac{\rm 0.8}{\rm 1 \cdot 0.5 \cdot 0.36} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx -4.444}.$$